1、第 20 卷 第 7 期 牡丹江大学学报 Vol.20 No.7 2011 年 7 月 Journal of Mudanjiang University Jul. 2011 95文章编号： 1008-8717（ 2011） 07-0095-02 贝叶斯公式的应用 李 国 华 （齐齐哈尔高等师范专科学校理工系，黑龙江 齐齐哈尔 161005） 摘 要： 贝叶斯公式看起来很简单，但是在自然科学领域应用范围极其广泛。同时理论本身蕴含了深刻的思想。在科学和工程中的许多交叉领域里面很容易找到贝叶斯分析的众多研究者。而且在统计学领域内，贝叶斯理论也在很多方面取得进展。本文对贝叶斯公式在医学、信息传递、生产
2、、侦破案件几个方面进行了具体分析。 关键词： 完备事件组；贝叶斯公式 中图分类号： O21 文献标识码： A 概率论是逻辑严谨推理性强的一门数学分科，贝叶斯公式是概率论中较为重要的公式，是一种建立在概率和统计理论基础上的数据分析和辅助决策工具，以其坚实的理论基础、自然的表示方式、灵活的推理能力和方便的决策机制受到越来越多研究学者的重视。目前，贝叶斯网络已经广泛应用于数据挖掘、医疗诊断、工业控制、投资风险、预测、语音识别等领域，具有非常广泛的研究前景。 完备事件组： 如果事件nBBB ,21null 是 n 个互不相容事件，且 1,() 0 ( 1,2, ,)niiiBPB i n= =null
3、 ，称nBBB ,21null 是一个完备事件组。 贝叶斯公式 ：如果nBBB ,21null 是一完备事件组，对任意随机事件 A ，若 0)( AP ，则有1()( )()()( )jjj niiiPB PABPB APB PAB=，（ nj ,2,1 null= ）称为贝叶斯公式。 一、贝叶斯公式在医学上的应用 例1 医学上用甲胎球蛋白法普查肝癌，令 C =被检查者患肝癌 ， A =甲胎球蛋白检验呈阳性 ， C =被检查者未患肝癌 ， A = 甲胎球蛋白检验呈阴性 ，由资料已知， )( CAP =0.95， )( CAP =0.90，又已知某地居民的肝癌发病率 =)(CP 0.0004，在
4、普查中查出一批甲胎球蛋白检验呈阳性的人，求这批人中真的患肝癌的概率 =)( ACP ？ 解：这是已知“结果” （阳性反应） ，推断“原因”（患肝癌）的问题，由贝叶斯公式，有 ()( )()()( ) ()( )PCPACPCAPCPAC PCPAC=+0.0004 0.950.0004 0.95 (1 0.0004) (1 0.90)=+ 0.00379 由此可见，经甲胎球蛋白检验呈阳性的人群中，其中真正患肝癌的人还是很少的，只占0.00379，把=)( ACP 0.00379与 )( CAP =0.95， )( CAP =0.90对比一下是很有意思的。当已知病人患肝癌或未患肝癌时，甲胎球蛋白
5、检验的准确性应该说是比较高的，这从)( CAP =0.95， )( CAP =0.90可以肯定这一点，但如果病人患肝癌或未患肝癌时，而要从甲胎球蛋白检验结果是否为阳性这一事件出发，来判断病人是否患肝癌，那么它的准确性还是很低的，因为=)( ACP =0.00379，这个问题看来似乎有点矛盾，一种检验方法准确性很高，但实际使用时准确性很低，到底是怎么一回事？从上述计算中得到的贝叶斯公式，可以得到解释。已知 1.0)( =CAP 是不大的，但是患肝癌的人数毕竟很少， =)(CP 0.0004，这就使得收稿日期： 2011-01-13 作者简介：李国华（ 1977） ，男黑龙江省兰西县人，齐哈尔高等
6、师范专科学校讲师，研究方向：高等数学，概率论与数理统计。 96 )()( CAPCP 相对很大，从而 )( ACP 很小。那么，上述结果是不是说明甲胎球蛋白检验法不能用了呢？完全不是！通常医生先采取一些其它简单易行的辅助方法进行检查，当他怀疑某个对象有可能患肝癌时，才建议用甲胎球蛋白检验法。这时，肝癌的发病率已经显著地增加了。比方说，在怀疑的对象中 5.0)( =CP ，这时)( ACP =0.90，这就有相当的准确性了。人们根据不确定信息作出推理和决策需要对各种结论的概率作出估计，这类推理称为概率推理。概率推理既是概率学和逻辑学的研究对象，也是心理学的研究对象，但研究的角度是不同的。概率学和
