1、 中考专题复习page 0 of 9一. 教学目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力二. 教学重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。三. 知识要点：知识点 1 三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于 180；三角形三个外角的和等于 360；三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形
2、一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点 2 三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高；三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。知识点 3 等腰三角形等腰三角形的识别：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） ；三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。等腰三
3、角形的性质：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；等边三角形的三个内角都等于 60。知识点 4 直角三角形直角三角形的识别：有一个角等于 90的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点 5 全等三角形定义、判定、性质知识点 6 相似三角形中考专题复习page 1 of 9三
4、 条 对 应 边 的 比 相 等两 个 对 应 角 相 等 夹 角 相 等两 对 应 边 的 比 相 等判 定 方 法定 义相 似 三 角 形 ,相 似 比 平 方面 积 比 等 于 相 似 比周 长 比对 应 高 的 比对 应 边 的 比相 似 三 角 形 的 性 质知识点 7 锐角三角函数与解直角三角形方 位 角坡 度视 角常 用 术 语 直 角 三 角 形转 化问 题 例 1. （1）已知：等腰三角形的一边长为 12，另一边长为 5，求第三边长。（2）已知：等腰三角形中一内角为 80，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。说明：此题运用“分类
5、讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例 2. 已知：如图，ABC 和ECD 都是等腰三角形，ACB DCE90，D 为 AB 边上的一点，求证：（1）ACEBCD ， （2）AD AE DE 。22E D C B A 中考专题复习page 2 of 9例 3. 已知：点 P 是等边ABC 内的一点，BPC 150，PB2，PC 3，求 PA 的长。分析：将BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60至BCD，即可证得BPD为等边三角形，PCD 为直角三角形。解：BCBA ，将BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60，使 BA 与 BC 重合，得BCD，连结 PD。BDBP
6、2，PADC 。 BPD 是等边三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。DC PADC 。2231PDC13【变式】若已知点 P 是等边ABC 内的一点，PA ，PB2，PC3。能求出BPC 的度数吗？请试一试。例 4. 如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB 、PC， 以 BP 为边作PBQ60，且BQBP，连结 CQ（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论（2）若 PA：PB：PC3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由解：（1）把ABP 绕点 B 顺时针旋转 60即可得到CBQ利用等边三角形的性质证ABPCBQ，得
7、到 APCQ（2）连接 PQ，则PBQ 是等边三角形 PQPB，APCQ 故CQ：PQ：PC PA ：PB ：PC3：4：5，PQC 是直角三角形点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明例 5. 如图，有两个长度相同的滑梯（即 BCEF） ，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则ABCDFE _分析：ABC 与DFE 分布在两个直角三角形中， 若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解A P B D C 中考专题复习page 3 of 9点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的
8、性质进行解题例 6. 中华人民共和国道路交通管理条例 规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米/时” 一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示） ，在距离路边 25 米处有“车速检测仪 O”， 测得该车从北偏西 60的 A 点行驶到北偏西 30的 B 点，所用时间为 1.5 秒（1）试求该车从 A 点到 B 的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速点评：此题应用了直角三角形中 30角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用例 7. 如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在
9、同一实线上；连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形网格中作出了 Rt ABC请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等简析：此题的答案可以有很多种，关键是抓住有一直角这一特征， 可以根据勾股定理的逆定理“若两边的平方和等于第三边的平方，则三角形为直角三角形”构造出直角三角形，答案如下图例 8. 如图所示，在ABC 中，ABAC1，点 D、E 在直线 BC 上运动，设 BDx，CE y（1）如果BAC30，DAE 105，试确定 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如果BAC 的度数为 ，DAE 的度数为 ，当 、 满足怎样
