1、平面向量全章复习与巩固编稿：孙永钊 审稿：王静伟 【学习目标】1.平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；2.向量的线性运算（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数
2、量积（1）通过物理中“功“等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一：向量的有关概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法：(1)字母表示
3、法：如 等.,abc(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如 ， 等.ABCD(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量 的起点 为在坐标原点，终点 A坐标为 ，O,xy则 称为 的坐标，记为 = .,xyOA,xy3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量 与 相等，记为ab.ab4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.5.单位向量：长度等于 1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定： 与任一向0量共线.
4、注：共线向量又称为平行向量.7.相反向量： 长度相等且方向相反的向量.要点二、向量的运算1.运算定义运 算 图形语言 符号语言 坐标语言+ =OABC=记 =(x1，y 1)， =(x2，y 2)OAB则 =(x1+x2，y 1+y2)=(x2-x1，y 2-y1)B加法与减法+ =OAB实数与向量的乘积 aR记 =(x，y)a则 xy，两个向量的数量积 cos,b记 12(,)(,)b则 =x1x2+y1y2a2.运算律加法： (交换律)； (结合律)ab ()abc实数与向量的乘积： ； ；()()()a两个向量的数量积： = ； ( ) = ( )= ( )；( + ) = + abab
5、bcabc3.运算性质及重要结论(1)平面向量基本定理：如果 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量 ，12,e a有且只有一对实数 ，使 ，称 为 的线性组合.12,12ae12e12,e其中 叫做表示这一平面内所有向量的基底；2,e平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一12,e的.当基底 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实12,e际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则 =(x，y)；当向量起点不在原点时，向
6、量 坐标为终点坐标减去起点坐标，即OAAB若 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 =(x2-x1，y 2-y1)B(2)两个向量平行的充要条件符号语言： )0(/bab坐标语言为：设非零向量 ，则 (x1，y 1)= (x2，y 2)，或 x1y2-x2y1=0.12,xyab(3)两个向量垂直的充要条件符号语言： ba0坐标语言：设非零向量 ，则12,bxyyba021yx(4)两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度)；2|a2|a b0(垂直的判断)； (求角度).cosa要点诠释：1. 向量的线性运算(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，
7、将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.2. 共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.(1)用向量证明几何问题的一般思路：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明.(2)向量在几何中的应用：证明线段平行问题，包括相似问题，常用
8、向量平行(共线)的充要条件(x1，y 1)= (x2，y 2)0(/bab证明垂直问题，常用垂直的充要条件 021x求夹角问题，利用 221yxcosab求线段的长度，可以利用 或2|2211()()P【典型例题】类型一：平面向量的概念例 1.给出下列命题：若| |=| |，则 = ；ab若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件；ABDC若 = ， = ，则 = ；ca = 的充要条件是| |=| |且 / ；abb 若 / ， / ，则 / ；c其中正确的序号是 .(2)设 0a为单位向量，(1)若 a为平面内的某个向量，则 ；(2)若 a与 0平行，
9、则0a；(3)若与 0平行且 ，则 .上述命题中，假命题个数是( )10A.0 B.1 C.2 D.3【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。【解析】(1)不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确； ， 且 ，又 A，B，C，D 是不共线的四点， 四边ABDC|AB/形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形 ABCD为平行四边形，则 且 ，因此，/|ABDC.AB正确； = ， ， 的长度相等且方向相同；又 = ， ， 的长度相等且方向相同，abbcc ， 的长度相等且方向相同，故 = .cac不正确；当 / 且方向相反时，即使| |=| |，也不能得到 =
