1、本章中心内容,第3章 Bessel 函数,求解多个自变量的方程,如果别人思考数学的真理像我一样深 入持久, 他也会找到我的发现。 -高斯,第一节、二阶线性常微分方程的幂级数解法,一、二阶线性微分方程解的结构,二阶微分方程的如下形式,y + p(x)y + q(x)y = f (x),称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程，,简称二阶线性非齐次方程.,当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，,简称二阶线性齐次方程.,方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量的已知连续函数.,这类方程的特点
2、是：右边是已知函数或零，左边每一项含 y 或 y 或 y，,且每项均为 y 或 y 或 y 的一次项，,例如 y + xy + y = x2 就是二阶线性非齐次方程.,而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二阶线性方程.,定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，,y = C1 y1 + C2 y2,仍为该方程的解，,证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解，,与,所以有,其中 C1， C2 是任意常数.,则函数,于是有,y + p(x)y + q(x)y,= 0,所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x
3、)y + q(x)y = 0 的解.,定义 设函数 y1(x) 和 y2(x) 是定义在某区间 I 上的两个函数，,k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0,不失一般性，,考察两个函数是否线性相关，,我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，,事实上，当 y1(x) 与 y2(x) 线性相关时，有 k1 y1 + k2 y2 = 0，,其中 k1, k2 不全为 0，,如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2，,使,在区间 I 上恒成立.,则称函数 y1(x) 与 y2(x) 在区间 上是线性相关的，否则称为线性无关.,即 y1 与 y2 之比为常数.,反之，若y1
4、与 y2 之比为常数，,则 y1 = l y2，即 y1 - l y2 = 0.,所以 y1 与 y2 线性相关.,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；,例如函数 y1 = ex，y2 = e -x，,所以，它们是线性无关的.,如果不是常数，则它们线性无关.,定理 2 如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解，,y = C1 y1 + C2 y2,是该方程的通解，,证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，,所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方
5、程的解.,又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数，,故C1 与C2不能合并为一个任意常数，,因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.,则,其中 C1, C2为任意常数.,所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示.,定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个特解，,y = Y + y*，,是线性非齐次方程的通解.,证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x),和线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，,所以有,
6、y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)，,Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .,Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，,则,又因为 y = Y + y*，,y = Y + y*，,所以,y + p(x)y + q(x)y,= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*),= (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*),= f (x).,求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：,(1) 求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2，
