1、2-0 问题的提出 2-1 控制系统的微分方程 2-2 传递函数 2-3 传递函数方框图等效变换 2-4 典型环节及其传递函数,第二章 自动控制系统的数学模型,ST,拉氏变换定理,方框图结束,方框图练习（10min）,一阶惯性环节,控制 单元,执行 单元,控制 对象,测量 单元,p(t),q(t),y(t),b(t),r(t),e(t),+,-,f(t),y(t)=F(r(t),f(t),为研究系统输出y(t)随时间变化的规律，以及系统的特性，必须研究系统的数学模型。,2-0 问题的提出,ST,END,2-1 控制系统的微分方程,任何一个物理系统都可以用一个微分方程进行描述，控制系统也不例外。
2、 例如：,R,C,Ui(t),UO(t),解,ST,2-1 控制系统的微分方程,R,C,Ui(t),UO(t),ST,当Uo(0)=0时，,一般地，对于线性定常系统，可描述为：,2-1 控制系统的微分方程,ST,END,2-2 传递函数,系统的数学模型可以用微分方程表示，但对复杂的微分方程，其求解过于困难，甚至无法求解。为此研究系统的复数模型，即传递函数。为把实数模型转换为复数模型，必须借助拉氏变换，即 Laplace 变换。,ST,1. Laplace 变换 积分变换的一种，它把复杂的微分方程转换为简单的线性代数方程。定义为：,2-2 传递函数,ST,其中，s=+j；F(s)f(t)的象函数
3、；f(t)F(s)的象原函数 例如：,2. 常用拉氏变换：,2-2 传递函数,ST,3. 拉氏变换定理：,2-2 传递函数,ST,条件：f(0)=0,即初始条件为0,条件：f(0)=f (0)=f (0)= f (n-1)(0)=0,4. 拉氏逆变换：,2-2 传递函数,ST,可通过公式推导，但通常通过查拉氏变换表。如不能直接查到，则应先分解为部分分式和。例如：,5. 传递函数：,2-2 传递函数,ST,R,C,Ui(t),UO(t),设Uo(0)=0，则,2-2 传递函数,ST,从以上可以看出，只要G(s)一确定，该电路（环节、系统）的输出与输入之间的关系便已确定。因此，将G(s)称为该电路
4、（环节、系统）的传递函数。,2-2 传递函数,ST,传递函数的定义：线性定常系统在初始条件为零的情况下，其输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,下面推导一般系统的传递函数：,2-2 传递函数,ST,在初始条件为零的情况下，对两边求拉氏变换得：,传递函数G(s)在复数域表征了在零初始条件下系统的输出量与输入量之间的关系。对于实际的系统，总有nm。即G(s)是复变量s的有理分式。,2-2 传递函数,ST,将G(s)写成：,其中，X(s)=0称为系统的特征方程，也即对应微分方 程的特征方程；pi(i=1n)为X(s)=0的根，称为G(s)的极点；zi(i=1m)为Y(s)=0的根，称为G(s)的
5、零点。 如果系统特征方程中s的次数是n，则称该系统称为n阶系统。,2-2 传递函数,ST,传递函数的性质： 1）分母次数n分子次数m，惯性所致； 2）an,an-1,a1,a0 ; bm,bm-1,b1,b0取决于系统中各元件的参数； 3）传递函数反映系统的固有特性，取决于系统的结构和参数， 与系统存在的物理形式、输 入输出的形式以及初始条件无关； 4）传递函数的零极点若为复数，则必为共轭复数，成对出现； 5）传递函数的拉氏逆变换实际上是系统的理想单位脉冲响应（简称脉冲响应）； 6）传递函数在系统中 起信号的传递或转换作用。,2-2 传递函数,ST,由于传递函数反映的是系统的固有特性，取决于系
6、统的结构和参数， 与系统存在的物理形式、输 入输出的形式以及初始条件无关，因此在研究控制系统时往往仅从系统的传递函数入手，而不去关心系统的结构形式。因为，对于控制系统，最重要的是： （1）系统的动态过程是否稳定，以及稳定程度如何； （2）系统是否存在静态偏差，以及静态偏差的大小； （3）寻找提高稳定性和减少静态偏差的途径。 传递函数的用途： （1）求系统或环节输出量的表达式； （2）分析系统的稳定性、动态特性和静态特性。,2-2 传递函数,ST,6. 传递函数的方框图：将一个环节用方框图表示，并将其传递函数写在方框中，便得到该环节的传递函数方框图；若用方框图描述一个系统，并将系统中各个环节用传
7、递函数方框图表示，则得到该系统的传递函数方框图。,G(s),Xi(s),XO(s),环节的传递函数方框图,2-2 传递函数,ST,G1(s),G2(s),G3(s),G4(s),P(s),Q(s),Y(s),B(s),R(s),E(s),+,-,F(s),控制系统的传递函数方框图,2-2 传递函数,ST,传递函数的方框图的基本元素： （1）函数方框：方框中的传递函数表示该环节的动态特性，其输出等于该环节的传递函数和输入的乘积。环节的输入会影响环节的输出，但输出不会影响输入。 （2）信号线：带箭头的信号传递路线，信号线上标出其携带的信号变量。信号传递具有单向性。 （3）引出点（交叉点，测量点）：
