1、例 1、如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，设 =a，1A=b， =c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C 1D1的中点，ABD试用 a，b，c 表示以下各向量： （1） ；（2） ；（3） + .A1MP1N3已知正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，AA 12AB ，E 为 AA1 的中点，则异面直线 BE与 CD1 所成角的余弦值为( )A. B. C. D.1010 15 31010 35解析：连接 BA1，因为 CD1BA1，所以 A1BE 即为异面直线 BE 与 CD1所成的角，令AA12AB2，则 EB ，A1E1， A1B ，故由余弦定理得 cosA1B
2、E ，即异面直2 531010线 BE 与 CD1所成角的余弦值为 .31010答案：C4已知三棱锥底面是边长为 1 的等边三角形，侧棱长均为 2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A. B. C. D.32 12 33 36解析：由于是正三棱锥，故顶 点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是 ，故侧棱与底面所成角的余弦值为 .23 32 33 332 36答案：D6.在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，各棱长均为 4，侧棱垂直于底面，点 D 是棱 AB 的中点，则 AC 与平面 DCA1 所成角的正弦值是 ( )图 4A. B. C. D.55 22 24 64
3、解析：由题易知 CDAB，CD侧面 ABB1A1，平面 A1CD侧面 ABB1A1，作 AEA1D，则 AE平面 DCA1，连接 CE，则ACE 为 AC 与平面 DCA1所成的角，ACAA 14，AD2，易得 AE ，455图 5sinACE ，故选 A.559(2012吉林长春联考)如图是一副直角三角板现将两三角板拼成直二面角，得到四面体 ABCD，则下列叙述正确的是_图 9 0； 平面 BCD 的法向量与平面 ACD 的法向量垂直；异面直线 BC 与BD AC AD 所成的角为 60；四面体 ABCD 有外接球；直线 DC 与平面 ABC 所成的角为 30.解析：依题意得，BD平面 AB
4、C，又 AC平面 ABC，因此有 BDAC，所以 0， 正确由于平面 BCD 与平面 ACD 不垂直，因此平面 BCD 的法向量与平面BD AC ACD 的法向量不垂直，不正确 对于 ，作 AEBC 于 E，设 ABAC2a，直 线 BC 与AD 所成的角为 ，则 BC2 a，BD .以 E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐226a3标系，则 E(0,0,0)，A(0,0， a)，B(0， a,0)，C(0， a,0)，D ，2 2 2 (263a， 2a，0)图 10则 (0,2 a,0)， ，BC 2 AD (263a， 2a， 2a)所以 cos|cos|BC AD |BC AD |
5、BC |AD | ，因此直 线 BC 与 AD 所成的角不是 60，4a222a2 (263a)2 2a2 2a2 3010不正确 对于 ，依题意得， BD平面 ABC，直 线 DC 与平面 ABC 所成的角是BCD30，又易知 BDAC，ABAC，则 AC平面 ABD，于是有 ACAD，记 CD 的中点是F，连 接 BF，则 有 AF CD BF，因此点 F 到 A，B，C，D 的距离相等，故四面体 ABCD 有12外接球，所以正确综上所述，其中叙述正确的是 .答案：1.（2013 山东卷理 4）已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是1CBA49边长为 的正三角形，若 为底面 的中心
6、，则 与平面 所成角的大小为3P1PABC.A125.B3.4.D65.如图，已知四棱锥 ACD，底面 B为菱形，P平面 ， 60， EF， 分别是 CP， 的中点（1）证明： EP；（2）若 H为 上的动点， H与平面 A所成最大角的正切值为 62，求二面角EAFC的余弦值（2）方法：由（1）知 AEDP， ， 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ， 分别为 BC， 的中点，所以(0)(310)(3)(02)AB， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 31()(0)2EF， ， ， ， ， ， ， ， ，所以 ()2EAF， ， ， ， ， 设平面 AEF的一法
7、向量为 1()xyz， ，m，则 0AEF，因此11302xyz， 取 1z，则 (02)， ， ，因为 BDC， P， CA，所以BD平面 AFC，故为平面 AF的一法向量又 (30)B， ， ，所以315cos 2B， m因为二面角 EF为锐角，所以所求二面角的余弦值为 1535.（2013 浙江卷理 20）如图，在四面体 中， 平面 ,BCDABCDPB E C DFA yzx. 是 的中点， 是 的中点，点 在线段 上，2,BDACBMAPBMQAC且 .Q3（1）证明： 平面 ;/PC（2）若二面角 的大小为 ，求 的大小.DB06BDCABCDP MQ解：(1)证明：如图所示，取
8、BD 的中点 O，以 O 为原点，OD，OP 所在射线为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Oxyz.由题意知 A(0， ，2)，2B(0， ，0)，D(0， ，0)设点 C 的坐标为(x 0，y 0，0)，因为 3 ，所以2 2 AQ QC Q x0， y0， .34 24 34 12因为 M 为 AD 的中点，故 M(0， ，1)又 P 为 BM 的中点，故 P0，0， .所以 x0，212 PQ 34 y0，0.24 34又平面 BCD 的一个法向量为 n(0，0，1)，故 n0.PQ 又 PQ 平面 BCD，所以 PQ平面 BCD.(2)设 m(x，y，z)为平面 BMC 的一个
9、法向量由 (x 0， y 0，1)， (0，2 ，1)，CM 2 BM 2xy z 知 x0x （ 2 y0） y z 0，2 2y z 0. )取 y1，得 m ，1，2 .y0 2x0 2又平面 BDM 的一个法向量为 n(1，0，0)，于是|cos m， n| ，|mn|m|n|y0 2x09 y0 2x0 2 12即 23.y0 2x0又 BCCD，所以 0，CB CD 故(x 0， y 0，0)(x 0， y 0，0)0，2 2即 x y 2.20 20联立，解得 (舍去)或x0 0，y0 2) x0 62，y0 22. )所以 tanBDC .x02 y0 3又BDC 是锐角，所以
10、BDC60.练 2：如图，平面 PAC平面 B， AC是以 为斜边的等腰直角三角形， ,EFO分别为 P，PB， 的中点， 16， 10（I） 设 G是 O的中点，证明： /G平面 BE；（II） 求斜线 PA与平面 B所成的角；（III） 求面 E与面 PBO 所成的锐二面角.13、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，ABAD， ABCD，AB= 2AD =2CD =2E 是 PB 的中点（I）求证：平面 EAC平面 PBC;（II）若二面角 P-A C-E 的余弦值为 ，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值63A BEP14 如图，斜三棱柱 的底面是直角三角形， ,点 在底面内1CBA 90ACB1的射影恰好是 的中点，且 .(1)求证:平面 平面 ;CB1B1(2)若二面角 的余弦值为 ,175设 ,求 的值.BA1 BA1C11CD