7、,得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2.,(2) 求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一个特解 y*.,那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*.,又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，,故 y = Y + y* 中含有两个任意常数.,即 y = Y + y* 是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解.,这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解，,y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)，,y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，
8、,和,y + p(x)y + q(x)y = f2 (x),定理 4 设二阶线性非齐次方程为,的特解，,证 因为 y1* 与 y2* 分别是 与 的特解，,y1* + p(x)y1* + q(x)y1* = f 1(x)，,与,y2* + p(x)y2* + q(x)y2* = f 2(x) .,于是有,= f 1(x) + f 2(x) ，,所以有,= y1* + p(x)y1* + q(x)y1*,+ y2* + p(x)y2* + q(x)y2*,即 y1* + y2* 满足方程 ，,二、二阶常系数线性微分方程的解法,如果二阶线性微分方程为,y + py + qy = f(x) ，,其中
9、 p、 q 均为常数，,则称该方程为二阶常系数线性微分方程.,设二阶常系数线性齐次方程为,y + py + qy = 0 .,考虑到左边 p，q 均为常数，,我们可以猜想该方程具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数.,将 y = rerx, y = r2erx 及 y = erx 代入上式，,erx (r2 + pr + q) = 0 .,1.二阶常系数线性齐次方程的解法,由于erx 0，因此，只要 r 满足方程,r2 + pr + q = 0，,即 r 是上述一元二次方程的根时，,y = erx 就是式的解.,方程称为方程的特征方程.,特征方程根称为特征根.,得,1 特征方程具
10、有两个不相等的实根 r1 与 r2，,2 特征方程具有两个相等的实根，,这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解 y1 = erx.,还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2，,为此，设 y2 = u(x)y1，,其中 u(x)为待定函数.,将 y2 及其一阶、二阶导数 y2 = (uerx) = erx(u(x) + ru(x)，,y2 = erx (u(x) + 2ru(x) + r2u(x)， 代入方程 y+ py + qy = 0 中，得,因而它的通解为,所以 y1 与 y2 线性无关，,都是 的解，,即 r1 r2.,那么，这时函数,即,注意到 是特征方程的重根，,所以有
11、r2 + pr + q = 0,及 2r + p = 0.,且 erx 0，,因此只要 u(x) 满足,则 y2 = uerx就是 式的解，,为简便起见，取方程 u(x) = 0 的一个解 u = x，,于是得到方程 且与 y1 = erx 线性无关的解 y2 = xerx.,因此，式的通解为,3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a ib .,这时有两个线性无关的特解 y1 = e(a + ib )x 与 y2 = e(a - ib )x.,这是两个复数解，,为了便于在实数范围内讨论问题，,我们再找两个线性无关的实数解.,由欧拉公式,(这公式我们将在无穷级数章中
12、补证)，可得,于是有,由定理 1 知，以上两个函数 eax cosbx 与 eax sinbx 均为 式的解，,且它们线性无关.,因此，这时方程的通解为,上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：,(1) 写出所给方程的特征方程；,(2) 求出特征根；,(3) 根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.,例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.,解 该方程的特征方程为 r2 - 2r 3 = 0, 它有两个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3,其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x,所以方程的通解为,例
13、2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.,解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，,求得,将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2，,y = (1 + 2x)e2x.,其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，,所以通解为,因此，所求特解为,它有重根 r = 2.,例 3 求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解.,解 该方程的特征方程为 2r2 + 2r + 3 = 0，它有共轭复根,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,例