8、信号线的分叉点。同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。 （4）比较点（会合点）：对两个以上的信号进行代数运算，其输出等于各个输入的代数和。,END,2-2 传递函数,ST,又设系统的输入 x(t)=(t)，即X(s)=1,对Y(s)求拉氏逆变换得到系统的脉冲响应输出y(t)。,设系统的传递函数为：,则系统的输出,则,2-2 传递函数,ST,对Y(s)求拉氏逆变换得到系统的阶跃响应输出y(t)= (t) 。,那么系统的输出,若nm，则在G(s)中至少出现s的一次方项。设G(s)=s,假设对系统输入一个单位阶跃输入x(t)=1 ，即X(s)=1/s,该系统在实际中不存在。,2-3 传递函数的
9、方框图等效变换,ST,G2(s),G1(s),G3(s),Xi(s),X1(s),X2(s),Xo(s),1.串联方框的等效变换,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,G2(s),G1(s),G3(s),Xi(s),X1(s),X2(s),Xo(s),G (s),Xi(s),Xo(s),2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,G2(s),Xi(s),X1(s),X2(s),Xo(s),2.并联方框的等效变换,G (s),Xi(s),Xo(s),2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,G1(s),H(s),+,3.反馈连接方框的等效变换,X1(s),Xf(s),Xi(s),Xo(s),A,2-
10、3 传递函数的方框图等效变换,ST,G1(s),H(s),+,X1(s),Xf(s),Xi(s),Xo(s),A,G (s),Xi(s),Xo(s),反馈连接传递函数也称为闭环传递函数；若在A点断开，则为开环，开环传递函数为：,前向通道 反馈通道,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,G1(s),+,Xi(s),G (s),Xi(s),Xo(s),Xo(s),若反馈通道的传递函数H(s)=1，则称为单位反馈。,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,4.引出点的移动,相邻的引出点可以前后任意改变次序,A,B,B,A,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,顺着信号传递的方向跨越环节,乘以,G
11、(s),X1(s),X2(s),X3(s),G(s),X3(s),X1(s),X2(s),1/G(s),2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,G(s),X1(s),X2(s),X3(s),G(s),G(s),X3(s),X1(s),X2(s),逆着信号传递的方向跨越环节,乘以G(s),2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,X1(s),X2(s),X4(s),5.汇合点的移动,X3(s),X1(s),X2(s),X4(s),A,B,A,B,相邻的汇合点可以前后任意改变次序,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,乘以G(s),G(s),X1(s),X2(s),X3(s),G(s),G(s),
12、X3(s),X1(s),X2(s),5.汇合点的移动,顺着信号传递的方向跨越环节,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,乘以,逆着信号传递的方向跨越环节,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,相邻的引出点和汇合点不可改变次序,X1(s),X2(s),A,B,X1(s),X2(s),A,B,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,逆着信号传递的方向移动,引出点,汇合点,顺着信号传递的方向移动,乘以 G(s),乘以,乘以,乘以 G(s),引出点和汇合点的移动原则：保持移动前后的信息总量不变。,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,G2,G3,G1,H1,H2/G1,_,Xi(s),Xo(s)
