1、第二章 自动控制系统的数学模型,2-1 自动控制元件运动方程的建立 2-2 小偏差线性化 2-3 自动控制系统运动方程的建立 2-4 线性常微分方程的建立 2-5 传递函数,下一页,第二章 自动控制系统的数学模型,2-6 结构图及其等效交换 2-7 信号流图及梅森增益公式 2-8 自动控制系统的传递函数 2-9 典型环节传递函数的基本因子 2-10 脉冲响应函数,上一页,2-1 自动控制元件运动方程的建立,例2-1 如图2-1所示的RC网络，u1为输入量，u2位输出量，试列 写其运动方程。 解 根据克希荷夫第二定律有Ri+u2=u1 (2-1)而 u2= (2-2)i= (2-3)式中q是电容
2、C上的电量，式（2-2）代入式（2-3），得i=C （2-4）式（2-4）代入式（2-1），得T +u2=u1 (2-5),下一页 返回,2-1 自动控制元件运动方程的建立,式中T=RC称为该网络的时间常数，式（2-5）则为图2-1所示 RC网络的运动方程或数学模型。 例2-2 图2-2示出由电阻R和电感L所组成的网络，其输入量是电压u,输出量是电感中通过的电流i，试列写其运动过程。 解 根据克希荷夫第二定律有L +Ri=u 即 +i= uT- +i=Ku (2-6) 式中T=L/R称为该网络的时间常数，K=1/R称为该网络的放大系 数或增益。比较式（2-5)和式（2-6）可知，不同元件可以有
3、相 同形式的数学模型。,上一页 下一页,例2-4 图2-4示出质量M、弹簧K和黏性阻尼器B组成的机械系统（弹簧和黏性阻尼器不计质量），作用力f为输入量，质量M得位移y为输出量，试求其运动方程。 解 若取质量M的自然平衡位置作为y的零点，对M去自由体，应用牛顿第二定律可得下面力平衡方程：M +B +Ky=f 或 + +y= f (2-14) 令n= 、=B/(2 )、k=1/K,代入方程（2-14）,2-1 自动控制元件运动方程的建立,上一页 返回,用非线性微分方程研究系统的运动规律是很困难的。为了 解决这一问题，工程上常不去研究系统中变量之间的运动规 律，而是研究变量在工作点附近个增量之间的运
4、动规律。经过 这样处理，用增量所描述的运动方程是线性微分方程。这种将 给线性微分方场转化为线性微分方程的方法称为小偏差线性 化。小偏差线性化的基本假设是：1）系统中的变量在某一工作 点附近做微小变化；2）非线性特性在该工作点可导。在这个条 件下，非线性的特性曲线可用该工作点的切线所代替，变量的,2-2 小偏差线性化,下一页 返回,增量之间成为线性函数关系。一般情况下，元件或系统的非线性特性如图2-9所示，并用 非线性函数描述。其线性化的方法是，把非线性函数在工作点 x0附近展成台劳级数，略去高次项，变得一个以增量为变量的线 性函数。 例2-9 图2-10示出滑阀放大器控制液压缸的原理图，其输入
5、量 为阀芯位移xv，输出量为油缸活塞位移y，试求其线性化运动方 程。 解 由流体力学知道，液压缸的负载流量Ql是阀芯位移xv和负载 压力pl的双变量非线性函数，即,2-2 小偏差线性化,上一页 下一页,Ql=f(xv,pl) (2-46) 其函数关系见图2-11。根据（2-38）式得负载流量Ql得线性化增 量方程 Ql=Kqxv-Kcpl (2-48)如果以Qm表示使活塞移动的流量，以Qt表示泄露流量，以Qv 表示体积压缩流量，根据液流连续性原理则有Ql=Qm+Qt+Qv 并有 Ql=Qm+Qt+Qv (2-49)液压缸的力平衡方程为M +B =plA (2-53),2-2 小偏差线性化,上一
6、页 下一页,当负载及液压缸活塞的质量可以忽略时，活塞位移y对滑阀位移 xv的线性化微分方程为（y) = x (2-55),2-2 小偏差线性化,上一页 返回,例2-12 试列写图2-15所示直流电动机转速控制系统的运动方程。 解 从比较元件开始，按信号传递方向一系列写元件的运动方程1.电位器W的运动方程 由于W为线性电位器，输出电压u1比例 于滑动臂的转角，其运动方程为u1=K1 (2-67) 式中K1电位器的转角电压比例系数，单位为V/rad.2.放大器的运动方程 放大器的输入端有两个输入电压u1和 u2，在放大器中进行相减，然后放大。若放大器的放大系数为 K2，输出电压为ua，并忽略放大器
7、输入阻抗的影响，其运动方程 为 ua=K2(u1-u2) (2-68),2-3 自动控制系统运动方程的建立,下一页 返回,3.电动机的运动方程 电枢控制式直流电动机的运动方式已给 出，其结果是TMTa +TM +=K3Ua-K3(Ta +Tl) (2-69)4.测速发电机的运动方程 在恒定激磁时，有u2=K4 (2-70) 式中K4测速发电机的转速电压比例系数，单位是 V/(rads-1),2-3 自动控制系统运动方程的建立,上一页 返回,例2-14 若描述系统输入输出特性的微分方程为+3 +2y=5x(t) (2-79) 式中y(t)为输出量，x(t)为输入量，并且x(t)=1(t),其初始
