1、高二数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 7 页厦门市 2016-2017 学年度第二学期高二年级质量检测数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分15： 610： 1112：ABDBCDA第 12 题参考解答：解法 1：由题意知 关于 对称，且 时， ，()fx11x()ln10fx在 上单调递增，从而在 上单调递减；()fx,(,)由 知：ea（）当 时， ， ，0xea*时， ， 式成立； 时， ，x21(*)(0,3xe令 ， ，令 ，得 ； ，得 ，()xeh21)x)h0,1()0hx1,3在 单调递减， 单调递增
2、； 的最小值为 ,f0,(fxfea.a（）当 时， ， ，x()a由 关于 对称，知 ，()fx11fxf， ， ，()efexxea与（）同理，可得 ， .00综上， .,a解法 2：令 ，则 为偶函数且在 单调递增，故原不等式可化为()1)Fxf()Fx,)对任意 恒成立，从而 ，结合图像转化为切线问题求解即可 .()xe,3xea二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分1340 142 15 16m2y第 16 题参考解答：解法一（几何法）：设左焦点为 ，连接 、 ，点 为渐近线与 的交点.ENFMNF,所以 为等腰三角形；ONFON为 的角平分线，所以 为 中点,
3、 .MMO焦点 到渐近线 的距离 ，则(,0)c0bxay2bcdab从而在 中， ，Rtc所以 ， ，由双曲线定义： 即2NEFNFEa2a所以 ，从而渐近线方程为：ba2yx解法二（参数法）：设过第一象限的渐近线的倾斜角为 ，则tanb由角平分线，可设 (cos,in)其中222222222i1tacosnsiitnbca化简可得 满足双曲线方程 代入可得(,)abNcxyb8642246815105 51015NFO86422468105 51015MNFE O高二数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 7 页所以 ，从而渐近线方程为：2ba2yx解法三（坐标法）：设过第一象
4、限的渐近线的倾斜角为 ，则tanb则 ，所以直线 方程为：22tant1ONbkON2yx与双曲线联立可得 以下同上.(,)c三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17本小题考查最小二乘法、相关指数 、拟合效果比较等统计学知识；考查数学阅读、数据分2R析与处理、运算求解等数学能力；考查统计概率思想。本小题满分 10 分。解：（）依题意，可得 ， 2 分0.37,.5xy4 分121.890.372 0.674niiybx0.537.5ay所以 6 分62x（）可知（）中直线相关指数 8 分2211()0.65.83niiiiyR由于 ，故以 为模型的拟合效果更好. 10 分21R0.85
5、yx18本小题考查函数的单调性、极值、零点、导数的几何意义等知识；考查推理论证、运算求解的数学能力；考查数形结合、转化与化归等数学思想。本小题满分 12 分。解：（）依题意， ， 1 分2()36fxax由已知 ，即 ，解得 . 分014032a2所以 ，2()()2f令 ，得 或 ；令 ，得 ； 4 分xx(fx1x所以 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 . 分,1,)(1,)5（）由（）知 在区间 ， 上单调递增， 上单调递减.()f(,)(,2)， 的极大值 6 分0bx702fb故若 有两个零点，则 的极小值必为 0， 分()f()x 7即 ，解得 . 分211 8，3260fx
6、，故切点坐标为 ， 分7() 7(,) 9又切线斜率 ， 分(1)kf 10高二数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 7 页切线的方程为 ，化简得 . 分76(1)2yx2190xy1219本小题考查古典概型、离散型随机变量的分布列、独立重复试验、数学期望等基础知识；考查学生阅读理解能力，数据分析处理能力，运算求解能力；考查概率思想，化归与转化的思想。本小题满分 12 分。解：（）记在方案一下一次抽奖获得的奖金为随机变量 ，在方案二下一次抽奖获得的奖金为随机变量 ， 1 分方案二中“从 6 个球中任取一个球，恰是红球”的概率 ， 2 分13p则 ， 3 分261(50)CP4 分
7、239， ，15(50)()P即第二种方案一次抽奖获得 50 元奖金概率更大.5 分（）方案一： ； ； .7 分246()CP12468(0)5C1(0)P方案二： ； ； . 9 分215(391239P9下面计算两种方案的一次性取球获得奖金的数学均值：； 10 分28()0E.11 分4105599显然 ，作为公司负责人应选择方案一才能使得尽可能多的人参与活动. 12 分()注：若从顾客获得更多奖金，激励更多的顾客参与该项活动角度考虑，作为公司负责人选择方案二，也给分.20本小题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理、空间角的概念、空间向量的运算等基本知识；考查空间想象能力，运算求解能力
8、；考查化归与转化的思想。本小题满分 12 分。证明：（）设 ACBDO则菱形 中，对角线 1 分C所以 2 分E（利用 得到 亦可）E， ， 3 分A平 面 ACE平 面4 分平 面（）过 作 ，垂足为FAF由（）可知 ，BDC平 面又 ，所以 . 平 面 BD平 面 平 面， ，EE平 面 AEA平 面 平 面6 分平 面， ，O就是二面角 的平面角，即C06OC， 为等边三角形且 为 中点. 7 分F解法一：以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴，以 的平行线作为 轴，,BxyFz建立空间直角坐标系，如图.设菱形边长为 8 分2x yzODECBA F高二数学（理科）试题参考答案及评分标准
