2016年清华大学自招领军试题.pdf

1、2016 年 清 华 大 学 自 主 招 生 暨 领 军 计 划 试 题1 已 知 函 数 xeaxxf 2 有 最 小 值 ， 则 函 数 axxxg 22 的 零 点 个 数 为（ ）A 0 B 1 C 2 D 取 决 于 a的 值2 已 知 ABC 的 三 个 角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c 下 列 条 件 中 ， 能 使 得ABC 的 形 状 唯 一 确 定 的 有 （ ）A 1a , 2b , ZcB 150A , BbCaCcAa sinsin2sinsin C 0sincoscoscossincos CBCBCBA , 60CD 3a , 1b , 60A3

2、 已 知 函 数 12 xxf ， xxg ln 下 列 说 法 中 正 确 的 有 （ ）A xf 与 xg 在 点 (1,0)处 有 公 切 线B 存 在 xf 的 某 条 切 线 与 xg 的 某 条 切 线 互 相 平 行C xf 与 xg 有 且 只 有 一 个 交 点D xf 与 xg 有 且 只 有 两 个 交 点4 过 抛 物 线 xy 42 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A,B两 点 ， M 为 线 段 AB 的 中点 下 列 说 法 中 正 确 的 有 （ ）A 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 与 直 线 23x 一 定 相 离B AB 的 最 小

3、值 为 4C AB 的 最 小 值 为 2D 以 线 段 BM 为 直 径 的 圆 与 y轴 一 定 相 切5 已 知 1F , 2F 是 椭 圆 01: 2222 babyaxC 的 左 、 右 焦 点 ， P是 椭 圆 C上 一 点 下列 说 法 中 正 确 的 有 （ ）A ba 2 时 ， 满 足 9021 PFF 的 点 P有 2个B ba 2 时 ， 满 足 9021 PFF 的 点 P有 4个C 21FPF 的 周 长 小 于 a4D 21FPF 的 面 积 小 于 等 于 22a6 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 个 人 参 加 比 赛 ， 有 两 人 获 奖 比 赛 结 果

4、揭 晓 之 前 ， 四 个 人作 了 如 下 猜 测 甲 ： 两 名 获 奖 者 在 乙 、 丙 、 丁 中 ；乙 ： 我 没 有 获 奖 ， 丙 获 奖 了 ；丙 ： 甲 、 丁 中 有 且 只 有 一 人 获 奖 ；丁 ： 乙 说 得 对 已 知 四 个 人 中 有 且 只 有 两 个 人 的 猜 测 是 正 确 的 ， 那 么 两 名 获 奖 者 是 （ ）A 甲 B 乙 C 丙 D 丁7 已 知 AB 为 圆 O的 一 条 弦 （ 非 直 径 ） ， ABOC 于 C P为 圆 O上 任 意 一 点 ，直 线 PA 与 直 线 OC 相 交 于 点 M ， 直 线 PB与 直 线 OC

5、 相 交 于 点 N 以 下 说 法 正确 的 有 （ ）A O,M ,B,P四 点 共 圆B A,M ,B,N 四 点 共 圆C A,O,P,N 四 点 共 圆D 前 三 个 选 项 都 不 对8 CBACBA coscoscossinsinsin 是 ABC 为 锐 角 三 角 形 的 （ ）A 充 分 非 必 要 条 件B 必 要 非 充 分 条 件C 充 分 必 要 条 件D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件9 已 知 x, y ,z 为 正 整 数 ， zyx ,那 么 方 程 21111 zyx 的 解 的 组 数 为 （ ）A 8 B 10 C 11 D 1210 已 知