14、4 求方程 y + 4y = 0 的通解.,解 该方程的特征方程为 r2 + 4 = 0，它有共轭复根 r1,2 = 2i. 即a = 0，b = 2.,对应的两个线性无关的解 y1 = cos 2x.,y2 = sin 2x.,所以方程的通解为,2.二阶常系数线性非齐次方程的解法,1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x).,设二阶常系数线性非齐次方程为,y + py + qy = Pn(x),其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式.,当原方程 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；,当 q = 0，但 p 0 时，,k 取 1；,当 p = 0， q = 0 时，k 取 2.,
15、因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式，,所以可设 式的特解为,其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式，,例 5 求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解.,解 因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式，,则,代入原方程后，有,且 y 的系数 q = 1 0，取 k = 0 .,所以设特解为,比较两端 x 同次幂的系数，有,解得,A = 1，B = 4，C = 6.,故所求特解为,例 6 求方程 y + y = x3 x + 1 的一个特解.,解 因为自由项 f (x) = x3 x + 1 是一个 x 的三次多项式，,则,代入原方程后，有,且 y
16、 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1.,所以设方程的特解为,比较两端 x 同次幂的系数：,解得,故所求特解为,2 自由项 f (x) 为 Aeax 型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y + py + qy = Aeax，,其中 a，A 均为常数.,由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，,其中 B 为待定常数，,当 a 不是 式所对应的线性齐次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0；,当 a 是其特征方程单根时，取 k = 1；,当 是其特征方程重根时，取 k = 2.,因此，我们可以设 的特解,例 7 求方程 y + y + y
17、= 2e2x 的通解.,解 a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,例 8 求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解.,解 a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,3 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx + Bsin wx)型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)，,其中 a，A ，B 均为常数.,由于 p，q 为常数，
18、且指数函数的各阶导数仍为指数函数，,正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，,因此, 我们可以设 有特解,其中 C，D 为待定常数.,取 k = 0，,是根时，,取 k = 1，,代入 式，求得 C 及 D.,当 a + wi 不是 式所对应的齐次方程的特征方程的根时，,例 9 求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一个特解.,解 自由项 f (x) = ex cos 2x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，,则,且 a + wi = 1 + 2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + 3r 1 = 0 的根，,取 k = 0，所
19、以设特解为,代入原方程，得,比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得,解此方程组，得,故所求特解为,例 10 求方程 y + y = sin x 的一个特解.,解 自由项 f (x) = sin x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，且 a = 0，w = 1，,则,代入原方程，得,且 a + wi = i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根，,取 k = 1，所以，设特解为,比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得,故原方程的特解为,而对应齐次方程 y + y = 0 的通解为,Y = C1cosx + C2sinx.,故原方程的通解为,例 11 方
20、程 y + 4y = x +1 + sinx 的通解.,解 自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和，,y + 4y = x +1，,y + 4y = sin x .,和,方程 的特解易求得，,设方程 的特解为,的特解.,所以分别求方程,代入，得,3Asin x = sin x.,所以,得原方程的特解,原方程所对应的线性齐次方程为 y + 4y = 0，其通解为,Y = C1cos 2x + C2sin 2x，,故原方程的通解为,二、变系数线性方程的幂级数解法,定理1 考虑下面的二阶变系数线性常微分方程,y +
