1、1带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动分析与编程演示物理系 任海林 指导教师：王维青【摘 要】分析了带电粒子在不同的均匀稳定电磁场中受力时的各种特殊的运动情况，并用MATLAB 软件编程实现运动轨 迹演示。实现人机互动，即可根据需要输入不同的电场和磁场分量及带电粒子初速，由计 算机演示出运动轨迹图.【关键词】 带电粒子，均匀稳 定电磁场，运 动轨迹 , 计算机演示0 引言带电粒子在电磁场中的运动时要受到电场和磁场对它的作用力，而且有许多的应用如：回旋加速器、磁聚焦、电子荷质比测定、质谱仪等等，这些应用都涉及到粒子的运动轨迹，可见研究此问题也有重要的理论和实际意义。 随着现代科技的发展，多媒体计算机
2、已不再是原来作为辅助者出现的MACI（ Multimedia Computer Assisted Instruction）,而是全方位地渗透在物理教育教学之中。当前在新教育思想和理念的指导下的新课程改革，是要造成一种多媒体技术与物理整合的新局面。所以将一些物理知识制成物理课件已成为一种必然趋势。但应用 MATLAB 软件编程并演示粒子的运动轨迹图，至今还没有较全面的文章。这篇文章体现了传统知识与先进技术的结合，它不仅详细介绍了不同初始条件下有关于带电粒子在均匀稳定电磁场中运动的知识，而且还运用了 MATLAB 软件（可以对微分方程进行求解，读者也可以修改原程序来制作新程序等）对运动轨迹图进行了
3、形象生动的演示。它既可以为学生学习提供帮助也可以为老师进行多媒体教学提供参考。1 带电粒子在均匀稳定电磁场中受力分析: BVqEam2 带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动微分方程为:BVqEdtrm2可将上式分解在直角坐标系展成标量式：)()(22 xyzzyyzxBdttmqEdt tdtt2令 1mqBx 2qBy 3mqBz则化简为:dtytxmqEdtzzytdtytxdzyx12231223令 dtxy21dty43dtz65则得出程序认可方程：41265216343624321ymqEdtyytdyymqEtyzyx根据上方程组进行编程，观看运动情况，做出运动轨迹立体图（如图 1）
4、，此时取B（x）=1 B(y)=1 B(z)=1 E(x)=1 E(y)=1 E(z)=2 q=1.6e m=0.02kg立体图（1）： 在 XY 面上的投影（2）：0 5010-20020406001020304050xE(x) 1,E(y) 1,E(z) 1,B(x) o,B(y) o,B(z) 1yz-10 0 10 20 30 40 50 60 70-100102030405060xE(x) 1,E(y) 1,E(z) 1,B(x) o,B(y) o,B(z) 1y3图 1 图 2粒子在各个时刻的运动曲线的曲率与 相关，这里不做具体讨论。下面我们对0,VBE情况 1 进行分析和讨论：情
5、况 1 B(x)=B(y)=0 B(z)0 E(x)=E(z)=0 E(y)不定所以式可化为 式可化简为 0232dtzdtxwmqEytdx 0652343421dtyywmqEtdytyd此时设计不同的 和 的值就可以得到不同的轨迹图0VyE 作图 3：,0yx0 510 1500.20.40.60.8-1-0.500.51y xzE 0,B 0图 3由于 ，所以粒子运动只限于 YZ 平面，它的轨迹参量方程为：,00zxVdtvztqBmEttx0)cos1(in由 X，Y 的方程可以看出它的轨迹是一条摆线，但又由 Z 的方程可知粒子的摆线轨迹有Z 方向的位移。4 时粒子的轨迹立体图，如图
6、 4；平面图，如图 5：0,00yzyxEV-2 -1 01 2-4-3-2-10-1-0.500.51y xE 0,Bneq 0-2-1.5-1-0.500.511.52-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50E 0,Bneq 0xy图 4 图 5分析：由于 ，洛仑兹力 F 永远垂直于磁感应强度 的平面内，而粒子的初速BV0 B度 也在这个平面内，因此它的运动轨迹不会越出这个平面。又因为洛仑兹力 F 永远垂直于粒子的速度，它只改变粒子的方向，但不改变其速率 V，因此粒子在上述的平面内作匀速圆周运动，但圆的半径与荷质比有关，这也是质谱仪的工作原理。 当 与 有一定夹角 ，可将
