1、深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理第 0 页 共 10 页2016 年高考数学全国 1 卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题只有一项是符合题目要求的.1设集合 A=x|x24x+30，B=x|2x30，则 AB=（ ）A （3， ） B （3， ） C （1， ） D （ ，3）2设（1+i）x=1+yi，其中 x，y 是实数，则|x+yi|=（ ）A1 B C D23已知等差数列a n前 9 项的和为 27，a 10=8，则 a100=（ ）A100 B99 C98 D974某公司的班车在 7：00，8：00，8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间
2、到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）A B C D5已知方程 =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ ）A （1，3） B （1， ） C （0，3） D （0， ）6如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ）A17 B18 C20 D287函数 y=2x2e |x|在2，2的图象大致为（ ）A B C D8若 ab1，0c1，则（ ）Aa cb c Bab cba c Calog bcblog ac Dlog aclog bc9执行如图
3、的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出 x，y 的值满足（ ）Ay=2x By=3x Cy=4x Dy=5x10以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点已知|AB|=4 ，|DE|=2 ，则 C 的焦点到准线的距离为（ ）A2 B4 C6 D811平面 过正方体 ABCDA 1B1C1D1的顶点 A，平面 CB1D1，平面 ABCD=m，平面 ABB1A1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（ ）A B C D12已知函数 f（x）=sin（x+） （0，| ） ，x= 为 f（x）的零点，x= 为 y=f（x）图象的对称轴，且 f（
4、x）在（ ， ）上单调，则 的最大值为（ ）A11 B9 C7 D5二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理第 1 页 共 10 页13设向量 =（m，1） ， =（1，2） ，且| + |2=| |2+| |2，则 m= 14 （2x+ ） 5的展开式中，x 3的系数是 （用数字填写答案）15设等比数列a n满足 a1+a3=10，a 2+a4=5，则 a1a2an的最大值为 16某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材
5、料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）=c（）求 C；（）若 c= ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长18 （12 分）如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面
6、体中，面 ABEF 为正方形，AF=2FD，AFD=90，且二面角DAFE 与二面角 CBEF 都是 60（）证明平面 ABEF平面 EFDC；（）求二面角 EBCA 的余弦值19 （12 分）某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X
7、表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数（）求 X 的分布列；（）若要求 P（Xn）0.5，确定 n 的最小值；（）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19 与 n=20 之中选其一，应选用哪个？深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理第 2 页 共 10 页20 （12 分）设圆 x2+y2+2x15=0 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1，0）且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作AC 的平行线交 AD 于点 E（）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直
8、线 l 交 C1于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围21 （12 分）已知函数 f（x）=（x2）e x+a（x1） 2有两个零点（）求 a 的取值范围；（）设 x1，x 2是 f（x）的两个零点，证明：x 1+x22深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理第 3 页 共 10 页请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，OAB 是等腰三角形，AOB=120以 O 为圆心， OA 为半径作圆（）证明：直线 AB 与O 相切；（）点 C，D 在O
