1、第 8 章 一元一次不等式【知识内容】13.3 一元一次不等式组和它的解法【知识重点】掌握一元一次不等式组解集的含义，难点是求不等式组中各不等式解集的公共部分。【知识点精析】1几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。2组成一元一次不等式组的各一元一次不等式必须含同一个未知数，如 ，就不42zy是一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集在数轴上是各一元一次不等式解集的重合部分，如果在数轴上表示的各一元一次不等式解集没有重合部分，就说明一元一次不等式组无解。3由一元一次不等式组成的一元一次不等式组经过化简，最终
2、可归纳为四种基本类型：设 ab，则 ； ； ； 。利用数轴可以确定它们的解bxabxa集，也可以用口诀帮助分析：“同大（于）取大（数） ，同小（于）取小（数） ，小（于）大（数）大（于）小（数）取中间，大（于）大（数）小（于）小（数）是空集” 。【解题方法指导】例 1、 不等式组 的解集是（ ）32xAx3 Bx2 C3x2 Dx3 或x2分析：求不等式组的解集，即要求不等式解集的公共部分，借助数轴找出解集的重合部分即可。解：由得 x3，综合，x3说明：本例也可按“同小取小”的法则判断。例 2、解不等式组：3 2 0（1） （2） 215x31)4(x解：（1）由得 x 3由得 x3 3x 2
3、（2）由得 x2由得 x0不等式组无解例 3、 求同时满足 6x+34x+7 和 8x35x+12 的整数解。分析：“同时满足”说明要求两个不等式组成的不等式组的解集，再确定它的整数解。解：由题意，得 12538746x由得 x2，由得 x5 2x5 整数 x 为 3，4，5。例 4、当 a1 时，(1a)x2 的解为（ ）Ax Bx Cx Dxa1a1212a分析：因 a1，故 1a0，即要在不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变。解：B。说明：化系数为 1 时，如系数是含字母的代数式，一定要注意对系数进行讨论分析，特别是系数小于 0 时，要改变不等号的方向。例 5、幼儿园有玩具若干件，
4、分给小朋友，如果每人分 3 件，那么还余 59 件；如果每人分 5 件，那么最后一个人还少几件，求这个幼儿园有多少玩具？有多少个小朋友？分析：此例中有两个未知数（幼儿园玩具数和小朋友数） ，且没有两个等量关系使我们能够列二元一次方程组求解。但题目中“每人分 5 件，那么最后一个人还少几件”却蕴含有两个不等关系：“玩具数小于小朋友人数的 5 倍” 、 “玩具数大于小朋友人数与 1 的差的 5倍” 。于是可考虑列一元一次不等式组求解。解：设小朋友有 x 人，则有 x593)1(3 2 1 0 12 1 00 2 4 5解不等式，得 x32。解不等式，得 x29.529.5x32 x 是整数 x=3
5、0，31。此时，3x+59=149，152答：该幼儿园有小朋友 30 人，玩具 149 件。或者有小朋友 31 人，玩具 152 件。说明：利用列一元一次不等式组解应用题的步骤与列一次方程组解应用题大体相同。不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式。前者寻求的是不等关系，列出的是不等式，并且解不等式组所得结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案。本例还可用下列方法求解。设幼儿园有 x 位小朋友，有 y 件玩具，最后一位小朋友分给 z 件玩具，显然 0z5，且 z 为整数。根据题意有： 由消去 y 代入，得50)1(93zxy 5264x解出这个不等式即得。例 6、 解下列不等式（组）
6、，并在数轴上表示出解集。（1）2(3x1)3(4x+5)x4(x7) （2） 15)2(3713xx（3） （4） 412)( 0862x解：（1）6x212x15x4x+286x12xx+4x28+2+153x45 x15用数轴表示解集为：（2）5(3x+1)153(7x3)+2(x2),15x+51521x9+2x4,15x21x21x945+158x3 x 83（3）由得 x4；由得 x 。47用数轴表示的解集为：不等式组无解（4）由得 x 2 ；由得 x 3用数轴表示的解集为：不等式组的解为 2x3说明：由三个不等式组成的不等式组，其解集是三个不等式解集的公共部分，即数轴上表示出的解集
