1、12002-2003 学年，微积分（二） （ A ）一、选择题（每小题只有一个正确的选项，每小题 3 分，共计 12 分）1函数 f (x, y)在 处存在偏导数是 f (x, y)在 处_的必要条件。),0 ),0（A）连续， （B）存在极限， （C）存在极值， （D）可微分2函数 f (x)在0, a上连续，那么 =_adxf0)(（A） ， （B） ，0)(dxf 20)()adxf（C） ， （D）2)aaxxf3设级数 条件收敛，那么级数 _1n 12|nna（A）条件收敛， （B）绝对收敛， （C）发散， （D）敛散性不能确定4函数 f (x, y)在区域 上连续，则0,|),(2
2、yxy=_Dd2（A） ， （B） ， （C） ， （D）10)(rf10)(drf10)(2drf10)(2drf二、填空（每小题 3 分，共 18 分）1曲线 和 y=0 所围平面图形的面积为_xeyx)(,ln2设 ，则xf 1sin)(1cos),(2 =_， =_)1,(xf ),1(yf3极限 =_xyyx42lim04积分 =_de5设 f 的偏导存在，则 =_xbaffx ),(),(li06交换积分顺序 =_1441 ),(),(xdyfdyfI三、计算题（共 40 分）21 （5 分）求函数 的定义域并画出草图)1ln(42yxz2 （5 分） 21dx3 （8 分）已知
3、求,0)(,1arctn()(2 yxy1)(dxy4 （5 分）设 ，且函数 f 具有二阶连续的偏导数，求),2efzx yxz25 （6 分）判断级数 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？1sin)(n6 （6 分）求重积分 ，其中Dyxde10,1|),(xyx7 （5 分）求函数 的极值2(),(2fx四、证明题（12 分）1 （5 分）设 z 是由方程 所确定的 x, y 的函数，F 是可微函数，0,zyF证明： yx2 （7 分）设 ，求 在 上的表达式20 ),1ln( ,)2xxf xdtf1)()(2 ,五、 （10 分）设函数 f (x)在 上连续，单调不减且 ，
4、试证函数0f在 上连续且单调不减（其中 n0）0 ,0,1)(xdtftxFn ),六、应用题（8 分）设生产某种产品的数量 Q（单位：万元）与所用的两种原料 A，B 数量 x, y（单位：t）间有关系 ，欲最多用 150 万元购料，已知 A，B 原料的单价为 1 万元、yxyx25.),(2 万元，问购进两种原料各多少可使生产的数量最多？2003-2004 学年，微积分（二） （ B ）一、判断题（每小题 2 分，共计 12 分）31对任何实数 a，等式 总成立。 （ ）aadxfdxf00)()(2 （ ）123)|(x3已知 存在，则 （ ）),(bayf ),(2),(),(lim0
5、bafybaff yy 4若二元函数 z = f (x, y)在点 不可微，则 z = f (x, y)在点 的两个偏导数),(P,0P不存在。 （ ）yxz,5若级数 收敛，则级数 一定收敛。 （ ）1nu12nu6若正项级数 收敛，则必有 （ ）1nlim1n二、选择题（每小题 2 分，共 12 分）1设 f (x)连续，则 =_xdttfd02)(（A） ， （C） ， （D ）2 )(2xf )(2xf2幂级数 在 x =2 处收敛，则级数 _1)(nna1nna（A）绝对收敛， （B）条件收敛， （C）发散， （D）收敛性不能确定3设函数 z = f (x, y)在 (0 , 0)处
6、存在偏导数，且 那么0),()0.(,)0( fffyx_（A） 必定存在， （B）f (x, y)在 (0 , 0) 处必连续， （C）d z =0，,lim0fyx（D）若 ，则 d z =00),(li20yyx4设线性无关函数 是二阶非齐线性微分方程 三个321, )()(xfyqxpy解，则该方程的通解为_（A） ， （B ） ，321yc )()(3231cc（C） ， （D）321)(cy12yy（ 为任意常数）21,c45广义积分 收敛，则_0dxek（A） ， （B） ， （C） ， （D）00k0k6设级数 收敛，则 _12nu1)(nnu（A）发散， （B）条件收敛， （
7、C）绝对收敛， （D）敛散性不能判定三、填空题（每小题 2 分，共 12 分）1已知 ，则 =_dxe2dxe3)1( 22部分和数列 有界是正项级数 收敛的_条件，是任意项级数 收ns1nu1nu敛的_条件。3级数 的收敛域为 ，则 的收敛域为_0)1(nnxa3 ,02nxa4设 ，则 _yxez 1 yxdz5曲线 ，和直线 x =1 所围图形的面积为_x,6方程 的通解为_02y四、计算题（1-6 题每题 5 分， 7、8 题每题 7 分，共 44 分）1求 02)(lndx2设 ，求 （其中 f 二阶可微）,2yfzz23计算二重积分 20xyde4计算二重积分 1222)(yx d
8、xy5求方程 的通解36讨论级数 （a0）的敛散性1n57将函数 展开成（x+4）的幂级数231)(2xf8求幂级数 的收敛域，及在收敛区间上的和函数1nn五、 （10 分）求由方程 确定的函数 z = f (x, y)的极值。014222 zyxzyx（z 0）六、证明题（每题 5 分，共计 10 分）1设数列 收敛，证明级数 绝对收敛2na1na2证明等式： 。其中 f (x)在所考虑的积分区间上连续。xxu dufdf00 )()(2002-2003 学年，微积分（二） （ B ）部分1求 定义域)ln(xyz2 exd12l3 ，求0)(,1arcsin()(2 yxy1)(dxy4
9、且 f 有二阶连续偏导，求),(2efzx z25判断 绝对收敛？条件收敛？发散？1 )23(1ln)(n6求 ，Dxyde21,|,xyx7 ，求极值23),(3f8 ，F 任意可导，证)(2yxz 21yzxz9f (x)在0 ,1连续，且 f (x)1，证方程 在(0,1) 内有且仅有一个根)(20dtf610 其中 f 连续，且0 ,)()(0xadtfxFx 1)(lim0xf（1）定 a，使 F(x)在 x=0 连续（2）证明：当 F(x)在 x=0 连续时， 在 x=0 也连续)(F11已知有两要素投入 ，生产函数 ，设要素价格为21, 32121,Q，求当 Q=12 时两要素投入可使总费用最小。,421p另外几个题1 在（1,1）点可微，且 。),(yxfz 3)1,(2),(1),(fff令 ，求 的值。 （答：51）,f13xd2f (x)连续， ，且 。求 并讨论 在 x=0 处的连10)()(tf2)(lim0fx )(x)(续性。 （答： ，连续）3f (x)有连续导数，f (0)=0， ， ，且当 时，)(fxdtftF02)() 0x与 是同阶无穷小，求 k 的值。 （答：3）Fk
