1、 第 1 页 共 6 页 线性代数 A 试题（A 卷）试卷类别：闭卷 考试时间：120 分钟考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分得分阅卷人一单项选择题（每小题 3 分，共 30 分）1设 经过初等行变换变为 ，则（ ）.(下面的 分别表示矩阵 的秩) 。AB(),rAB,AB； ；()()r()()rAB； 无法判定 与 之间的关系。CD()r2设 为 阶方阵且 ，则（ ） 。A(2)n|0中有一行元素全为零； 有两行（列）元素对应成比例；() ()BA中必有一行为其余行的线性组合； 的任一行为其余行的线性组合。CD3. 设 是 阶矩阵( )
2、, ,则下列结论一定正确的是: ( ),ABn2ABO() ;O或 X的 每 个 行 向 量 都 是 齐 次 线 性 方 程 组 = 的 解 .();CBA().DRn4下列不是 维向量组 线性无关的充分必要条件是（ ）12,s存在一组不全为零的数 使得 ；()A12,.sk12.skkO第 2 页 共 6 页不存在一组不全为零的数 使得()B12,.sk12.skkO的秩等于 ；12,.sCs中任意一个向量都不能用其余向量线性表示()sD5设 阶矩阵 ，若矩阵 的秩为 ，则 必为（ ） 。n(3)1.1aAaA1na1； ； ； .()A()B1n()C()D1n6四阶行列式 的值等于（ ）
3、 。123440bab； ；()A123123()B12341234ab； .C4)()abD1)()a7设 为四阶矩阵且 ，则 的伴随矩阵 的行列式为（ ） 。A*A； ； ； ()Ab()B2()C3b()D4b8设 为 阶矩阵满足 ， 为 阶单位矩阵,则 （ ）n3nIOnI1A； ； ； ()I()A()3nA()3nI9设 ， 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ） 。AB与 的秩相同； 与 的特征值相同；() ()B与 的特征矩阵相同； 与 的行列式相同；CD第 3 页 共 6 页10设 为 阶矩阵,则 以 为特征值是 的（ ） 。An00A充分非必要条件； 必要非充分条件；
4、() ()B既非充分又非必要条件； 充分必要条件；CD二填空题（每小题 3 分，共 18 分）1计算行列式 。042312. _。004567893二次型 对应的对称矩阵为 。1231231(,)fxxx4已知 ， ， 是欧氏空间 的一组标准正交基，0,(,0)23(,0)3A则向量 在这组基下的坐标为 。()5已知矩阵 的特征值为 则 _。741Ax123(),1,二 重 x6设 均为 3 维列向量，记矩阵 ，12,123,A123123(,4B。如果 ，则 。3,9)|1|B三(8 分) , 求 。220,0,11AAXB第 4 页 共 6 页四 （10 分）设向量组 ，1(,23)T，
5、， ， 。试求它的秩2(1,)T354(,256)T5(3,1,7)T及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。五 （12 分）讨论线性方程组 解的情况，并在有无穷多解时求其解。12321xp第 5 页 共 6 页六 （14 分）设 ， （1） 、求出 的所有特征值和特征向量；（2） 、求正交矩阵24AA，使得 为对角矩阵。T1七 （8 分）对任意的矩阵 ,证明：A(1) 为对称矩阵, 为反对称矩阵；TAT(2) 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。线性代数 A参考答案（A 卷）一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B C D
6、A B D C C C D二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）第 6 页 共 6 页1、 256； 2、 ； 3、 ；1324657981204、 ； 5、 4； 6、 2 。,0三 解：因为矩阵 A 的行列式不为零,则 A 可逆,因此 .为了求1XAB,可利用下列初等行变换的方法：1AB23101200234317787814014003 （6 分）所以 .（8 分）127403XAB四解：对向量组 作如下的初等行变换可得：1245,12345 1433026(,) 11567（5 分）0210133从而 的一个极大线性无关组为 ，故秩12345,12,2（8 分）第 7 页 共 6
7、页且 ， ， （10 分）3124123512五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换： 2 211030311140 4(2)4ppppppp (分 )(1) 当 即 系数矩阵10,()10,pp且 时 1,2,且 时与增广矩阵的秩均为 3,此时方程组有唯一解.（5 分）(2) 当 系数矩阵的秩为 1,增广矩阵的秩为 2,此时方程组无解.,时（6 分）(3) 当 此时方程组有无穷多组解.2,p时方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为 112120302018 （ 分 ）故原方程组与下列方程组同解: 132x令 可得上述非齐次线性方程组的一个特解 ;30, 0(1,)T它对应的齐次线性方程组
8、的基础解系含有一个元素,令132x第 8 页 共 6 页可得31,x为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基1()T础解系.此时原方程组的通解为 （120101,.kk这 里 为 任 意 常 数分）六解：（1）由于 的特征多项式A2124| (3)641I故 的特征值为 （二重特征值） ， 。（3 分）A当 时，由 ，即：131()IAXO得基础解系为 ，23402x12,01,TT故属于特征值 的所有特征向量为 , 不全为零的任112k12k意常数。（6 分）当 时，由 ，即： 得33()IAXO1235408x基础解系为 ，故属于特征值 的所有特征向量为 ,32,1T2 63
9、k为非零的任意常数。3k-(8 分)(2)将 正交化可得：12,第 9 页 共 6 页211 2,42,0 ,15T T。再将其单位化得： 1 252452,0, ,13T T将 单位化得： 。（12 分）331,T则 是 的一组单位正交的特征向量，令123,A542132123523,0T则 是一个正交矩阵，且 。（14 分）136TA七证明：(1) 因为 , 因此()()TTTTA为对称矩阵。TA（2 分）同理,因为 ,因此()()()TTT TA为反对称矩阵。 （4 分）T(2) 因为 （6 分）11()(),22TT而由(1) 知 为对称矩阵, 为反对称矩阵,因此任何()TA()TA矩阵 都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。（8第 10 页 共 6 页分）