9、 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明：ABCD选修 4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （t 为参数，a0） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos（）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（）直线 C3的极坐标方程为 = 0，其中 0满足 tan 0=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a选修 4-5：不等式选讲24已知函数 f（x）=|x+1|2x3|（）在图中画出 y=f（x）的图象；（）求不等式|f（x）|1 的解集深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理第 4 页 共 10 页2
10、016 年高考数学全国 1 卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 【解答】解：集合 A=x|x24x+30=（1，3） ，B=x|2x30=（ ，+） ，AB=（ ，3） ，故选：D2 【解答】解：（1+i）x=1+yi，x+xi=1+yi，即 ，解得 ，即|x+yi|=|1+i|= ，故选：B3 【解答】解：等差数列a n前 9 项的和为 27，S 9= = =9a59a 5=27，a 5=3，又a 10=8，d=1，a 100=a5+95d=98，故选：C4 【解答】解：设小明到达时间为 y，当
11、 y 在 7：50 至 8：00，或 8：20 至 8：30 时，小明等车时间不超过 10 分钟，故 P= = ，故选：B5 【解答】解：双曲线两焦点间的距离为 4，c=2，当焦点在 x 轴上时，可得：4=（m 2+n）+（3m 2n） ，解得：m2=1，方程 =1 表示双曲线，（m 2+n） （3m 2n）0，可得：（n+1） （3n）0，解得：1n3，即 n 的取值范围是：（1，3） 当焦点在 y 轴上时，可得：4=（m 2+n）+（3m 2n） ，解得：m2=1，无解故选：A6 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 后的几何体，如图：可得： = ， R=2它的表面积是：
12、42 2+ =17故选：A7 【解答】解：f（x）=y=2x 2e |x|，f（x）=2（x） 2e |x| =2x2e |x|，故函数为偶函数，当 x=2 时，y=8e 2（0，1） ，故排除 A，B； 当 x0，2时，f（x）=y=2x 2e x，f（x）=4xe x=0 有解，故函数 y=2x2e |x|在0，2不是单调的，故排除 C，故选：D8 【解答】解：ab1，0c1，函数 f（x）=x c在（0，+）上为增函数，故 acb c，故 A 错误；函数 f（x）=x c1 在（0，+）上为减函数，故 ac1 b c1 ，故 bacab c，即 abcba c；故 B 错误； logac
13、0，且 logbc0，log ab1，即 = 1，即 logaclog bc故 D 错误；0log aclog bc，故blog acalog bc，即 blogacalog bc，即 alogbcblog ac，故 C 正确；故选：C9 【解答】解：输入 x=0，y=1，n=1，则 x=0，y=1，不满足 x2+y236，故 n=2，则 x= ，y=2，不满足 x2+y236 ，故 n=3，则 x= ，y=6 ，满足 x2+y236，故 y=4x，故选：C10 【解答】解：设抛物线为 y2=2px，如图：|AB|=4 ，|AM|=2 ，|DE|=2 ，|DN|= ，|ON|= ，xA= =
14、，|OD|=|OA| ， = +5，解得：p=4 C 的焦点到准线的距离为：4故选：B深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理第 5 页 共 10 页11 【解答】解：如图：平面 CB1D1，平面 ABCD=m，平面 ABA1B1=n，可知：nCD 1，mB 1D1，CB 1D1是正三角形m、n 所成角就是CD 1B1=60则 m、n 所成角的正弦值为： 故选：A12 【解答】解：x= 为 f（x）的零点，x= 为 y=f（x）图象的对称轴， ，即 ， （nN）即 =2n+1， （nN）即 为正奇数，f（x）在（ ， ）上单调，则 = ，即 T= ，解得：12，当 =11 时， +=k，kZ，| ，
15、= ，此时 f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意；当 =9 时， +=k，kZ，| ，= ，此时 f（x）在（ ， ）单调，满足题意；故 的最大值为 9，故选：B二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 25 分.13 【解答】解：| + |2=| |2+| |2，可得 =0向量 =（m，1） ， =（1，2） ，可得 m+2=0，解得 m=2故答案为：214 【解答】解：（2x+ ） 5的展开式中，通项公式为：T r+1= =25r ，令 5 =3，解得 r=4x 3的系数 2 =10故答案为：10 15 【解答】解：等比数列a n满足 a1+a3=10，a 2+a4=5，可得