7、 分解为： 。 （即VB sin,co/ vv） ，粒子的轨迹图又该如何？0,0zyxvv若只有分量 ，带电粒子将在垂直的平面内作匀速圆周运动，若只有分量 ，粒 /v子将沿 B 方向作匀速直线运动，当两分量同时存在时，带电粒子轨迹将是一条螺旋线，-0.5 0 0.51 1.5-1.5-1-0.500.505101520图 6其螺距为： ，带电粒子运动一周所前进的距离与 无关，所以若从磁qBmvTh/2 v场中某点 A 发射出一束很窄的电子流，使它们的速度很接近，并与 的夹角都很小，则B。它们具有近似相同的螺距 h，尽管它们的 不同，各粒子vvcos/ vvsin会沿不同的半径的螺旋线运动，但各
8、粒子经过距离 h 后又重新会聚在一起，这就是磁聚焦。5 当 情况下的轨迹立体图如图 7：0,zyBE0 510 15-4-202400.050.10.150.2xE 0,B 0yz图 7分析：求解该情况下的微分方程可得： ，式中 称为回旋频率。tBEvczyxsinmqBzc解得的轨迹参量方程为 这是摆线的参量方程。当t czyyctzyx tqBmEdvtt0202)os1(i时； 。如果粒子在原点有初速，那么对;,0zyxvy zcyzyntx它的运动情况的描述，只不过是在上面讨论的结果中加一个 Z 方向的位移，它的值为。tvz 当 情况下的轨迹立体图为：0,zyBEV（Z）0 时，粒子的
9、轨迹图是 XY 平面内的一条直线，V（X）0 时，粒子在 XY 平面内的作平抛运动，它的轨迹图是一条抛物线（图 8） 。0 5 1015 200100200300400500-1-0.500.51y xzEneq 0,B 0图 8情况 2B 不垂直于 E 时，我们选择 B 的方向为 Z 轴的方向，而选择通过 B 及 E 的平面为 YZ 平面。即 0,0,0zyxzyx E6这时其运动方程的标量形式为：mqEdtzdtxByytxdzzyz22令 dtxy21ty43dtz65则式可化为 mqEdtyyBtdymyqtzzyz65243421对上面微分方程进行编程，就可以得出该情况下的轨迹图。下
10、面我们就对粒子的轨迹进行分析：由式第三个方程，我们可以看出，电荷以等加速度沿着 Z 轴方向运动，就是说， tvqEzzz02用 i 乘式中的第二个方程，我们得到 yEmqixiyxdt)()(（ ）将 当作未知量，上面方程的积分就等于上面的方程略去右边项的积分mqBi与该方程保留右边项的一个特别积分的和。第一积分是 ，第二个积分是tae。因此，EyyBEaeyixyiwt常数 一般来说是个复数。将 的形式，其中 b 及 a 为实数，我们可以看出，iab既然 a 被 乘了，那么，只要我们选择时间计算起点得当，就可以赋予位相 A 以任意一iwte个值。我们适当选择时间计算起点，使 A 为实数。将
11、分解为实数及虚数两部分，我yix7们便得到wtayBEwtaxsin,cos在 T=0 时，速度是沿着 X 轴，其轨迹不定，但在 XY 平面上的投影有规律可依：将方程2 再积分一次，并这样来选择积分常数，使当 T=0 时，X=Y=0，我们就可以得到：)1(cosintayBExy将以上二式看作一个曲线的参数方程，这两个方程定义一个所谓次摆线。其轨道在 XY平面上的投影是看 A 的绝对值是大于或小于 。zyBE假如 ，那么式就变为zyBEa )cos1(),sin(22 tqBmEyttqmxyy 就是说，轨道在 XY 平面上的投影是一个摆线，如下图 90 5 10 15 20 25 30 35
12、 40-5-4-3-2-101 E(x) 0,E(y)neq 0,E(z)neq 0,B(x) o,B(y) o,B(z)neq 0xy图 9当 时，如图 10；当 时，如图 11：2qBmEay2qBmEay0 5 10 15 20 25-0.500.51 E(x) 0,E(y)neq 0,E(z)neq 0,B(x) o,B(y) o,B(z)neq 0xy0 10 20 30 40 50 60 70-10-8-6-4-202xE(x) 1,E(y) 1,E(z) 1,B(x) o,B(y) o,B(z) 1y8图 10 图 11上面我们就将带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动轨迹进行了全面的
