1、试验模态分析,第四章引言,第4章 模态参数的获取方法 （频域识别法）,4.1引言 前面已经讨论了模态试验的第一阶段测得原始数据，并用以推导出所要求的数学模型。也就是说通过介绍模态分析理论，将频响函数与模态参数的关系搞清了，下面我们就可以进行模态参数识别了。,一般情况下工程中遇到的问题都不太可能是简化为一个自由度的系统。其实，实际结构一般都很复杂的。从数学上来讲，其推出的运动方程为一组变量之间相互藕联的方程组。学过振动分析的同学知道：在一定条件下，我们总可以将这一组藕连的方程组解藕，也就是说，可以转换为N个互不相关的单自由度方程来进行研究。这是从理论上或从数学上来说。但实际测试问题是复杂的。从实
2、际测量到的导纳函数数据来看，我们可以将工程中结构的导纳函数分成两大类：一类是模态密集型的，如图所示。另一类是模态稀疏型的，如图所示。,这两种类型，从物理上来说，取决于被测系统的阻尼性质（当然与系统的固有频率也有关）。对小阻尼或比例阻尼的被测系统就是（b）图所示的形式。工程中这类结构是较多的。,从（b）图中我们可以看出，其各阶模态的相互影响较小。故我们由此可以联想到，将各阶模态作为单自由度系统来识别，那就简单多了。也就是，如果我们将单自由度系统的参数识别方法了解了。可将此方法用于多自由度系统的参数识别。,4.2单自由度系统参数频域识别方法和原理,单自由度系统的数学模型有粘性阻尼与结构阻尼两种形式
3、，其运动方程分别为,（41）,（42）,式中：g结构阻尼系数；,粘性阻尼系数。,由位移频响函数（位移导纳）我们可求得 对粘性阻尼系统，其导纳为：,对于结构阻尼系统，其导纳为：,式中 结构阻尼比（损耗因子）,可以看出（43）式和（44）式都是 的复函数。故我们可以将他改写成复变函数的形式，即,（45）,前面一个是幅相频形式，即指数形式；而后面一个是则是虚、实部形式。形式的不同，实际上就预示着下面我们要讨论各种不同的参数识别方法。,在小阻尼情况下，结构阻尼和粘性阻尼模型图很相象（见图）。这两种阻尼的关系可由公式 进行近似换算。,下面我们仅介绍结构阻尼和粘性阻尼系统位移频响函数（位移导纳）的图解识别
4、方法。,（）结构阻尼系统,1、幅频图法,结构阻尼幅频曲线公式为：,（46）,其图形为：,由峰值位置，可得其共振频率 ，而固有频率 （小阻尼）,由共振峰值 求出半功率点幅值 ，由半功率点幅值位置确定对应的频率 。然后确定半功率点频带宽 ，那么阻尼比的识别公式为,（47）,由（46）式得共振峰值 ，故有：,（48）,由固有频率 的定义得：,所有参数都识别了,（49）,2、相频图法,相频曲线公式为：,（410）,其图形为：,由（10）式知 ，可确定固有频率,由 的值对应的频率来确定半功率点带宽,由 确定阻尼比 为：,3、实频图法,对（44）式我们取实部，则频响函数实部对于频率的表达式为：,（411）
5、,其图形为,由图中知 ，确定固有频率,由 的正负峰值所对应的频率，确定半功率点带宽 ，得：,由 的峰值得 （此式由（411）式求导数令等于零，得 再代回（411）式即可得）,。则,（412）,同前有 确定,所有参数都识别了,4、虚频图法,同理对（44）式取虚部，则有：,（413）,其图形可表示为：,由负峰值的位置（负峰值所对应的频率）确定,由负峰值0.5倍所对应的频率，得半功率点带宽,，从而得：阻尼比,由负峰值,确定为：,同理,确定了,虚频图法基本与幅值法相同。,5、矢量端图法（奈奎斯特法Ngquist）,由（411）式与（413）式我们可以推得频响函数（导纳函数）的曲线方程为：,(415),