7、的重合部分。例 7、 当 k 取何值时，方程 x3k=5(xk)+1 的解是：（1）正数；（2）负数；32（3）零。解： x3k=5(xk)+122x9k=15(xk)+32x9k=15x15k+313x=6k+3 x= 136k（1）当 0 时，k （2）当 0 时，k （3）当36 21=0 时，k=36k2说明：本题是方程与不等式的综合运用，先把 k 看成常数，x 看成未知数解方程，对它的解进行讨论。例 8、如果不等式组 的解集为 5x22，求 a，b 的值。axb53672解：由得 ；由得x36b 53627ba5ba例 9、一种灭虫药粉 30 千克，含药率是 15%，现在要用含药率较
8、高的同种灭虫药粉 50 千克和它混合，使混合后的含药率大于 20%而小于 35%，则所用药粉的含药率 x 的范围是 。解：由题意得 %35)0(5%1302x解这个不等式组，得 23%x47%。例 10、现有三种合金：第一种含铜 60%和含锰 40%；第二种含锰 10%和含镍 90%；第三种含铜 20%、含铜 20%、锰 50%和含镍 30%。现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍 45%的新合金，重量为 1 千克。 （1）试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；（2）求新合金中含第二种合金的重量的范围；（3）求新合金中含锰的重量的范围。解：设第一种合金 x 千克，第二种合金 y
9、千克，则第三种合金为（1xy）千克。（1）90%y30%（1xy） = 45%1y = 42（2）由（1） ，得 xxyx234)12(1 其解集为 从而12340x210x214y即第二种合金质量在 千克到 千克之间。（3）新合金中含锰量：40%x10%y50%（1xy）= 50%10% x40% y= 50%10% x40%（ ）412x= 40%30% x 25% 40%30% x 40% 210x即新合金中含锰的质量范围是 250 克到 400 克之间。例 11、某公司计划下一年度生产一种新型计算机，下面是各部门提供的数值信息：人事部：明年生产工人不多于 80 人，每人每年工时按 24
10、00 小时计算；市场部：预测明年销售量至少是 10000 台；技术部：生产一台计算机，平均要用 12 个工时，每台机器需要安装 5 个某种主要部件；供应部：今年年终将库存某种主要部件 2000 件，明年能采购到的这种主要部件为80000 件。请根据上述信息判断，明年该公司的生产量可能是多少？解：设明年产量为 x 台，依题意可得解得 8025411640x此不等式组的解集为 x16000。考虑到明年销售量至少是 10000 台，明年产量应为 10000 台到 16000 台之间。例 12、某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产A、B 两种产品，共 50
11、件，已知生产一件 A 种产品，需用甲种原料 9 千克，乙种原料 3 千克，可获利润 700 元；生产一件 B 种产品，需用甲种原料 4 千克，乙种原料 10 千克，可获利润 1200 元。 （1）按要求安排 A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产 A、B 两件产品获总利润为 y 元，其中一种的生产件数为 x，试写出 y 与 x 之间的关系式，并利用相关的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解：（1）设安排生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品为（50x）件，则有：解此不等式组得 30x32290)5(033649x因 x 为整数，x 取 30，31，32， （50x）取 20，19，18。故生产方案有三种：A 种产品生产 30 件，B 种产品 20 件；A 种产品生产 31 件，B 种产品 19 件；A 种产品生产 32 件，B 种产品 18 件。（2）设生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品（50x）件，依题意，得y = 700x1200（50x）= 500x60000500x60000 中，x 越大，500x 越小，且 x 不超过 30，当 x = 30 时，y 取最大值。故按第一种方案生产，获最大总利润为：30（500）60000 = 45000（元）