16、q（a 1+a3）=5，解得 q= a 1+q2a1=10，解得 a1=8则 a1a2an=a1nq1+2+3+（n1） =8n = = ，当 n=3 或 4 时，表达式取得最大值：=26=64故答案为：6416 【解答】解：（1）设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元由题意，得 ，z=2100x+900y不等式组表示的可行域如图：由题意可得 ，解得： ，A（60，100） ，目标函数 z=2100x+900y经过 A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：210060+900100=216000 元故答案为：216000深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理第 6 页 共
17、 10 页三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 【解答】解：（）在ABC 中，0C，sinC0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即 2cosCsin（A+B） ）=sinC2cosCsinC=sinCcosC= ，C= ；（）由余弦定理得 7=a2+b22ab ，（a+b） 23ab=7 ，S= absinC= ab= ，ab=6，（a+b）218=7，a+b=5，ABC 的周长为 5+ 18 【解答】 （）证明：ABEF 为正方形，AFE
18、FAFD=90，AFDF，DFEF=F，AF平面 EFDC，AF平面 ABEF，平面 ABEF平面 EFDC；（）解：由 AFDF，AFEF，可得DFE 为二面角 DAFE 的平面角；由 ABEF 为正方形，AF平面 EFDC，BEEF，BE平面 EFDC 即有 CEBE，可得CEF 为二面角 CBEF 的平面角可得DFE=CEF=60ABEF，AB平面 EFDC，EF 平面 EFDC，AB平面 EFDC，平面 EFDC平面 ABCD=CD，AB 平面 ABCD，ABCD，CDEF，四边形 EFDC 为等腰梯形以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设 FD=a，则 E（0，0，0） ，B（0，
19、2a，0） ，C（ ，0， a） ，A（2a，2a，0） ， =（0，2a，0） ， =（ ，2a， a） ， =（2a ，0，0）设平面 BEC 的法向量为 =（x 1，y 1，z 1） ，则 ，则 ，取 =（ ，0，1） 设平面 ABC 的法向量为 =（x 2，y 2，z 2） ，则 ，则 ，取 =（0， ，4） 设二面角 EBCA 的大小为 ，则 cos= = = ，则二面角 EBCA 的余弦值为 19 【解答】解：（）由已知得 X 的可能取值为 16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（ ） 2= ，P（X=17）= ，P（X=18）=（ ） 2+2（ ） 2= ，P
20、（X=19）= = ，P（X=20）= = = ，P（X=21）= = ，P（X=22）= ，X 的分布列为：深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理第 7 页 共 10 页X 16 17 18 19 20 21 22P （）由（）知：P（X18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）= = P（X19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）= + = P（Xn）0.5 中，n 的最小值为 19（）解法一：由（）得 P（X19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）= + = 买 19 个所需费用期望：EX1=200 +（20019+50
21、0） +（20019+5002） +（20019+5003） =4040，买 20 个所需费用期望：EX2= +（20020+500） +（20020+2500） =4080，EX 1EX 2，买 19 个更合适解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当 n=19 时，费用的期望为：19200+5000.2+10000.08+15000.04=4040，当 n=20 时，费用的期望为：20200+5000.08+10000.4=4080，买 19 个更合适20 【解答】解：（）证明：圆 x2+y2+2x15=0 即为（x+1） 2+y2=1
22、6，可得圆心 A（1，0） ，半径 r=4，由 BEAC，可得C=EBD，由 AC=AD，可得D=C，即为D=EBD，即有 EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故 E 的轨迹为以 A，B 为焦点的椭圆，且有 2a=4，即 a=2，c=1，b= = ，则点 E 的轨迹方程为 + =1（y0） ；（）椭圆 C1： + =1，设直线 l：x=my+1，由 PQl ，设 PQ：y=m（x1） ，由 可得（3m 2+4）y 2+6my9=0，设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，可得 y1+y2= ，y 1y2= ，则|MN|= |y1y 2|= = =12
23、 ，A 到 PQ 的距离为 d= = ，|PQ|=2 =2 = ，则四边形 MPNQ 面积为 S= |PQ|MN|= 12=24 =24 ，当 m=0 时，S 取得最小值 12，又 0，可得 S24 =8 ，即有四边形 MPNQ 面积的取值范围是12，8 ） 21 【解答】解：（）函数 f（x）=（x2）e x+a（x1） 2，f（x）=（x1）e x+2a（x1）=（x1） （e x+2a） ，若 a=0，那么 f（x）=0（x2）e x=0x=2，函数 f（x）只有唯一的零点 2，不合题意；若 a0，那么 ex+2a0 恒成立，当 x1 时，f（x）0，此时函数为减函数；当 x1 时，f（
