1、1概率论和数理统计真题讲解（一）单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P（ A）0, P（ B）0，则（ ）A. P（ B|A）0 B. P（ A|B）0C. P（ A|B） P（ A） D.P（ AB） P（ A） P（ B）正确答案分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。解析：A： ，因为 A 与 B 互不相容， ，P（AB）0，正确；显然，B，C 不正确；D： A 与 B 相互独立。故选择 A。提示： 注意区
2、别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； 条件概率的计算公式：P（A）0 时， 。2.设随机变量 X N（1，4）， F（ x）为 X 的分布函数，（ x）为标准正态分布函数，则 F（3）（ ）A.（0.5） B.（0.75）C.（1） D.（3）正确答案分析：本题考察正态分布的标准化。解析： ，故选择 C。提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量 X 的概率密度为 f （ x） 则 P0 X （ ）正确答案分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第 33 页解析： ，故选择 A。提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 24.设随
3、机变量 X 的概率密度为 f （ x） 则常数 c（ ）A.3 B.1C. D.1正确答案分析：本题考察概率密度的性质。解析：1 ，所以 c1，故选择 B。 提示：概率密度的性质：1.f（x）0；4.在 f（x）的连续点 x，有 F（X）f（x）；F（x）是分布函数。课本第 38 页5.设下列函数的定义域均为（，），则其中可作为概率密度的是（ ）A. f （ x）e x B. f （ x）e xC. f （ x） D. f （ x） 正确答案分析：本题考察概率密度的判定方法。解析： 非负性：A 不正确； 验证：B： 发散；C： ，正确；D：显然不正确。故选择 C。提示：判定方法：若 f（x）0
4、，且满足 ，则 f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（ X， Y） N（ 1, 2， ），则 Y （ ）正确答案分析：本题考察二维正态分布的表示方法。解析：显然，选择 D。 37.已知随机变量 X 的概率密度为 f （ x） 则 E（ X）（ ）A.6 B.3C.1 D.正确答案分析：本题考察一维连续型随机变量期望的求法。解析：解法一：根据记忆，均匀分布的期望为 ；解法二：根据连续型随机变量期望的定义，故选择 B。提示：哪种方法熟练就用哪种方法。 8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X B（16，0.5）， Y 服从参数为 9 的泊松分布，则D（ X2 Y3）（ ）A.
5、14 B.11C.40 D.43正确答案分析：本题考察方差的性质。解析：因为 XB（16，0.5），则 D（X）n p（1-p）160.50.54；YP（9）,D（Y）9，又根据方差的性质，当 X 与 Y 相互独立时，有D（X2Y3）D（X（2）Y3）D（X）D（2Y）43640 故选择 C。提示： 对于课本上介绍的六种常用的分布，它们的分布律（概率密度）、期望、方差都要记住，在解题中，可直接使用结论； 方差的性质：(1)D(C)=0 (2) D（aXb）a 2D（x）；(3) 若 X 与 Y 相互独立时，D（XY）D（X）D（Y）。（4）D（X+Y）=D（X）+ D（Y）+2cov（X,Y）
6、这里协方差 cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）9.设随机变量 Zn B（ n， p）， n1，2，其中 0p1，则 （ ）正确答案分析：本题考察棣莫弗拉普拉斯中心极限定理。解析：由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理4故选择 B。 提示： 正确理解中心极限定理的意义：在随机试验中，不管随机变量服从何种分布，当试验次数趋于无穷大时，它的极限分布都是正态分布，经标准化后成为标准正态分布。可见正态分布在概率统计中是如何重要的！ 如何记忆中心极限定理定理结论：定理 5.4：独立同分布随机变量序列X i，E（X i）n，D（X i）n 2， ，分布函数为 Fn（x），则；拉普拉斯中心极限定理同样记忆。