13、,_,练习1：,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,G2,G3,G1,H1,H2/G1,_,Xi(s),Xo(s),_,G3,H2/G1,_,Xi(s),Xo(s),_,G1G2,1G1G2H1,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,_,Xi(s),Xo(s),G1G2G3,1G1G2H1 G2G3H2,G1G2G3,1G1G2H1 G2G3H2 G1G2G3,Xi(s),Xo(s),2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,G2(s),G3(s),G1(s),G4(s),G5(s),_,+,+,G6(s),_,+,X(s),Y(s),练习2：,2-3 传递函数的方框图等效变换,ST,G2
14、(s),G3(s),G4(s),G5(s),+,+,_,G6(s),X(s),Y(s),练习3：,2-4 典型环节的传递函数,ST,1.比例环节：环节的输出随输入成比例变化xo(t)=kxi(t) 其传递函数为：,任何复杂的控制系统都是由最基本的典型环节所组成的。,2-4 典型环节的传递函数,ST,（1）弹性元件：位移随外力大小成比例变化，比例系数取决于元件的弹性大小。与输入输出无关。,片簧,金属膜片,波汶管,F,F,P,2-4 典型环节的传递函数,ST,（2）节流元件：前后压力差的大小随气流量成比例变化，比例系数取决于元件的弹性大小。与输入输出无关。,p (t)=Rq (t),G (s)=P
15、 (s)/ Q(s) = R,2-4 典型环节的传递函数,ST,（3）喷嘴挡板机构：输出压力随喷嘴挡板的开度成比例变化,恒节流孔,背 压 室,喷 嘴,挡 板,喷嘴挡板机构结构示意图,气源,输出,2-4 典型环节的传递函数,ST,0.10MPa,0.02MPa,10,22,h(um),MPa,喷嘴挡板机构的静特性,2-4 典型环节的传递函数,ST,（4）放大器：对输入信号成比例放大,气源,输出,输入,气动功率放大器,2-4 典型环节的传递函数,ST,I,II,III,S,P输入F,P0,Pa,2-4 典型环节的传递函数,ST,电动功率放大器,R1,Rf,u0,ui,i,i,2-4 典型环节的传递
16、函数,ST,2.积分环节：环节的输出与输入对时间的积分成比例。,若k=1, 则,2-4 典型环节的传递函数,ST,q,p,输入量为气体流量，输出量为气容气压,（1）气容,2-4 典型环节的传递函数,ST,C,uo,i,输入量为电流，输出量为电容两端的电压,（2）阻容电路,2-4 典型环节的传递函数,ST,输入量为电压，输出量也为电压,（3）运放电路,ui,C,+,uo,i,i,R1,2-4 典型环节的传递函数,ST,（4）f ig. 2-35,ui,C,+,_,uo,i,i,R1,R2,2-4 典型环节的传递函数,ST,（5）积分环节的阶跃响应,设 ui(t)=1,则,Ui(s)=1/s,t,
17、u(t),2-4 典型环节的传递函数,ST,3. 一阶惯性环节： 输入突变时，输出的变化滞后于输入的变化，并按一定的规律趋近于输入值。,2-4 典型环节的传递函数,ST,uo,ui,R,C,K,i,因分母最高次数为1，所以为一阶惯性环节。,2-4 典型环节的传递函数,ST,一阶惯性环节的阶跃响应：,设 ui(t)=1,则,Ui(s)=1/s,2-4 典型环节的传递函数,ST,2-4 典型环节的传递函数,ST,4. 一阶微分环节：环节的输出与输入的微分成比例。,设xi(t)=1，则Xi(s)=1/s,因此，理想的微分环节在实际中并不存在。,2-4 典型环节的传递函数,ST,实际的微分环节：理想的
18、微分环节与惯性环节的串联。,2-4 典型环节的传递函数,ST,实际的微分环节：理想的微分环节与惯性环节的串联。,Pass,2-4 典型环节的传递函数,ST,实际微分环节的阶跃响应：,设 ui(t)=1,则,Ui(s)=1/s,0,2,4,6,8,10,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,一般系统对单位阶跃函数的响应：,2-4 典型环节的传递函数,ST,5. 振荡环节：具有两个以上的储能元件，并且存在能量交 换，表现出振荡特性。,Fig.2-38 振荡环节的阶跃响应过程曲线,2-4 典型环节的传递函数,ST,6.纯迟延环节：输出比输入滞后一个延时时间,es,Xo(s),Xi(s),t,t,xo(t),xi(t),