9、 第 4 页 共 7 页则 ， ， ， ,(3,0)A(,10)B(3,0)C3(0)2F3(,0)2E,2E,E设 为平面 的法向量，则 ，即(,)nxyzA0nBA302xyz令 ， ，得 ， 10 分13(1,3)n设直线 与平面 所成角为 ，则CEB22223107sinco, 3CEn A所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .12 分B7解法二：以 为坐标原点， 所在直线为 轴 轴 轴，建立空间直角坐标系F,AFGExyz设菱形边长为 ，则 ， ， ，2(0)3(,0)23(,10)2B， ， ，3(,0)C,E,C则 即3(,1)(,1)2BAB0nABE302xyz令 ， ，得
10、，xyz(,)n 27sico,CEnA所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . CEAB7解法三：（等体积法）设点 到平面 的距离为 ，则hEABCEV即 8 分1133ABCABESFS，06O02在 中， ，计算得 ，2 cosO3AE由等面积法得 10 分1734ABES由 ，所以 11 分23,2ABCF217h所以 .17sinhEzyGODABCEF高二数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 7 页所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .12 分CEAB2721本小题考查椭圆的定义、椭圆与圆的标准方程、直线与椭圆位置关系、平面向量数量积等基础知识；考查运算求解能力、推理论
11、证等能力；考查数形结合思想、化归与转化思想。本小题满分 12 分。解：（）依题意，圆心 ，半径 ；3(0,)2C32r过圆心 ， 为圆 的直径， 1 分1NF1F13NF， 分别为 ， 的中点， 为 的中位线，O2OC2有 ，23，即 3 分124a3a将 代入圆 方程，解得 ， 4 分2(,0)FcC6c，则椭圆 方程为 5 分26bE21xy（）解法一：证明：（1）若直线 不平行于 轴，设直线l :lmt联立方程： ，得 6 分2,1xmyt22()10y设点 ， ，1(,)A2(,)B2896t有 ， 7 分2ty21ty122(3)3Mx即 8 分21()()(mtt即2 220tm整
12、理得 ，解得 ，满足 10 分310tt（2）若直线 垂直于 轴，设直线 ，lyyn将 代入 ，得 ，则 ，yn26x221x21xn120x由 ，解得 ，即 也过1(3)3MAB l(,)P综上可得，直线 恒过定点 12 分l(,0)P解法二：证明：由图形对称性，直线 所过定点在 轴上，不妨设定点 6 分lx(,0)t（1）若直线 垂直于 轴，设直线 ： ，结合椭圆方程，lxt得： ， ，或 ，24(,)tAt24(,)Bt24(,)tA24(,)tBt， ，即 ，解得 7 分3M23t20tt（2）若直线 不垂直于 轴，设直线 ： ，lxl()ykx高二数学（理科）试题参考答案及评分标准
13、第 6 页 共 7 页联立方程 ，得 ， 8 分2()1ykx22()810kxk设点 ， ，1(,)A2,B则 ， ， 9 分28kx21xk26(43)k10 分2 211212(3) ()Mxyx12()()911 分22288(4)k kk，符合题意2361综上可得，直线 恒过定点 12 分l(,0)22本小题考查了导数的运算、函数的单调性、极值、最值等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查分类讨论，化归与转化等数学思想。本小题满分 12 分。解：（）依题意 1 分1()()fxax当 时， ， 在 上单调递增，无极值； 2 分0a0f1,当 时， ，()fx当 时， ， 在
14、上单调递增；1a(0f()fx1,)a当 时， ， 在 上单调递减；x)xf,所以 ，无极小值. 1(ln1yfa极 大 值综上可得，当 时， 无极值；当 时， 有极大值 ，无极小值.0a()f0()fxln1a4 分（）解法一：原不等式可化为ln(1)ln(1)xx aee记 ，只需 5 分()0Fxam0F可得 6 分()1x（1）当 时， ，所以 ， 在 上单调递增，0a,1xe()0x()F,)所以当 时， ，不合题意，舍去 7 分x()0Fx（2）当 时，2()xa当 时，因为 ，所以 ，所以1a0x2(1)xe21()()0xaeFx所以 在 上单调递减，故当 时， ，符合题意 8
15、 分()F,)00高二数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 7 页注：当 时右端点参考值有非常多选法，如 及比它们大的一切实数01a1,ln1a都可以，但必须包含参数 a. 其他解法同理.当 时，记01a2()1()(0)xgxae所以 ， 在 上单调递减 9 分()3gxg,又 ，1()a所以存在唯一 ，使得 10 分01,xa0()gx当 时， ，0()g从而 ，即 在 上单调递增，2()1xeF()F0,)所以当 时， ，不符合要求，舍去. 11 分0x()综上可得， .12 分a解法二：原不等式可化为 ，ln(1)ln(1)0xxaaee记 ，只需 5 分()0FxmF由（）可知，当 时， ，即 6 分()fln(1)（1）当 时，因为 ，所以 ，即 ，axln1)xxxealn(1)xae所以 ，原不等式成立 7 分()0（2）当 时，当 时，当 ， ，不符合题意，舍去 8 分()l)0xF当 时，同解法一.1a综上可得， .12 分