8、条 件为y(0-)=-1, (0-)=4,试求其时间解。 解 对方程式（2-79）两端取拉式变换有s2Y(s)-sy(0-)- (0-)+3sY(s)-y(0-)+2Y(s)=y(t)= -5e-t+ e-2t+2e-t-3e-2t t0 (2-81) 式（2-81）的前三项称为零状态响应，它表示在初始条件为零 情况下，输入信号加入后系统的运动规律。这个规律和输入信 号的形式有关，也和描述系统的微分方程有关，即和系统的结,2-4 线性常微分方程的建立,下一页 返回,构参数有关。式（2-81）的后两项称为零输入响应，它表示在 输入信号加入之前，系统储存的能量在信号加入之后的释放规 律，这个规律取
9、决于系统的结构和参数，其大小取决于初始条 件。从另一方面说，式（2-81）的第一项称为受迫分量或稳态 分量，它表示在输入信号作用下，系统到达平衡状态以后的运 动规律。这个规律取决于输入信号的形式，其大小和系统的结 构参数有关。受迫分量对应经典解法中非齐次方程的特解。式 （2-81）第二、三项与第四、五项中相同的函数可以合并，合 并之后成为自由分量或暂态分量，其变化规律取决于系统的结 构和参数，其大小和输入信号及初始条件有关。自由分量对应 经典解法其次方程的通解。,2-4 线性常微分方程的建立,上一页 返回,2-5 传递函数,一、传递函数定义5s2+3s+2系统或元件的传递函数G(s)示在初始条
10、件为零时输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 二、传递函数的性质1）传递函数和微分方程一样，表示系统的运动特性，是系统 数学模型的一种表示形式，它与系统的运动方程一一对应。2）传递函数只取决于系统的结构和参数，与输入量无关。3）传递函数为复变量S的函数，一般为有理分式形式。4）传递函数只适用于线性定常系统。,为系统的传递函数。,返回,一、结构图的基本概念1.信号线 信号线用带箭头的直线表示，箭头方向表示信号的 传递方向，在直线的一侧标出信号名称，一般多用象函数表 示，有时也用时间函数表示，如图2-18（a)所示。2.方框 如图2-18（b）所示，方框中写入传递函数，表示信 号通过此元件时的
11、运动特性。3.加减点（综合点） 加减点符号示于图2-18（c)。4.引出点（分支点） 引出点符号示于图2-18（d） ，它表示 同一信号向不同的方向传递，从同一点引出的信号在数值上完 全一样。,2-6 结构图及其等效交换,下一页 返回,二、结构图等效变换1.串联结构图的等效变换 若系统由传递函数为G1(s)、 G2(s)、Gn（s）的n个元件串联组成，则系统的传递函数为G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s) (2-101) 图2-22示出其变换前后的图形。2.并联结构图的等效变换 若系统由传递函数为G1(s)、G2 （s)、Gn(s)的n个元件并联组成，则系统的传递函数为G(s)=G1(s)
12、+G2(s)+Gn(s) (2-102) 图2-23示出其等效变换前后的图形。3.加减点移动法则 图2-24示出加减点后移情况，在加减点移,2-6 结构图及其等效交换,上一页 下一页,至G(s)之后，输入量X2(s)不再通过G(s),因此在X2(s)与加减点 之间应串入传递函数G(s).图2-25示出加减点前移情况，由于加 减点前移，信号X2(s)到达X3(s)处多一个传递函数G(s),故在 X2(s)与加减点之间应串入传递函数1/G(s).4.引出点移动法则 图2-26示出引出点后移情况，该图有一个 输入量X1(s)，有两个输出量X2(s)和X3(s)，其中X2(s)改由X3(s) 处引出，
13、并保持X2(s)与变换前相等，则应在X3(s)和X2(s)之 间串入传递函数1/G(s).图2-27示出引出点前移情况，其理由与 引出点后移情况相同。5.消去反馈法则 反馈系统的结构图等效变化示于图2-28。,2-6 结构图及其等效交换,上一页 返回,一、信号流图的基本概念信号流图的常用术语1)源点只有输出支路的节点，如图2-30中的x1。2)汇点（阱点）只有输入支路的节点，如图2-30中的x5.3)通路沿支路箭头方向所穿过相连支路的途径，如图2-30中的eh、adfh、b都是通路。4)前向通路从原点开始终止于汇点，且与任何节点相交不多于一次的通路，如图2-30中的eh、ecdg、adg、ad