10、，故| |=| |且 / 不是aba= 的充要条件，而是必要不充分条件；ab不正确；考虑 = 这种特殊情况；b0综上所述，正确命题的序号是.(2)向量是既有大小又有方向的量， a与 模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若 a与00a平行，则 与 0a方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时 ，故(2)、(3)也是假命题.综0a上所述，答案选 D.【总结升华】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向
11、量、平行向量、同向向量等概念.举一反三：【变式】判断下列各命题正确与否：(1) ；0a(2) ；(3)若 ，则 ；,bc(4)若 ，则 当且仅当 时成立；a0a(5) 对任意 向量都成立；()()c,bc(6)对任意向量 ，有 .2a【解析】(1)错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)错；(6)对.【总结升华】通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别与联系，重点清楚 为零向量，0a而 为零.0a类型二：平面向量的运算法则例 2.如图所示，已知正六边形 ABCDEF，O 是它的中心，若 = ， = ，试用 ， 将向量 ，BAaCbaOE， ， 表示出来.BFD【思路点拨】根据向量加法的平
12、行四边形法则和减法的三角形法则，用向量 ， 来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形ab的边即可.【解析】因为六边形 ABCDEF是正六边形，所以它的中心 O及顶点A，B，C 四点构成平行四边形 ABCO，所以 ， = ， = = + ，BAOBabEBab由于 A，B，O，F 四点也构成平行四边形 ABOF，所以 = = + = + + =2 + ，FBAab同样在平行四边形 BCDO中， = = = ( )DCO= 2 ， = = - .abDCba【总结升华】其实在以 A，B，C，D，E，F 及 O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ， 表示，ab且可用规定其中任两个向量为
13、， ，另外任取两点为起点和终点，也可用 ， 表示. ab举一反三：【变式 1】设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简： ， ， .BOACB【解析】原式= ()D；原式= ；0BAC原式= ()()()0OOBCAB.【变式 2】设 为未知向量， 、 为已知向量，解方程 2 (5 +3 4 )+ 3 =0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jxabxaba【解析】原方程可化为：(2 3 )+(5 + )+(4 3 )=0，x1ab = + .x29ab【总结升华】平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质.类型三：平面向量的坐标及运算b
14、a O FEDCBA例 3.已知点 ，试用向量方法求直线 和 ( 为坐标原点)交点 的坐标.)6,2(4,)0(CBAACOBP【解析】设 ，则,Pxy,(4,)OxyAPxy因为 是 与 的交点，所以 在直线 上，也在直线 上.即得 ，由点 得， ./,/BAC)6,2(,)0(CB(2,6)(4,)AB得方程组 ，解之得 .6(4)20xy3xy故直线 与 的交点 的坐标为 .OP(,)例 4.已知 ， ， ，按下列条件求实数 的值.(1) ；4,3a1,2b,mab2nmn(2) ； ./mn()【解析】 ,7,8(1) ；082374952(2) ；/mn81(3) 08457222
15、.512【总结升华】此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算.举一反三：【变式】平面内给定三个向量 3,21,4,abc，回答下列问题：(1)求满足 ambnc的实数 m，n；(2)若 /2k，求实数 k；(3)若 d满足 c，且 5dc，求 d.【解析】(1)由题意得 ，所以 234nm，得 985.1,42,3nm(2) ，4,2,5,akckba；1360532(3) 4,12,4dcxyab由题意得 ，得 或 .502213yx5例 5.已知 ).1,(),0(ba(1)求 ；|3|(2)当 为何实数时， 与 平行， 平行时它们是同向还是反向？kkab3【解析】(1)因为
16、所以 ，则).1,2(),0(7,3)a2|7358ab(2) ，kab因为 与 平行，所以 即得 .33()0k13k此时 ， ，则 ，即此时向量k7(2,1),ba(7,)ba()ka与 方向相反.ba3【总结升华】上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法.举一反三：【变式】已知 =(3，4)， =(4，3)，求 x，y 的值使(x +y ) ，且x +y =1.ababab【解析】由 =(3，4)， =(4，3)，有 x +y =(3x+4y，4x+3y)；ab又(x +y ) (x +y ) = 3(3x+4y)+4(
17、4x+3y)=0；b即 25x+24y= ；又x +y =1 x +y =；aab(x+4y) (x+3y) =；整理得 25x 48xy+25y =即 x(25x+24y)+24xy+25y = ；由有 24xy+25y = ；将变形代入可得：y= ；75再代回得： .75324yx和【总结升华】这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.类型四：平面向量的夹角问题 例 6.| |=1，| |=2， = + ，且 ，则向量 与 的夹角为( )abcabcabA.30 B.60 C.120 D.150【答案】C【解析】设所求两向量的夹角为 ， cabc， 2()0cabab， 即：2|os|1o
18、s所以 10.【总结升华】解决向量的夹角问题时要借助于公式 ，要掌握向量坐标形式的运算.向cos|ab量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑.对于 这个公式的变形应用应该做到熟练，.|ab另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握.举一反三：【变式】与向量 的夹角相等，且模为 1的向量是 ( )717,22ab(A) (B) 或43,543,5,5(C) (D) 或21,21,21,3【解析】设所求平面向量为 ，由 或 时，c43,5,5c当 时， ；43,5c1os,2a当 时，,c,故平面向量 与向量 的夹角相等.故选 B.717,22ab例 7.设向量 与 的夹角为 ，且 ，则 =_.b31