21、p(x)y +q(x)y= 0 (3),如果p(x)、q(x)在x0的邻域,解析，即在,邻域可展成Taylor级数，则方程（3）有如下形式的解析解,其中,可由待定系数法求出。,例12 求解下列方程,解 （1）根据定理，可设解为,将该级数求一阶和二阶导数并将y(x),y (x)和 y(x)代入到原方程,或,系数全为零,此即,可得,此题中,得,将上面的结果代入到,，它们都是R上的解析函数。根,据定理，可设,。将次级数带入原方程，可得,或,又,代入到（5），可得,展开可得,系数全为零，可得,代入，可得,练习：用幂级数方法解方程,第二节 Bessel函数,一、 函数,记,为函数。它对任意,有定义，该广
22、义积分收敛。,其具有下面两条性质,证,下面求,，令,并记,利用极坐标变换可得,所以,利用性质还可得到,延拓问题，将定义域延拓到,例如，当,时，定义,则,在区间（-1,0）有定义。类似可以定义,在区间,（-2，-1）上的值，如此继续下去，可以扩充到整个实轴（,去掉负实数点集），其图象如下：,例1 计算下列积分,解 （1）,二、 Bessel方程和Bessel函数,设,，二阶线性常微分方程,称为r阶Bessel方程。,r阶Bessel方程可以写成,利用幂级数解法，待定系数，注意到,令,其中,和,为待定常数。将（3）代入（1），有,有,即,整理，有,有,即,比较,前面的系数，可得,由于,，故有,首先
23、取,则由（4）可得,如果选取,，则有,代入到,得到原方程的一个解,此函数称为r阶Bessel函数，通常记,如果,则由（4）式,可得,如果选取,，则有,代入到,得到原方程的另一个解,此函数称为-r阶Bessel函数，通常记,注1 当r为正整数时，例如,，取,此时,。当,时,的系数等于零。,特别r=m时，有,所以，对所有的实数r，,都有意义。,注2 记,表达式中幂级数部分的系数为,，直接计算,可得,即,表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大。,类似可证,表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大。,因此，,中幂级数部分是两个在实数轴上的解析函数。,注3 注意到,在x=0右连续而,在x=0的邻域无界，,故
24、当r0不等于整数时，,是线性无关的，它们构成,原方程一个基解组。,当r=m时，直接计算可得,令,n阶第一类贝塞尔函数,1 n不为整数时，贝塞尔方程的通解,n阶第二类贝塞尔函 数（Neumann函数）,n为整数时,2 n为整数时，贝塞尔方程的通解,A、B为任意常数， n为任意实数,性质1 有界性,性质2 奇偶性,三 贝塞尔函数的性质,当n为正整数时,性质3 递推性,例1 求下列微积分,性质4 初值,性质5 零点,有无穷多个对称分布的零点,的零点趋于周期分布，,性质6 半奇数阶的贝塞尔函数,性质7 大宗量近似,性质8 正交性,贝塞尔函数 的模,四、 Bessel方程的特征值问题,前面我们遇到的特征
25、值问题，都是二阶线性微分算子,，带有不同边界条件下的特征值问题。而,，相当于二阶线性微分算子,在一维的情形，当空间变量为,二维时，在直角坐标系下，,.在极坐标下，直接计算,可得,二阶线性微分算子,在圆域上的特征值问题即为,边界条件为,Direclet边界条件，或者,Newumann边界条件.,下面利用分离变量法求解（1）.,令,，并将其带入到（1），有,变形为,即,故有,对（2），有定理,定理 对（2），其特征值和特征函数为,将,代入到（3）中，得到,方程（4）结合一定边界条件便是Bessel方程特征值问题。,考虑Direclet边界条件下n阶Bessel方程特征值问题,其中,是一个正常数，n
26、为非负数，,为待定常数，称为（5）,的特征值，而相应于,的非零解称为（5）的特征函数。,对于Bessel方程特征值问题（5），有如下定理,定理1 设n为非负整数，,为,的第m个正,零点，即,的正根，,则（5）的特征值和特征函数分,别为,特征函数系,关于权函数,是正交的，且有,其中,证明 1.证明特征值非负。,两边积分,由已知,，可得,即,所以可得 .,2.求解特征值问题。,当n=0，,时，方程,化为,其解为,利用边界条件,可得,，即,，因此,不是特征值，,即一切特征值都大于0.,当,时，对原方程,作自变量变换,，方程化为,记,则有,n阶Bessel方程的通解为,即,所以,由,，可得,。又由,得
27、,又,，所以,为,的正零点。故有,代入,并略去常数 得,特征值,特征函数,3.证明特征函数系,关于权系数,的正交性。,设,，则,分别满足如下方程,和,有,或,积分，得,即,关于权系数的正交性。,4.求,关于权系数,的平方模。,记,.并取,使得,。令,则有,和,（7）和（8）第一式分别具有下面的形式,和,同前,相减有,即,积分有,有,令,则有,得证。,定理 设 在区间 连续且有分段连续的一阶导,数，则在区间,上，,可按,展成如下的Fourier-Bessel级数,其中，,第三节 多个自变量分离变量例子,例3.12 设圆柱体为,，若其边界温度为0，,初始温度为,，且,只与,求圆柱体内的温度分布 .
28、,有关且有界,解 记,，则u满足以下定解问题,由于初始条件只与,有关，边界条件为齐次边界条件，,故可推知,圆柱体内以z轴为中心的圆柱面上温度相同，即u只与,和t有关，而与z和,无关，故有,对定解问题（3.3.9）-(3.3.11),做自变量变换,并注意到u与,无关，直接计算可得,下面利用分离变量法求解问题（3.3.12）- (3.3.14)。令,并代入到（3.3.12）中得,由此得,由该问题的物理意义可知函数u有界，从而|u(0,t)|有界。 由此可推出R应满足自然边界条件,结合边界条件（3.3.13）可得定解问题（3.3.12）-（3.3.14）的特征值问题为,结合边界条件（3.3.16）是贝塞尔函数特征值问题（3.3.14） 中n=0, 的特殊情形。由定理3.3可得,将,代入到,中并求解得,从而,在（3.3.17）中令t=0，并结合初始条件（3.3.14）得,其中,将,代入到（3.3.17）中变得定解问题（3.3.12）- （3.3.14）的解。,例6:解下列定解问题,