10、的关系式时， （1）中 y 与 x之间的函数关系式还成立，试说明理由中考专题复习page 4 of 9点评：确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系例 9. 如图，梯形 ABCD 中，ABCD，且 AB2CD ，E，F 分别是 AB，BC 的中点，EF 与 BD 相交于点M（1）求证：EDMFBM；（2）若 DB9，求 BM例 10. 已知ABC 中，ACB90，CDAB 于 D，ADBD23 且 CD6。求（1）AB；（2）AC。分析：设 AD2k，BD3k 。根据直角三角形和它斜边上的高，可知ABCACDCBD。通过相似三角形对应边成比例求出其中 k 的大小；但是
11、如果根据射影定理，那么就可以直接计算出 k 的大小。例 11. 已知ABC 中，ACB90，CHAB，HEBC，HFAC。求证：（1）HEF EHC；（2）HEFHBC。分析：从已知条件中可以获得四边形 CEHF 是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边中考专题复习page 5 of 9EH，根据矩形的性质可知 EFCH，HF EC 。要证明三角形相似，从条件中得FHECHB90，由全等三角形可知，HEFHCB，这样就可以证明两个三角形相似。说明：在这一题的分析过程中，走“两头凑”比较快捷，从已知出发，发现有用的信息，从结论出发，寻找解决问题需要的条件。解题中还要注意上下两小题的“台
12、阶”关系。培养学生良好的思维习惯。例 12. 两个全等的含 30，60 角的三角板 ADE 和 ABC 如图所示放置，E， A，C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 的中点 M，连结 ME，MC。试判断EMC 是什么样的三角形，并说明理由。说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。课后练习1. 如图，ABC 中，D 、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O
13、， 给出下列三个条件：EBODCO；BEO CDO ；BECD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） ；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC 是等腰三角形2. （1）已知如图，在AOB 和COD 中，OA OB，OCOD，AOB COD60。求证：ACBD，APB60。（2）如图，在AOB 和COD 中，OA OB，OCOD，AOB COD，则 AC 与 BD 间的等量关系式为_；APB 的大小为_。（3）如图，在AOB 和COD 中，OA kOB，OCkOD（k1） ，AOBCOD，则 AC 与BD 间的等量关系式为_ ；APB 的大小为_
14、。C E A D M B 中考专题复习page 6 of 9B A C D O P A C B O P D A C B P O D 3. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5m，面积为 1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1） ，乙设计的方案如图（2） 。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。 （加工损耗忽略，计算结果可保留分数） C A (1) B D E F (2) C B A D E G F H P 4. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm ，放映的荧屏的规格为 2m2m，若放映机
15、的光源距胶片 20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？5. 如图，已知MON90，等边三角形 ABC 的一个顶点 A 是射线 OM 上的一定点，顶点 B 与点 O 重合，顶点 C 在MON 内部。（1）当顶点 B 在射线 ON 上移动到 B1 时，连结 AB1 为一边的等边三角形 AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明） ； （2）设 AB1 与 OC 交于点 Q，AC 的延长线与 B1C1 交于点 D。求证： ；AQBA1（3）连结 CC1，试猜想ACC 1 为多少度？并证明你的猜想。中考专题复习page 7 of 96. 如图所示，设 A 城气象台测得台风
16、中心在 A城正西方向 600km 的 B 处，正以每小时 200km 的速度沿北偏东 60的 BF 方向移动，距台风中心 500km的范围是受台风影响的区域（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A 城受到这次台风的影响，那么 A 城遭受这次台风的影响有多长时间？7. （1）如图，在 RtABC 中，C90，AD 是BAC 的角平分线，CAB60，CD ，BD2 ，求 AC，AB 的长3（2） “实验中学”有一块三角形状的花园 ABC， 有人已经测出 A30，AC40 米，BC 25 米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中 ABBC，CDAD，A60，AB
17、200m，CD100m， 求AD、BC 的长8. 高为 12 米的教学楼 ED 前有一棵大树 AB，如图所示（1）某一时刻测得大树 AB，教学楼 ED 在阳光下的投影长分别是 BC2.5 米，DF7.5 米，求大树 AB的高度；（2）现有皮尺和高为 h 米的测角仪，请你设计另一种测量大树 AB 高度的方案，要求：在图中，画出你设计的图形（长度用字母 m，n表示，角度用希腊字母 ，表示） ；根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度并用字母表示9. 如图所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼， 该居民楼的一楼是高 6 米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面 15米处要盖一栋高 20 米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 32时中考专题复习page 8 of 9（1）问超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（ 结果保留整数， 参考数据：sin32，cos32 ）530