7、10.设 x1， x2， x3， x4为来自总体 X 的样本， D（ X） 2，则样本均值 的方差 D（ ）（ ）正确答案分析：本题考察样本均值的方差。解析：课本 P122，定理 6.1，总体 X （， 2），则 ，E（S 2） 2。故选择 D。 （二）填空题（本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（ A） P（ B） ，则 P（ A ） .正确答案分析：本题考察事件的独立性及“和事件”的概率的求法。解析：因事件 A 与 B 相互独立，事件 A 与 也相互独立，则 ，所以故填写 。提示
8、： 四对事件：（A、B），（A、 ），（ 、B），（ 、 ）其一独立则其三独立； 加法公式：P（AB）P（A）P（B）P（AB）是必考内容，记住！ 512.设袋内有 5 个红球、3 个白球和 2 个黑球，从袋中任取 3 个球，则恰好取到 1 个红球、1 个白球和1 个黑球的概率为_.正确答案分析：本题考察古典概型。解析： 故填写 。提示：不要发生计算错误！ 13.设 A 为随机事件， P（ A）0.3，则 P（ ）_.正确答案分析：本题考察对立事件概率。解析：故填写 0.7 14.设随机变量 X 的分布律为 .记 Y X2，则 PY4_.正确答案分析：本题考察随机变量函数的概率。解析： PY4
9、 PX24 P（ X2）（X=2）0.10.40.5；也可求出 Y 的分布律Y 0 1 4P 0.2 0.3 0.5得到答案。故填写 0.5.提示：互斥事件和的概率概率的和。 15.设 X 是连续型随机变量，则 PX5_.正确答案分析：本题考察连续型随机变量在一点的概率。解析：设 X 的概率密度为 f（x），则 ，故填写 0.提示：积分为 0：被积函数为 0；积分上限积分下限。 16.设随机变量 X 的分布函数为 F（ x），已知 F（2）0.5， F（3）0.1，则 P3 X2_.正确答案 分析：本题考察用分布函数求概率的方法。解析：P3X2F（2）F（3）0.50.10.4，故填写 0.4
10、. 提示：分布函数的性质：1. F（x）PXx；2.F（） 0，F（）1；3. PaXbF（b）F（a）；4. F（x）f（x），在 f（x）的连续点。 617.设随机变量 X 的分布函数为 F（ x） 则当 x0 时， X 的概率密度 f （ x）_.正确答案分析：本题考察分布函数与概率密度之间的关系。解析：x0 时， ，故填写 。xe提示： 分布函数与概率密度的关系：设 x 为 f（x）的连续点，则 F（x）存在，且 F（x）f（x） ； 注意复合函数求导的方法。18.若随机变量 X B（4， ），则 PX1_.正确答案分析：本题考察二项分布的概率。解析：已知随机变量 X B（4， ），则
11、 X 的分布律为，k0，1，2，3，4则 。故填写 。提示：记住符号的意义。 19.设二维随机变量（ X， Y）的概率密度为 f （ x， y） 则 PX Y1_.正确答案分析：本题考察连续型二维随机变量的概率。解析： 。故填写 。提示：被积函数常数时，二重积分的值积分区域的面积。 20.设随机变量 X 的分布律为X 2 0 2P 0.4 0.2 0.4则 X 的数学期望 E（ X）_.正确答案分析：本题考察离散型随机变量的期望。解析： E（ X）（-2）0.4+00.2+20.40故填写 0. 721.设随机变量 X N（0，4），则 E（ X2）_.正确答案分析：本题考察随机变量函数的期望
12、的求法。解析：已知 XN（0，4），则 E（X）=0，D（X）=4，由 D（X）=E（X 2）-E（X） 2，E（X 2）= D（X）+ E（X） 2 =4+0=4，故填写 4. 22.设随机变量 X N（0，1）， Y N（0，1），Cov（ X,Y）0.5，则 D（ X Y）_.正确答案分析：本题考察方差的性质。解析：已知 X N（0，1）， Y N（0，1），D（X）=D（Y）=1D（X+Y）=D（X）+ D（Y）+2cov（X,Y）=1+1+20.5=3， 故填写 3. 23.设 X1， X2， Xn，是独立同分布的随机变量序列， E（ Xn） ， D（ Xn） 2，n1,2，,则 _