13、分析：不同的B，E，V 都可以改变带电粒子的运动状态。下面我们将附上 MATLAB 的编辑程序，以供大家参考：3 参考程序主程序文件：B1=input(请输入数字=);B2=input(请输入数字=);B3=input(请输入数字=);e1=input(请输入数字=);e2=input(请输入数字=);e3=input(请输入数字=);c=input(请按此格式依次输入x(0),vx(0),y(0),vy(0),z(0),vz(o)=);q=1.6e-2; m=0.02figurestrd1=E(x)neq 1,E(y)neq 1,E(z)neq 1,B(x)neq o,B(y)neq o,B
14、(z)neq 1;t,y=ode23(dcc9fun,0:0.001:20,c,q,m,B1,B2,B3,e1,e2,e3);title(strd1,fontsize,12,fontweight,demi);xlabel(x); ylabel(y); zlabel(z);view(-51,18);comet3(y(:,1),y(:,3),y(:,5);plot3(y(:,1),y(:,3),y(:,5);grid on函数文件：function ydot=dcc9fun(t,y,flag,q,m,b1,b2,b3,e1,e2,e3)ydot=y(2);q*e1/m+q*b3*y(4)/m-q*
15、b2*y(6)/m;y(4);q*e2/m-q*b3*y(2)/m+q*b1*y(6)/m;y(6);q*e3/m+q*b2*y(2)/m-q*b1*y(4)/m;4 结束语 写到这里，我们将各种情况列表归纳如下：B(x) B(y) B(z) E(x) E(y) E(z) V(x) V(y) V(z) 图形0 0 0 0 0 0 0 0 0 螺旋线=0 =0 0 =0 0 =0 0 =0 =0 圆=0 =0 =0 =0 0 =0 =0 =0 0 直线=0 =0 =0 =0 0 =0 0 =0 =0 抛物线=0 =0 0 =0 0 0 / / / 图 a9=0 =0 0 =0 0 0 / / /
16、 图 b=0 =0 0 =0 0 0 / / / 图 c以上就是各种不同初始条件下的代表轨迹图上面我们就将带电粒子在均匀稳定电磁场中的运动轨迹进行了全面的分析愿大家能够提出宝贵意见以便于修改完善；同时也希望大家能够了解到 MATLAB 软件的优点，能够将之推广。【参考文献】1 黄朴生.多媒体应用与物理教学研究.物理世界 20053 期2 郎道里佛席兹.场论.北京：北京大学出版社,1972 3 赵凯华.电磁学.北京：人民教育出版社,1978 4 谢处方,饶克谨.电磁场与电磁波. 北京：人民教育出版社,1979 5 张玉民,戚伯云.电磁场.北京：科学出版社6 马文尉.物理学.北京：高等教育出版社7
17、 余虹,姜东光.大学物理学.北京:科学出版社,20028 彭芳麟.理论力学程序模拟.清华大学出版社，20029 娄顺天.程序设计语言.西安电子科技大学出版社，2000Movement analysis and programming demonstration in the even steady electric magnetic field of charged particleRen Hai -lin【Abstract】 Analyse charged particle various kinds of special sport situations at the strength o
18、f receiving among different even stability electric magnetic field，Demonstrate with MATLAB software programming realization sport orbit. It is man-machine interdynamic to realize，Can according to need introduction different electric field and magnetic field weight and charged particle initial velocity，The computer demonstrates that the orbit picture of sports appears【Key words】 Charged particle, even steady electric magnetic field, sport orbit, the computer demonstrates 【教师评语】能应用所学知识分析带电粒子在不同电磁场中受力时的运动情况。具有一定的研究能力和计算机编程能力。编写的程序具有实用价值，可为学生学习和教师教学提供参考。指导教师：王维青