24、x）0，此时函数为增函数；此时当 x=1 时，函数 f（x）取极小值e，由 f（2）=a0，可得：函数 f（x）在 x1 存在一个零点；当 x1 时，e xe，x210，f（x）=（x2）e x+a（x1） 2（x2）e+a（x1） 2=a（x1） 2+e（x1）e，令 a（x1） 2+e（x1）e=0 的两根为 t1，t 2，且 t1t 2，则当 xt 1，或 xt 2时，f（x）a（x1） 2+e（x1）e0，故函数 f（x）在 x1 存在一个零点；即函数 f（x）在 R 是存在两个零点，满足题意；若 a0，则 ln（2a ）lne=1，当 xln（2a ）时，x1ln（2a）1lne1=
25、0，ex+2ae ln（2a） +2a=0，即 f（x）=（x1） （e x+2a）0 恒成立，故 f（x）单调递增，深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理第 8 页 共 10 页当 ln（2a）x1 时，x10，e x+2ae ln（2a） +2a=0，即 f（x）=（x1） （e x+2a）0 恒成立，故 f（x）单调递减，当 x1 时，x10，e x+2ae ln（2a） +2a=0，即 f（x）=（x1） （e x+2a）0 恒成立，故 f（x）单调递增，故当 x=ln（2a）时，函数取极大值，由 f（ln（2a） ）=ln（2a）2（2a）+aln（2a）1 2=aln（2a）2 2+1
26、0 得：函数 f（x）在 R 上至多存在一个零点，不合题意；若 a= ，则 ln（2a） =1，当 x1=ln（2a）时， x10，e x+2ae ln（2a） +2a=0，即 f（x）=（x1） （e x+2a）0 恒成立，故 f（x）单调递增，当 x1 时，x10，e x+2ae ln（2a） +2a=0，即 f（x）=（x1） （e x+2a）0 恒成立，故 f（x）单调递增，故函数 f（x）在 R 上单调递增，函数 f（x）在 R 上至多存在一个零点，不合题意；若 a ，则 ln（2a） lne=1，当 x1 时，x1 0，e x+2ae ln（2a） +2a=0，即 f（x）=（x1
27、） （e x+2a）0 恒成立，故 f（x）单调递增，当 1xln（2a）时，x10，e x+2ae ln（2a） +2a=0，即 f（x）=（x1） （e x+2a）0 恒成立，故 f（x）单调递减，当 xln（2a）时，x10，e x+2ae ln（2a） +2a=0，即 f（x）=（x1） （e x+2a）0 恒成立，故 f（x）单调递增，故当 x=1 时，函数取极大值，由 f（1）=e0 得：函数 f（x）在 R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为（0，+）证明：（）x 1，x 2是 f（x）的两个零点，f（x 1）=f（x 2）=0，且 x11，且 x21，a=
28、 = ，令 g（x）= ，则 g（x 1）=g（x 2）=a，g（x）= ，当 x1 时，g（x）0，g（x）单调递减；当 x1 时，g（x）0，g（x）单调递增；设 m0，则 g（1+m）g（1m）= = ，设 h（m）= ，m0，则 h（m）= 0 恒成立，即 h（m）在（0，+）上为增函数，h（m）h（0）=0 恒成立，即 g（1+m）g（1m）恒成立，令 m=1x 10，则 g（1+1x 1）g（11+x 1）g（2x 1）g（x 1）=g（x 2） 2x 1x 2，即 x1+x22请考生在 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-1：几何证明选讲
29、【解答】证明：（）设 K 为 AB 中点，连结 OK，OA=OB，AOB=120，OKAB，A=30，OK=OAsin30= OA，直线 AB 与 O 相切；（）因为 OA=2OD，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心设 T 是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心OA=OB，TA=TB，OT 为 AB 的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，OT 为 CD 的中垂线，ABCD选修 4-4：坐标系与参数方程【解答】解：（）由 ，得 ，两式平方相加得，x 2+（y1） 2=a2C 1为以（0，1）为圆心，以 a 为半径的圆化为一般式：x 2+y22y+1a 2=0由 x2+y2= 2，y
30、=sin，得 22sin+1a 2=0；（）C 2：=4cos，两边同时乘 得 2=4cos，x 2+y2=4x，即（x2） 2+y2=4由 C3：= 0，其中 0满足 tan 0=2，得 y=2x，曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，y=2x 为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程，得：4x2y+1a 2=0，即为 C3 ，1a 2=0，a=1（a0） 选修 4-5：不等式选讲24【解答】解：（）f（x）= ，由分段函数的图象画法，可得 f（x）的图象，如右：（）由|f（x）|1，可得深圳星火教育龙华数学组余凤老师整理第 9 页 共 10 页当 x1 时，|x4|1，解得 x5 或 x3，即有 x1；当1x 时，|3x2| 1，解得 x1 或 x ，即有 1x 或 1x ；当 x 时，|4x|1，解得 x5 或 x3，即有 x5 或 x3综上可得，x 或 1x3 或 x5则|f（x）|1 的解集为（ ， ）（1，3）（5，+）
