1、振动和波,一、选择题,1、（3001）把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为,解：t=0时刻，单摆位于正向最大位移处，根据旋转矢量法，其初相为零。,故答案为（C）,2、（2776）,轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时刻有一个小物体落到盘上并粘住，如果以新的平衡位置为原点，设新的平衡位,置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅，小物体与盘相碰为计时零点，那么新的位移表示式的初相在：,（A）0 /2之间。 （B
2、） /2 之间 （C） 之间 （D） 2 之间,解：根据已知条件，小物体与盘碰撞后将继续向下运动。因规定向下为正，故在计时零点，其速度方向和位移均为正，因此根据旋转矢量法，其初相应在3 /2 2 之间，所以，答案为（D）,3、（5312）,一质点在x轴上做简谐振动，振幅A=4cm，周期T=2s，其平衡位置取作坐标原点。若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x=-2cm处的时刻为：,（A）1s （B）（2/3）s （C）（4/3）s （D）2s,解：如图所示，质点在起始时刻旋转矢量位于1处，质点第二次通过x=-2cm处时，旋转矢量位于2处。故质点第二次通过
3、x=-2cm处的时刻为：,答案为：B,4、（3042）,一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为 ，且向x轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为：,解：根据旋转矢量法，该题可直接判断,选B,5、（3031）,已知一质点沿y轴作简谐振动，其振动方程为 。与之对应的振动曲线是：,故选B,6、（3842）,解：因为,与波的标准方程：,比较可得,故选A,7、（3847）,图为沿x轴负方向传播的平面简谐波在t=0时刻的波形。若波动方程以余弦函数表示，则o点处质点振动的初位相为：,解：由图可知在t=0时刻，质点的位移为零，下一时刻，质点向y轴正向运动，根据旋转矢量法，其初相为 或 。,故
4、选D,8、（3407）,横波以波速u沿x轴负方向传播。t时刻波形曲线如图。则该时刻,解：各质点振动方向如下图所示：,故选D,9、（3340）,一简谐波沿ox轴正方向传播，t=0时刻波形曲线如图所示。已知周期为2s，则p点处质点的振动速度v与时间t的关系曲线为：,解：在t=0时刻，质点p的位移为0，速度达到最大值，在下一时刻，质点P向y轴正向运动，速度v0。,故选A,10、（3145）,如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，该波的波速u=200m/s，则p处质点的振动曲线为：,解：由题意得：,下一时刻P点将向y轴正向运动,故选C,11、（3341）,图示一简谐波在t=0时刻的波形图，波速u
5、=200m/s，则P处质点的振动速度表达式为：,解：t=0时，p点位移为零，向y轴正向运动，故初相为：-/2。由波形图易知：,所以T=1s,P点的振动方程为：,故选A,12、（3593）,有两列沿相反方向传播的相干波，其波动方程分别为：,叠加后形成驻波，其波腹位置的坐标为：,其中的k=0，1，2，3，,解：根据驻波表达式,波腹的位置坐标应满足：,即：,故选C,13、（本题3分）（3310）,某时刻驻波波形曲线如图所示，则a、b两点的位相差是,（A） （B）/2,（C）5/4 （D）0,14、（3310）,在弦线上有一简谐波，其表达式是,（SI）,为了在此弦线上形成驻波，并且在x=0处,解：a、
6、b属于相邻两段上的质点，故振动反向，相位差差。,选A,为一波节，此弦线还应有一简谐波，其表达式为：,解：要求在x=0处为波节，故两列波在x=0处应振动反向，相位差差。,故选C,15、（5523）,设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为s。若声源S不动，而接收器R相对于媒质以速度VR沿着S、R连线向着声源S运动，则位于S、R连线中点的质点P的振动频率为：,解：媒质中各质点的振动频率与波源的振动频率相同。,故选A,二、填空题：（共53分）,解：,t=0,解得：A= 0.05m ，,=0.2,0.05m,0.2,2、（本题5分）3015,在t=0时，周期为T、振幅为A的单摆分别处于图（a）、（b
7、）、（c）三种状态。若选单摆的平衡位置为x轴的原点，x轴指向正右方，则单摆作小角度摆动的振动表达式（用余弦函数表示）分别为：,解：由已知得,（a）、（b）、（c）的初相如图所示,分别为：,故振动方程分别为：,3、（本题5分）3821,解：,200N/m,1.6Hz,4、（本题5分）3039,解：由图易知x2完成一次全振动时，x1已完成两次全振动，故,amax=A2，故a1m：a2m=4：1,v0=A，v10：v20= 1： 2=2：1,2：1,4：1,2：1,5、（本题3分）3046,解：由图形易得初相为/4,角频率为,故振动方程为：,/4,6、（本题3分）3269,解：,7、（本题3分）38