13、.正确答案分析：本题考察中心极限定理的应用。解析：由定理 54（P112）=0.5故填写 0.524.设 x1， x2， xn为来自总体 X 的样本，且 X N（0,1），则统计量 _.正确答案分析：本题考察统计量的分布之一x 2布的定义。解析：由 x2分布定义 ，故填写 x2（n）。 25.设 x1， x2， xn为样本观测值，经计算知 ,nx2 64，则 _.正确答案分析：本题考察样本的偏差平方和。解析： 故填写 36.8提示：这是一个非常不被重视的内容，在课本 P135，希望注意全面复习。（三）计算题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分）26.设随机变量 X 服从区间0，1
14、上的均匀分布， Y 服从参数为 1 的指数分布，且 X 与 Y 相互独立，求 E（ XY）.正确答案分析：本题主要考察协方差的性质。解：因为 X 服从区间0，1上的均匀分布，所以 ，又 Y 服从参数为 1 的指数分布，所以 ，由协方差性质知，当 X 与 Y 相互独立时，cov（X,Y）=0，又 cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y），所以， 。 27.设某行业的一项经济指标服从正态分布 N（ , 2），其中 , 2均未知.今获取了该指标的 9 个数据作为样本，并算得样本均值 56.93，样本方差 s2（0.93） 2.求 的置信度为 95%的置信区间.（附： t0.025（8）2.306）
15、正确答案分析：本题考察单正态总体、方差未知，均值的区间估计。解：由已知，XN（， 2），但 ， 2均未知，对 估计，这时可用 t 统计量，因为 t（n-1），由推导可得 的 1- 置信区间为，又已知样本容量 n=9，1-=95%，=0.05，所以 ，将样本容量 n=9， 代入上式，得所以，该项指标均值的所求置信区间为56.93-0.715,56.93+0.715=56.215,57.645 提示：本题尤其要注意书写，以免书写不当丢分。 （四）综合题（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）28.设随机事件 A1， A2， A3相互独立，且 P（ A1）0.4， P（ A2）0.5，
16、 P（ A3）0.7.求：（1） A1， A2， A3恰有一个发生的概率；（2） A1， A2， A3至少有一个发生的概率.正确答案分析：本题考察事件的概率的求法。解：（1）事件“ A1， A2， A3恰有一个发生”表示为又事件 A1， A2， A3相互独立，则所求概率为90.4（10.5）（10.7）（10.4）0.5（10.7）（10.4）（10.5）0.70.36所以， A1， A2， A3恰有一个发生的概率为 0.36.（2）事件“ A1， A2， A3至少有一个发生”的对立事件是“ A1， A2， A3全不发生”所以，P（“ A1， A2， A3至少有一个发生”）1P（ A1， A2
17、， A3全不发生）1（10.4）（10.5）（10.7）0.91所以， A1， A2， A3至少有一个发生的概率为 0.91. 29.设二维随机变量（ X， Y）的分布律为（1）求（ X， Y）分别关于 X,Y 的边缘分布律；（2）试问 X 与 Y 是否相互独立，为什么？正确答案分析：本题考察二维随机变量的两个分量的边缘密度及相互独立的验证方法。解：（1）由二维随机变量（ X， Y）的分布律得X 的边缘分布律为 X 0 1P 0.3 0.7Y 的边缘分布律为Y 0 1 2P 0.4 0.2 0.4（2）验证：PX=0PY=0=0.30.4=0.12而 PX=0,Y=0=0.20.12所以， X
18、 与 Y 不相互独立。提示：若证明 X 与 Y 相互独立，必须逐一验证全部 PX=xi PY=yi= PX=xi, Y=yi 的正确性；若证明 X 与 Y 不相互独立，只需验证其中一个 PX=xiPY=yiPX=x i, Y=yi 即可。 （五）应用题（10 分）定理：设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=，方差 D（X）= 2则P|X-| 2/ 2 此不等式称为切比雪夫不等式。它的等价形式是P|X-|1-（ 2/ 2）例如变量 服从二项分布 B（n,p） 数学期望 E()=np, 方差 D()=np(1-p)例：已知变量 X 服从 B（12.5，0.8），试用切比雪夫不等式估计 P5X15。解：由于 X 服从 B（12.5，0.8），可得 E(X)=np=12.50.8=10，D（X）=10（1-0.8）=2故得 P5X15= P|X-10|5= P-5X-1051-（2/5 2）=1-（2/25）=（23/25）=0.92