6、矢量端曲线方程图可表示如下：,可以看出曲线为一半径为 的圆其圆心坐标为 ，而在圆的右上方有一小缺口。,注意这里纵坐标为虚部，而横坐标为实部。,由图圆弧与虚轴的交点确定,（即 处）。,由（ 和 确定 ）图的最左端（如图）确定频带宽， 。从而得阻尼比,由图的半径 得：,同理 确定了,以上五种识别方法中矢量端图法有较高的精度，因为矢量端图将幅频图中狭窄的半功率带宽区（共振区）扩展为半个圆弧区，故识别的精度较高。,（）粘性阻尼系统,前面讨论的五种方法基本上都适用于粘性阻尼系统。我们就不一一重复讨论了。在计算时原则上，只要将 代替 就行了。,但要注意，粘性阻尼系统的频响函数的矢量端图不是精确的圆形，而是
7、桃形（如图），但在图形的下半部，基本上是圆形。,随便说一下，频率所对应的相位也可在图上量出。（见图）,对于重阻尼，一般用速度频响函数（速度导纳）来识别参数。（也就是说，测试时用里与速度传感器得到数据，再计算再绘出其图形。）其图形为。,其公式为：,（417）,此时速度导纳的矢量端图为一精确的封闭圆，其方程为：,各参数的识别方法同前面所讲的一样。其它导纳的情况见发给的图,4.3 识别多自由度系统的单自由度法,对于多自由度系统其频响函数表示为一个矩阵，其中矩阵的某个元素可表示为：,粘性阻尼：,（419）,结构阻尼：,（420）,这里我们仅讨论实模态。从公式中可知，这两个系统的曲线是很相似的，故下面我
8、们只讨论结构阻尼的情况。,模态稀疏情况,要用单自由度系统的识别方法来用于多自由度系统条件是该系统的各阶模态不耦合或轻微耦合。所谓无耦合系统从图上可以这样说明：,即某一阶模态，在其固有频率附近的幅值，主要反映本阶的幅值，也就是说相邻模态的相互影响可以忽略。（用图说明）这是试验模态技术的一个重要假设。,有了以上的假设，那么（420）式中的 就可以不要了，即（420）式可以近似地写成：,（421）,或,（422）,式中,第,阶等效刚度 （423）,由（422）式与前面的单自由度系统比较，可知其形式上完全一样。故我们可以用前面的方法来一阶一阶地识别固有频率 、阻尼比 及刚度 。只不过这时的刚度是等效刚
9、度。,对于模态稀疏情况等效刚度的识别一般用虚频图来识别。其方法如下： 对（422）式写出其虚部，则有：,当,时，,故,以上是用单自由度的方法来识别稀疏情况的多自由度系统，而多自由度系统还有一个识别主振型的问题，即主模态振型矢量的识别。,为识别主振型（主模态）矢量，需要频响函数矩阵中的一列,，也就是说，从不同测点测得频响函数,可得到各点的等效柔度,组成的矢量，,然后经规格化后得模态矢量,即等效柔度矢量为：,（425）,4.4 频域识别的多自由度方法,对于模态耦合轻微的系统，利用单自由度曲线拟合方法已有足够的精度，一般工程中的多数问题都可以利用单自由度方法处理。但工程中也有不少模态密集、阻尼较大的
10、系统，即模态耦合严重的问题，这时利用单自由度方法就不易将相邻模态区分开，必须用多自由度曲线拟合方法。频域识别的基本公式可分为实模态理论与复模态理论两大类。在一般轻阻尼系统中，采用实模态理论并不会带来显著误差。下面介绍几个基本方法。,一、频域最小二乘迭代法,在代数方程中的最小二乘法大家都知道的，他是将误差的平方，再求对变量的偏导数，且令偏导数为零，则可得误差最小的未知量得解。但我们这里是矢量或矩阵计算中的最小二乘法有些不同，故我们补充一点数学知识，即,矢量（矩阵）最小二乘法,我们先给出定理，再进行说明（证明）,定理：如果,（a）,则 的最小二乘解为：,证：设,这里 是方程（a）解的误差向量，故其