7、逻辑学研究的是客观概率推算的公式或规则；而心理学研究的是人们主观概率估计的认识加工过程。贝叶斯推理的是条件概率推理问题，这一领域的探讨对揭示人们对概率信息的认知加工过程与规律，指导人们进行有效的判断和决策都具有十分重要的意义。 二、贝叶斯公式在数字通讯中的应用 例 2 在数字通讯中，信号是由数字 0 和 1 的长序列组成的。由于随机干扰，发送的信号 0 或 1 各有可能错误接收为 1 或 0。现假定发送信号为 0 和 1 的概率均为21；又已知发送 0 时，接收为 0 和 1 的概率分别为0.7 和 0.3；发送信号为 1 时，接收为 1 和 0 的概率分别为 0.90 和 0.1。求已知收到
8、信号 0 时，发出的信号是 0（即没有错误接收）的概率。 解：设 A =“发送的信号为 0” ， A =“发送的信号为1” B =“接收的信号为 0” ， B =“接收的信号为1” 由贝叶斯公式得 10.7()( )2()11()( ) ()( )0.7 0.122PAPBAPABPAPBA PAPBA=+=78通过贝叶斯公式计算可以帮助我们从接收的结果中，分析信号传递的错误性的大小。 三、贝叶斯公式在生产中的应用 例 3 三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器 A 生产的占 40%，机器 B 生产的占 25%，机器 C生产的占 35%，平均说来，机器 A 生产的零件有 10%不合格，对于
9、机器 B 和 C ，相应的百分数分别是 5%和1%，如果从总产品中随机地抽取一个零件，发现为不合格，试问： （1）它是由机器 A 生产出来的概率是多少？ （2）它是由哪一部机器生产出来的可能性最大？ 解：本例是在“取出的零件为不合格品”已经发生的条件下，计算该零件由机器 A 、 B 、 C 生产的概率，即由“结果”推断“原因”发生的概率。由贝叶斯公式得 A =“任取的零件由机器 A 生产的” B =“任取的零件由机器 B 生产的” C =“任取的零件由机器 C 生产的” D =“任取的零件为不合格品” 则 ( ) 0.40PA= ， () 0.25PB = ， () 0.35PC = ( )
10、0.10PDA= ， ( ) 0.05PDB = ， ( ) 0.01PDC = 且 A 、 B 、 C 组成了一个完备事件组。 （1）()( )()()( ) ()( ) ()( )PAPDAPADP APDA PBPDB PCPDC=+0.40 0.100.40 0.10 0.25 0.05 0.35 0.01=+0.040.056= 0.714 （2）类似（1）的计算，可得 0.25 0.05()0.056PBD= 0.223 0.35 0.01()0.056PCD= 0.063 可见这一不合格零件是机器 A 生产的可能性最大。 四、贝叶斯公式在破案中的应用 例 4 在一个有雾的傍晚发生
11、了一起交通事故，肇事车是本市一辆出租车，该车已逃逸，有一目击者认定是一辆绿色出租车，假定经调查该市有红、绿两种颜色的出租车，其中绿色占 15%，红色占 85%，我们假定通过测试可知，目击者将红色看成红色的概率为 0.7，将红色看成绿色的概率为 0.3， 将绿色看成绿色的概率为 0.8，将绿色的看成红色的概率为 0.2。若你是交警，你确信目击者的证言吗？ 解：设 A =“该出租车确实是绿色的” ， B =“该出租车确实是红色的” C =“目击者看到的是绿色的” ， D =“目击者看到的是红色的” 由贝叶斯公式得 ( ) ( ) 0.15 0.80()()( ) ()( ) 0.15 0.80 0.85 0.3PAPCAPACPAPCA PBPCB=+=0.32 根据计算，在这种情形下目击者尽管说真话，但他判断正确的概率为 0.32， 即只有大约 32%的可能性是正确的，所以交警还要收集其它方面的证据，确定侦察方向。 参考文献： 1宋立新 .概率论与数理统计 .北京：人民教育出版社，2008. 2魏宗舒 .概率论与数理统计教程 .北京：高等教育出版社， 2003.