8、38,一个质点同时参与两个在同一条直线上的简谐振动，其表达式分别为：,解：两个简谐振动在t=0时刻的旋转矢量如图所示，由图可知，这两个简谐振动反向。,故合振幅：,初相与振幅较大的相同，即为：/6,/6,8、（本题3分）3853,解：,设两质点相距xm,0.6m,0.25m,则,9、（本题3分）3061,一声波在空气中的波长是0.25m，传播,解：根据波在各种介质中频率保持不变的特点，设波在该介质中的传播速度为x,则,503m/s,10、（本题5分）3063,一平面简谐波沿x轴正方向传播，波速u=100m/s，t=0时刻的波形曲线如图所示,0.8m,0.2m,125Hz,11、（本题3分）385
9、6,已知某平面简谐波的波源的振动方程为 y=0.06sint/2，（SI）波速为2m/s。则,解：设离波源5m处质点的相位比波源落 后,则：,故离波源5m处质点的振动方程为 ：,12、（本题3分）5205,一简谐波沿x轴正方向传播。已知x=0点的振动曲线如图，试在它下面的图中画出t=T时的波形曲线。,解：设波动方程为,当t=T时，,由已知图形得，,故：,相应的波形曲线如下图所示：,解：,（Wm-2）,0.08W/m2,14. （本题3分）3293,解：如图所示，显然通过S的能流是：IScos,IScos,15.（本题3分）3093,如图所示，波源S1和S2发出的波在P点相遇，P点距波源S1和S
10、2的距离分别为,解：P的振幅总是极大值，故两波源为相干波源，因此，振动方向相同，振动频率相同。,设S2初相和S1的初相分别为 和 ，则：,两波源在P点引起的相位差 为,相同,相同,故S2位相比S1的位相领先 2/3,三、计算题（共150分）,1.（本题5分）3017,一质点沿x轴作简谐振动，其圆频率=10rad/s。试分别写出以下两种初始状态下的振动方程：,（1）其初始位移x0=7.5cm，初始速度,V0=75.0cm/s,（2）其初始位移x0=7.5cm，初始速度,V0=-75.0cm/s,解：振动方程x=Acos（t+）,（1）t=0时 x0=7.5cm=Acos,V0=75cm/s=-A
11、sin,解得：A=10.6cm，=-/4,所以，x=10.610-2cos（10t-/4）,（2）t=0时 x0=7.5cm=Acos,V0=-75cm/s=-Asin,解得：A=10.6cm，=/4,所以，x=10.610-2cos（10t+/4）,2.（本题10分）3827,质量m=10g的小球与轻弹簧组成的振动系统，按x=0.5cos（8t+/3）的规律作自由振动，式中t以秒作单位，x以厘米为单位，求,（1）振动的圆频率、周期、振幅和初相,（2）振动的速度、加速度的数值表达式,（3）振动的能量,（4）平均动能和平均势能,解：（1）A=0.5cm；=8s-1；,T=2/=0.25s；=/3
12、,（2）x=Acos（t+）=0.5cos（8t+/3）,cm/s,cm/s2,（3）,（4）,3.（本题10分）3273,一弹簧振子沿x轴作简谐振动。已知振动物体最大位移为xm=0.4m，最大恢复力Fm=0.8N，最大速度为vm=0.8m/s，又知t=0时的初位移为+0.2m，且初速度与所选x轴方向相反。（1）求振动能量（2）求此振动的表达式。,解（1）由题意Fm=kA，A=xm，k=Fm/xm,t=0时,故振动方程为：,（SI）,（2）,4.（本题5分）3264,一质点作简谐振动，其振动方程为,（2）质点从平衡位置移动到此位置所需最短时间为多少？,解：（1）势能,总能量：,由题意：,（2）
13、周期T=2/=6s,所以， =0.75s,5.（本题10分）5511,如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。,解：设物体的运动方程为x=Acos（t+）,恒外力所做的功即为弹簧振子的能量,F0.05=0.5J,即：,按题目所述时刻计时，初相为=。,所以运动方程为：,x=0.204cos（2t+）（SI）,6.（本题10分）3834,一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动
14、，弹簧的倔强系数k=25Nm-1，如果起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求,（1）振幅,（2）动能等于势能时的位置,（3）经过平衡位置时物体的速度,解：（1）,（2）,7.（本题10分）3410,一横波沿绳子传播，其波的表达式为,（SI）,（1）求此波的振幅、波速、频率和波长。,（2）求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度。,（3）求x1=0.2m处和x2=0.7m处二质点振动的位相差。,解：（1）,与波的标准方程 比较得,A=0.05m,u=50m/s,（2）,（3）,二振动反向,8.（本题10分）3335,一简谐波，振动周期T= ，波长=10m，振幅A=0.1m，当t=0