11、方向与大小是任意的。要使方程（a）的解的误差最小，我们取 与 正交，即有,(b),这相当于代数方程中最小二乘法的求偏导数为零。,将 对（b）式左乘则有,故有,解出 则定理得证#,频域最小最小二乘迭代法可分为总体迭代和局部迭代两种方法。下面我们仅讨论实模态理论中的局部迭代方法。,我们知道对于N个自由度的结构阻尼系统，其频响函数的虚部公式为,（1）,注意：这里 是表示横坐标的变量，原来理论上是连续变量现已离散化是具体数值了，又这里 是不能去掉的，因为这里是耦合系统。令等效柔度为：,（2）,那么（1）可写为:,（3）, 前面我们已说过了， 是横坐标变量（离散的），如果我们取 ，则我们有个 采样值。
12、现记为 ，即,为了要识别 我们给出 的初始值 。,说明： 是直接由单自由度识别方法来获得的，这时由于系统是耦合的 ，不是精确的值，但可以作为迭代的初始值。,从（3）式中我们可以看出（ 都是已知了 ）， 是 的线性函数。那么 可将写成矩阵形式，即：,（4）,（5）,（6）,式中： 的元素为：,由向量最小二乘法定理，方程（4）式的最小二乘解为：, 先 将在 及 附近展开成台劳级数，并略去高阶项，则有：,由（7）式写成矩阵形式（上式是元素，共有M个（7）式,因 ）,(8),(7),式中:,(9),的元素为 及 组成。（是 个阶矩阵）,而方程（8）的最小二乘解为：,（10）,那么我们所求参数为:,（1
13、1）,检查所求参数的精度 , ；如不满足，则将 和 作为初始值进行迭代，直到满足精度。有了 和 ，就可求得 即 ，从而由（6）式得 ，经标准化，则可得主模态 。,全部参数识别完成。,（二）克罗斯特曼法,我们先写出N个自由度的粘性阻尼系统频响函数的实部、虚部公式为,（12）,（13）,式中,设将要识别的参数为:,（14）,那么（12）式与（13）式可写成,（15）,（16）,式中系数：,（17）,（18）,说明：此方法中固有频率 不是待识别量，是从图解法中得到（即单自由度识别方法得到）,阻尼比 取上一次迭代值；初始值 由图解识别方法给出。故所以 都可看作已知量。,同前面一样，针对 的采样值 ，可
14、将方程（15）式、（16）式写成矩阵形式，即,（20）,（19）,式中： 和 的元素为：,方程（19），（20）式的最小二乘解为,（22）,（21）,当解得 和 后，可得各阶阻尼比为,若 的精度不够时，可将 作为初始值代入 中再次求解，直到精度满足为止。,（23）,为求结构的主振型，必须有多个测点， ，这样（19）式与（20）式为相应的增广矩阵方程：,（24）,（25）,这里 为 阶矩阵。,同理其最小二乘解为,（26）,（27）,这样就可将按行标准化，即可得模态矩阵的转换矩阵,最后可由下列公式解得模态参数,所有模态参数都识别了,（28）,我们这里就介绍两种，其它还有很多方法，如：,1、改进的克罗斯特曼方法；2、多项式拟合法；3、利用优化原理识别法，等等。,这些方法都没有跳出最小二乘的方法，基本上是最小二乘法基础上的改进，或具体系统的特殊识别方法。,以上所讨论的是频域模态识别方法，另外还有时域识别方法。这种方法现在也很热门（但太专门化了）但要补上时间序列分析的专门知识，在这里我们就不讨论了，有兴趣的同学可看些专门的书。,