19、aba cos【思路点拨】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.【解析】设 ，由bxy 23231baxyxy 得 2311y ，故填 .22330cosab 1例 8.已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试求 与 的夹角.012,3cabdacd【解析】由题意， ，且 与 的夹角为 ，abab0所以， ，0cos12b，2c()()2247，7同理可得 .13d而 ，c 217(2)()73abab设 为 与 的夹角，d则 .1829372cos例 9.已知 、 都是非零向量，且 +3 与 垂直， 与 垂直，求 与 的夹角abab754
20、ab72ab。【思路点拨】把向量垂直转化为数量积为 0 联立求 与 的关系 应用夹角公式求结果。【解析】 222 22(3)75),(4)7).716008,1cos.60ababababAAA由 已 知 ：即两 式 相 减 ， 得 代 入 其 中 任 一 式 ， 得 ，例 10.已知向量 ， （1）求证： ;（2）若存(cos),in(),(cos),in()2ab ab在不等于 0的实数 k和 t，使 满足 试求 此时 的最小值。23,xtykatbxykt【思路点拨】 （1）可通过求 证明 ;0ab（2）由 得 ，即求出关于 k，t 的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一xy 2kt
21、个量 k，得出关于 t的函数，从而求出最小值。【解析】 （1）cos()sin()i)sincosic0.22abAA（2）由 得 ，即xy022322233323222()(),()(3)0.1,0,.1()4.atbkatkatbtkabktttttkttA A又故 当 时 ， 有 最 小 值举一反三：【变式】已知 ，其中 .0(1)求证： 与 互相垂直；ab (2)若 与 ( )的长度相等，求 .kk0【解析】(1)因为 ababab 2 2ab22222210|cosincosin所以 与 互相垂直.(2) ，kabk ，cossin，kabkcossin，所以 ，|c21，|skk因
22、为 ，|ab所以 ，kk2 211coscos有 ，s因为 ，故 ，k0c0又因为 ，所以 .2【总结升华】平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理.可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度.类型五：平面向量综合问题例 11.已知向量 与 的对应关系用 ()vfu表示.(,)uxy(,2)vyx(1)证明：对于任意向量 及常数 m，n 恒有 (fanbmanfb成立；,ab(2)设 ，求向量 及 的坐标；(1,)(0)a()f(3)求使 ，(p，q 为常
23、数)的向量 的坐标.fcpc【解析】(1)设 1212(,(,ab，则 12(,)manbmanb，故 1() )fmnb ),(122， ()fnf(2)由已知得 =(1，1)， ()b=(0，-1)a(3)设 =(x，y)，则 ，c,2(,)fcyxpqy=p，x=2p-q，即 =(2p-q，p).例 12.求证：起点相同的三个非零向量 ， ，3 -2 的终点在同一条直线上.ab证明：设起点为 O， = ， = ， =3 -2 ，AaBbOCab则 =2( - )， = - ， ，AC A2AB 共线且有公共点 A，因此，A，B，C 三点共线，,B即向量 ， ，3 -2 的终点在同一直线上
24、.ab【总结升华】(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成： 证明向量平行； 说明两个向量有公共点；(2)用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行；说明两向量无公共点.例 13.已知 .abcdacbd22111， ， 求 证 ： |【思路点拨】 ，可以看作向量 的模的平方，而2， ()()xycd， ， ，则是 、 的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式.acbdxy【证明】设 ()()abcd， ， ，则 .22|xycxycd， ，22| 1abdcd，【总结升华】在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等.|abaab 例 14. 已知 =
25、(cosx+sinx,sinx), =(cosx-sinx,2cosx).（1）记 f(x)= ,若 x0, ，求 f(x)的值域；b2（2）求证：向量 与向量 不可能平行.a【解析】 （1）f(x)= =(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2sinxcosxA=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2xsin(x),4又 50,24 f(x)的值域为-1， .2（2）假设 则 2cosx(cosx+sinx)/ab=sinx(cosx-sinx),即 2cos2x+2sinxcosx=sinxcosx-sin2x,sin2x+sinxcosx+2cos2x=0,当 cos2x=0时，sin 2x=1,上式不成立；当 cos2x0 时，tan 2x+tanx+2=0无解.故假设不成立，向量 与向量 不平行.ab举一反三：【变式】设函数 ，其中向量 =(m，cos2x)， =(1+sin2x，1)，xR，且函数 y=f(x)fxab的图象经过点 ，24 ()求实数 m的值；()求函数 f(x)的最小值及此时 x的值的集合.【解析】() ，1sin2cosfxabx由已知 ，得 1m.sic4f()由()得 1in2os2sin4fxxx，当 时， 的最小值为 ，sin24f1由 ，得 值的集合为 3|8xkZ .i1xx