14、fh。5)通路增益通路通过所有支路的支路系数的乘积。6)反馈回路（简称回路）从一个节点开始，又终于同一节点的通路，而且与某个节点相交不能多于一次，如图2-30中的b、dfc。,2-7 信号流图及梅森增益公式,下一页 返回,7)回路增益形成反馈回路各支路系数的乘积。8)不接触回路互相没有公共节点的回路。 二、信号流图简化1)串联支路的总增益等于各支路增益之积，如图2-31(a)所示2)并联支路总增益等于各支路增益之积，如图2-31(b)所示3)消去混合点，见图2-31(c)。4)消去反馈，见图2-31(d)、(e)。 三、梅森增益公式,2-7 信号流图及梅森增益公式,上一页 返回,一、系统结构图
15、及传递函数图2-36为系统结构图。 二、开环传递函数和闭环传递函数1.开环传递函数 当主反馈断开后，在初始条件为零时，主反 馈的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。若以G(s)表示开环传 递函数，根据图2-37则有 G(s)=G1(s)G2(s)H(s) (2-123),2-8 自动控制系统的传递函数,下一页 返回,式中G1(s)G2(s)成为前向通路传递函数，H(s)称为反馈通路传 递函数。2.闭环传递函数 1）对控制作用的闭环传递函数 令n(t)=0,在初始条件为零 时，闭环系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2）对扰动的闭环传递函数 令r(i)=0，当初始条件为零时， 闭环系统输出量
16、的拉氏变换与扰动的拉氏变换之比。,2-8 自动控制系统的传递函数,上一页 返回,一、比例环节(放大环节）比例环节的特点是输出量y(t)比例与输入量x(t)。 二、惯性环节惯性环节的特点是属于该环节的物理系统含有一种储能元 件，由于系统中有储能元件，能量的储存与释放需要一个过 程，所以当输入信号突变时，输出量不能突变。惯性环节的单 位阶跃响应示于图2-39。 三、振荡环节振荡环节的特点是在组成这一环节的系统中含有两种储能,2-9 典型环节传递函数的基本因子,下一页 返回,元件，在RLC网络中，一种储能元件是电容C，它储藏电场能 量，另一种储能元件是电感L，它储藏磁场能量；在MKB中，质 量M储藏
17、动能，弹簧K储藏位能。在振荡过程中，能量逐渐消耗 在耗能元件上，最后振荡结束，系统达到新的平衡状态。 图2-40示出振荡环节的单位阶跃响应。 四、积分环节积分环节的特点是输出量y(t)比例于输入量x(t)的积分， 图2-42示出其单位阶跃响应曲线。 五、纯微分环节,2-9 典型环节传递函数的基本因子,上一页 下一页,纯微分环节的特点输出量y(t)定输入量x(t)的导数成比 例。 六、一阶微分（比例如微分）环节一节为分环节的特点是输出量y(t)比例与输入量x(t)及其 一阶导数之和。 七、二阶微分环节二阶为分环节的特点是输出量y(t)比例于输入量x(t)及其 一阶导数和二阶导数之和。二阶微分环节
18、的单位阶跃响应示于 图2-46。,2-9 典型环节传递函数的基本因子,上一页 返回,一、单位脉冲函数(t) 二、脉冲响应函数定义脉冲响应函数或称脉冲过渡函数，它是在初始条件为零时，系统对单位脉冲的响应，并用g(t)表示。根据定义，系统的输入量x(t)=(t),X(s)=1,如果系统的传递函数为G(s),则有,2-10 脉冲响应函数,下一页 返回,g(t)=-1G(s) (2-147)或 G(s)=g(t) (2-148) 式(2-147)、(2-148)给出脉冲响应函数与传递函数的关系，前者是根据传递函数求脉冲响应函数的方法，后者是传递函数的物理解释，即传递函数是系统对单位脉冲响应的拉氏变换。
19、因此，和传递函数一样，脉冲响应函数表示了系统的运动特性，是数学模型的一种表达形式。 三、脉冲响应函数和单位阶跃响应的关系 四、根据脉冲响应函数球系统在任意作用使得输出量,2-10 脉冲响应函数,上一页 返回,图2-1,返回,图2-1,返回,图2-2,返回,图2-4,返回,图2-9,返回,图2-10,返回,图2-15,返回,图2-18,返回,图2-24,返回,图2-22,返回,图2-23,返回,图2-25,返回,图2-26,返回,图2-27,返回,图2-28,返回,图2-30,返回,图2-31,返回,图2-36,返回,图2-37,返回,图2-39,返回,图2-40,返回,图2-42,返回,图2-46,返回,
