1、第一章 引言 1.6,场论初步 步入微分形式麦克斯韦方程的数学准备,第四讲,2. 场论初步,等值面、方向导数与梯度,梯度：是矢量，方向为电位变化最陡的方向，即最大方向导数的方向，大小变化最大方向的变化率，即最大方向导数,梯度grad = 的表达式,标量场梯度的物理意义,矢量,总之：位函数的梯度是一矢量，其方向为位变化最陡的方向，大小为位变化最大方向上的变化率。,充分描述了场空间变化特征,标量场的梯度充分描述了标量场在空间变化的特征: 场中任一点（x, y, z）沿任一方向的变化率（即方向导数）是不一样的。最大变化率（即最大方向导数）的方向就是梯度的方向，最大变化率（即最大方向导数）就是梯度的大
2、小。在任一方向l0 的投影（l0）就是该方向的变化率（即该方向的方向导数）。因此梯度是描述标量场随空间变化特性非常好的一个物理量。经过梯度运算，可由一个标量场得到一个矢量场,矢量场的通量,通量的定义：场矢量A沿有向曲面S的曲面积分。,矢量场通量的物理意义,如定义An为矢量A在面元法线n方向的投影，则Ads=Ands；若把A理解为流体的流速，则Ands就表示穿过ds的流量，这就是叫通量的原因。,对于闭曲面S，取其外侧为正，则,表示A从S流出的通量,表示？, 0 时， 0 时， = 0 时，,表示有净流量流出，存在流体源,表示有净流量流入，存在流体负源,表示没有净流量流出，无净流体源,散度div
3、A=A,取一立方体单元，体积为Vxyz, 考虑x方向分量,散度div A,散度定理,拉普拉斯算符2,场量梯度的散度,拉氏算符2,矢量场A沿有向闭合曲线l的环量,矢量场A在闭合线上的线积分定义为A沿l的环量,旋度Curl A,环量面密度,A沿正l方向的环量与面积S在M点处保持以n为法线方向条件下，以任意方式推向M点时，其极限为：,这称为矢量场A在M点处沿n方向的环量面密度，它是一个与方向有关的量。,旋度Curl A的定义,与标量场中梯度与方向导数之间的关系类似，梯度在某一方向上的投影就是该方向的方向导数；当n方向与CurlA方向一致时，得到最大环量在密度。,旋度Curl A的计算,旋度Curl
4、A的计算(1),当矩形ABCD0时，即y,z0, 这时Ay，Az近似为常数，则：,因此,旋度Curl A的计算(2),同理：,斯托克斯定理,有限面积S分解成面元Sn（0），由旋度定义，则有：,左边为：,右边为：,相邻面元交界线上的线积分相互抵消,矢量场的分类,矢量场的分类(1),亥姆霍兹定理,一个矢量场的性质由激发场的源来确定,源有两类：散度源（通量源）旋度源（涡旋源）,Q: 若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该矢量场？,A: 能！这就是亥姆霍兹定理,如果在体积V内的矢量场A的散度和旋度已知，在V的边界S上A的值也已知，则在V内任一点A的值能唯一确定。（证明略去）,据此定理，任一矢量场
5、A能分解为一个无旋场和一个无源场之和。,产生场的源(r, t)、 J(r, t)怎么表示？,产生场的源(r, t)、 J(r, t)或其对应复量(r)、 J(r)的表示体电荷密度 v(r) C/m3面电荷密度 s(r) C/m2线电荷密度 l(r) C/m点电荷 Q C体电流密度 Jv(r) = vv A/m2面电流密度 Js(r) = sv A/m线电流密度 Jl(r) = lv A半导体中 Jc= ve v = v eE = eE （电子导电）Jc= vh v = v hE = hE （空穴导电）,BYBY:,矢量运算的几个恒等关系,由梯度、散度、旋度和拉氏算符的定义，可推导出以下矢量运算
6、恒等关系：,例题1-9,证明：直角坐标系下(A)(A)-2A,解：,例题1-10,例题1-10(1),小结、复习,复习要点 算符既是矢量，又有微分运算功能。作用于一标量场可得到一矢量场。 作用于一矢量场A，如进行点积运算得到一标量场A，如果进行一矢积运算可得到一矢量A。 标量场的梯度grad是一矢量，其模为最大方向导数，方向为场最大变化率方向grad = 矢量场A的散度divA反映矢量场的通量体密度，是一标量。divA= A，矢量场A的旋度CurlA反映矢量场的环量面密度，是一矢量，其模等于最大环量面密度，最大环量面密度时，曲面法线方向即旋度方向。CurlA = A。 矢量运算恒等关系要记牢。 复习范围1.6,作业(P53) 1.4 1.6 1.7,
