1、学而思戴鹊专属第 1 页（共 6 页）第二讲 复杂的乘法公式以及配方十分钟训练（尖子班）一填空题（共 7 小题）1 （3 2+1） （ 34+1） （3 8+1）（3 64+1）8+1= 2已知 m，n 是正整数，代数式 x2+mx+（10+n ）是一个完全平方式，则 n 的最小值是 ，此时 m 的值是 3已知 x2+（m+2）x+36 是完全平方式，则 m 的值为 4已知实数 a，b，c 满足 a22b=2，b 2+6c=7，c 28a=31，则 a+b+c 的值等于 5多项式 x2+y24x+2y+8 的最小值为 6若 a=1990，b=1991，c=1992，则 a2+b2+c2abbc
2、ca= 7已知 5x2+2y2+2xy14x10y+17=0，则 x= ，y= 二解答题（共 2 小题）8求代数式 5x24xy+y2+6x+25 的最小值9已知 m=4x212xy+10y2+4y+9，当 x、y 各取何值时，m 的值最小？学而思戴鹊专属第 2 页（共 6 页）第二讲 复杂的乘法公式以及配方十分钟训练（尖子班）参考答案与试题解析一填空题（共 7 小题）1 （3 2+1） （ 34+1） （3 8+1）（3 64+1）8+1= 3 128 【分析】将分子和分母同时乘以（3 21） ，然后根据平方差公式进行计算【解答】解：（3 2+1） （3 4+1） （3 8+1）（3 64+
3、1）8+1= （3 2+1）（3 4+1） （3 8+1） （3 64+1）8+1=（ 321） （3 2+1） （3 4+1） （ 38+1） （3 64+1）+1=31281+1=3128，故答案为：3 128【点评】此题主要考查平方差公式的性质及其应用，是一道好题，计算时要仔细2已知 m，n 是正整数，代数式 x2+mx+（10+n ）是一个完全平方式，则 n 的最小值是 6 ，此时 m 的值是 8 【分析】由题意可以得知 10+n 是完全平方数，且 n 是正整数，可以得出大于10 的最小完全平方数是 16，从而可以求出 n 值，进而根据完全平方式的性质可以求出 m 的值【解答】解：代数
4、式 x2+mx+（10+n）是一个完全平方式，10+n 是完全平方数，m，n 是正整数，且大于 10 的最小完全平方数是 16，10+n=16，学而思戴鹊专属第 3 页（共 6 页）n=6由完全平方式的性质可以得出：mx=8x，m=8故答案为：8，6【点评】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2 倍的符号，避免漏解3已知 x2+（m+2）x+36 是完全平方式，则 m 的值为 14 或 10 【分析】这里首末两项是 x 和 6 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和 6 积的 2 倍【解答】解：x 2+（m+2）x+
5、36 是完全平方式，x 2+（m +2）x+36= （x6） 2，m+2=12，m 1=10，m 2=14，故答案是 10 或14【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2 倍，就构成了一个完全平方式注意积的 2 倍的符号，避免漏解4已知实数 a，b，c 满足 a22b=2，b 2+6c=7，c 28a=31，则 a+b+c 的值等于 2 【分析】首先将三个式子左边与右边分别相加，即可得：a22b+b2+6c+c28a+26=0，再将其配方，得（a4） 2+（b1） 2+（c+3） 2=0，由非负数的和为 0，每个为 0，即可求得结果【解答】解：a 22b=2，b
6、2+6c=7，c 28a=31，a 22b+b2+6c+c28a+26=0，学而思戴鹊专属第 4 页（共 6 页）（a 4） 2+（b1 ） 2+（c +3） 2=0，a 4=0，b1=0，c+3=0，a=4，b=1，c=3，a +b+c=2故答案为：2【点评】此题考查了配方法与非负数的和为 0，每个为 0 的性质题目难度适中，解题时要注意分析5多项式 x2+y24x+2y+8 的最小值为 3 【分析】由题意 x2+y24x+2y+8=（x2） 2+（y +1） 2+3，然后根据完全平方式的性质进行求解【解答】解：x 2+y24x+2y+8=（x 24x+4）+y 2+2y+1+3=（x2）
7、2+（y+1）2+33 ，当且仅当 x=2，y= 1 时等号成立，多项式 x2+y24x+2y+8 的最小值为 3故答案为 3【点评】此题主要考查非负数偶次方的性质即所有非负数都大于等于 0，本题是一道基础题6若 a=1990，b=1991，c=1992，则 a2+b2+c2abbcca= 3 【分析】将 a2+b2+c2abbcca 转化为完全平方的形式，再将各数代入求值较简便【解答】解：因为 a=1990，b=1991 ，c=1992，所以a2+b2+c2abbcca= （2a 2+2b2+2c22ab2bc2ca） ，= （a 22ab+b2）+（b 22bc+c2）+（c 22ca+a
8、2），学而思戴鹊专属第 5 页（共 6 页）= （a b） 2+（bc） 2+（ca） 2，= （19901991） 2+（1991 1992） 2+（19921990） 2，= （1） 2+（1） 2+（+2） 2，=3【点评】此题考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键是将a2+b2+c2abbcca 转化为完全平方公式，以简化计算7已知 5x2+2y2+2xy14x10y+17=0，则 x= 1 ，y= 2 【分析】把 5x2+2y2+2xy14x10y+17=0，化为 5x2+（2y 14）x +2y210y+17=0，根据0 即可求解【解答】解：5x 2+2y2+2xy14x10y
9、+17=0，化为 5x2+（2y14）x+2y 210y+17=0，= （ 2y14） 245（ 2y210y+17）0，化简即：36（y2） 20，y=2，代入得：5（x1） 2=0，x=1故答案为：1，2【点评】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，难度较大，关键是先从0 入手解出 y 的值二解答题（共 2 小题）8求代数式 5x24xy+y2+6x+25 的最小值【分析】首先把已知等式变为 4x24xy+y2+x2+6x+9+16，然后利用完全平方公式分解因式，变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质即可解决问题【解答】解：5x 24xy+y2+6x+25学而思戴鹊专属第
10、 6 页（共 6 页）=4x24xy+y2+x2+6x+9+16=（ 2xy） 2+（ x+3） 2+16而（2xy） 2+（x+3） 20，代数式 5x24xy+y2+6x+25 的最小值是 16【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，首先利用公式分解因式使等式变为两个非负数和一个正数的和的形式，然后利用非负数的性质解决问题9已知 m=4x212xy+10y2+4y+9，当 x、y 各取何值时，m 的值最小？【分析】把 9y2 分成 8y2+y2，9 分成 4+5，然后分别与剩余的项组成完全平方形式，从而出现两个非负数的和加上 5 的形式，忧由于两个非负数的最小值等于0，那么每一个非负数都等于 0，从而求出 x、y 的值，进而得出 m 的最小值【解答】解：m=4x 212xy+10y2+4y+9=（2x3y ） 2+（ y+2） 2+5，由于 m 等于两个非负数的和加上 5，所以最小值是 0+5=5，即 m=5，即 2x3y=0，y+2=0，x=3，y= 2故 m=5，x=3，y=2【点评】本题主要考查完全平方公式完全平方公式：（ab ）2=a22ab+b2注意会正确的拆项