15、时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点和波源重合，且波沿ox轴正方向传播，求：,（1）此波的表达式,（2）t1=T/4时刻，x1=/4处质点的位移,（3） t2=T/2时刻，x1=/4处质点的振动速度,解（1）,根据已知条件初相=0，故,y=0.1cos4（t-x/20） （SI）,（2）y1=0.1cos4（t1-x1/20）=0.1m,（3）,9.（本题10分）5199,有一沿x轴正方向传播的平面简谐波，其波速c=400m/s，频率=500Hz。,（1）某时刻t，波线上x1处的位相为1 ， x2处的位相为2 ，试写出x2-x1与2- 1的关系式，并计算出当x2-x1=0.12
16、m时2- 1的值。,（2）波线上某定点x在t1时刻的位相为 在t2时刻的位相为 ，试写出t2-t1与 的关系式，并计算出 t2-t1=10-3s时 的值,解：该波波长=c/=0.8m,（1）x2点与x1点的位相差为：,当x2-x1=0.12m时，,（2）同一点x，时间差t2-t1，相应位相差,当t2-t1=10-3s时，,10.（本题10分）3083,一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播，该波沿着x轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为3.0cm，振动频率为25Hz，弹簧中,相邻两疏部中心的距离为24cm，当t=0时，在x=0处质元的位移为零并向x轴正向运动，试写出该波的波动方程。,解：u=2425=6
17、00cm/s=6m/s,A=3.0cm,=2=50/s,当t=0时，在x=0处质元的位移为零并向x轴正向运动，故初相为-/2。,y=3.0 10-2cos50（t-x/6）-/2 （SI）,11.（本题10分）3142,图示一平面余弦波在t=0时刻与t=2s时刻的波形图。求,（1）坐标原点处介质质点的振动方程；,（2）该波的波动方程。,解：由图形易得：=160m,u=20/2=10m/s,t=0时刻原点处的质点,位移为零，且向y轴正向运动，,据旋转矢量法，其初相为-/2,故原点处质点的振动方程为：,（SI）,（2）波动方程为：,（SI）,12.（本题10分）3141,图示一平面简谐波在t=0时
18、刻的波形图，求,（1）该波的波动方程（2）P处质点的振动方程,解：o处质点，t=0时,y0=Acos=0,v0=-Asin 0,所以=-/2,又T=/u=0.40/0.08=5（s）,=2/T=2/5（rad/s）,故波动方程为：,（2）P处质点的振动方程为：,y=0.04cos 2/5（t-0.2/0.08）-/2,13.（本题10分）3144,一平面简谐纵波沿ox轴的负方向传播，波长为，P处质点的振动规律如图所示。,（1）求P处质点的振动方程；,（2）求此波的波动方程,（3）若图中d=/2，求坐标原点o处质点的振动方程。,解：（1）=2/4= /2，初相为,故P处质点的振动方程为：,（2）
19、波动方程为：,（3）o处质点的振动方程为：,（SI）,（SI）,（SI）,14.（本题10分）3143,如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点P的运动方向向下，求,（1）该波的波动方程,（2）在距原点o为100m处质点的振动方程与振动速度表达式,解：（1）由P点的运动方向，可判定该波向左传播。,对原点o处质点，t=0时,所以=/4,故波动方程为：,y=Acos2（250t+x/200）+ /4 （SI）,（2）距0点100m处质点振动方程是,y1=Acos2（250t+100/200）+ /4,=Acos（500t+5 /4）,振动速度表达式是：,
20、15.（本题10分）3099,如图所示，两相干波源S1和S2距离为d=30m， S1和S2都在x坐标轴上， S1位于坐标原点o。设由S1和S2分别发出的两列波沿x轴传播时，强度保持不变。x1=9m和x2=12m处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波的波长和两波源间最小位相差。,解：设S1和S2的振动位相分别为1和2，,在x1点两波引起的振动位相差为:,即：,（1）,在x2点两波引起的振动位相差为:,即：,（2）,（2）-（1）得,由（1）式得：,当k=-2、-3时位相差最小，,16.（本题10分）3108,两波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为：,（SI）,（SI）,求 （1）两波的频率、波长、波速；,（2）两波叠加后的节点位置；,（3）叠加后振幅最大的那些点的位置。,解：（1）,=4Hz，=1.50m,波速u= =6.00m/s,（2）两波叠加后形成的驻波的标准形式为,节点位置振幅为零，故,（m）,n=0，1，2，3 ,波腹位置振幅最大，故：,（m）,n=0，1，2，3 ,V,x2,