6、集 合 naaaA , 21 ,任 取 nkji 1 ， Aaa ji , Aaa kj , Aaa ik 这 三 个 式 子 中 至 少 有 一 个 成 立 ， 则 n的 最 大 值 为 （ ）A 6 B 7 C 8 D 911 已 知 1 ， 61 ， 121 ， 则 下 列 各 式 中 成 立 的 有 （ ）A 3tantantantantantan B 3tantantantantantan C 3tantantan tantantan D 3tantantan tantantan 12 已 知 实 数 a,b,c满 足 1 cba ， 则 141414 cba 的 最 大 值 与最

7、小 值 乘 积 属 于 区 间 （ ）A (11,12) B (12,13) C (13,14) D (14,15)13 已 知 x, y , Rz ， 满 足 1 zyx , 1222 zyx ， 则 下 列 结 论 正 确 的 有（ ）A xyz的 最 大 值 为 0 B xyz的 最 小 值 为 427C z 的 最 大 值 为 23 D z 的 最 小 值 为 1314 数 列 na 满 足 11 a , 22 a , *12 6 Nnaaa nnn 对 任 意 正 整 数 n， 以 下说 法 中 正 确 的 有 （ ）Annn aaa 22 1 为 定 值 B 9mod1na 或 9

8、mod2naC 74 1 nnaa 为 完 全 平 方 数 D 78 1 nnaa 为 完 全 平 方 数15 若 复 数 z 满 足 11 zz ， 则 z 可 以 取 到 的 值 有 （ ）A 21 B 21 C 2 15 D 2 15 16 从 正 2016边 形 的 顶 点 中 任 取 若 干 个 ， 顺 次 相 连 构 成 多 边 形 ， 其 中 正 多 边 形的 个 数 为 （ ）A 6552 B 4536 C 3528 D 201617 已 知 椭 圆 012222 babyax 与 直 线 xyl 21:1 ， xyl 21:2 ， 过 椭 圆 上 一 点 P作 1l , 2l

9、 的 平 行 线 ， 分 别 交 1l , 2l 于 M ,N 两 点 若 MN 为 定 值 ， 则 ba （ ）A 2 B 3 C 2 D 518 关 于 x, y 的 不 定 方 程 yx 26152 的 正 整 数 解 的 组 数 为 （ ）A 0 B 1 C 2 D 319 因 为 实 数 的 乘 法 满 足 交 换 律 与 结 合 律 ， 所 以 若 干 个 实 数 相 乘 的 时 候 ， 可 以 有不 同 的 次 序 例 如 ， 三 个 实 数 a,b,c相 乘 的 时 候 ， 可 以 有 cab , cba , abc , cab 等 等 不 同 的 次 序 记 n个 实 数 相

10、 乘 时 不 同 的 次 序 有nI 种 ， 则 （ ）A 22 I B 123 I C 964 I D 1205 I20 甲 乙 丙 丁 4个 人 进 行 网 球 淘 汰 赛 ， 规 定 首 先 甲 乙 一 组 、 丙 丁 一 组 进 行 比 赛 ，两 组 的 胜 者 争 夺 冠 军 4个 人 相 互 比 赛 时 的 胜 率 如 下 表 所 示 ：甲 乙 丙 丁甲 - 0.3 0.3 0.8乙 0.7 - 0.6 0.4丙 0.7 0.4 - 0.5丁 0.2 0.6 0.5 -表 中 的 每 个 数 字 表 示 其 所 在 行 的 选 手 击 败 其 所 在 列 的 选 手 的 概 率 ，

11、 例 如 甲 击 败 乙的 概 率 是 0.3， 乙 击 败 丁 的 概 率 是 0.4 那 么 甲 赢 得 冠 军 的 概 率 是 _21 在 正 三 棱 锥 ABCP 中 ， ABC 的 边 长 为 1 设 点 P到 平 面 ABC的 距 离 为 x，异 面 直 线 AB 与 CP的 距 离 为 y ， 则 yxlim _22 如 图 ， 正 方 体 1111 DCBAABCD 的 棱 长 为 1， 中 心 为 O， BCBF 21 ，AAEA 11 41 ， 则 四 面 体 OEBF 的 体 积 为 _23 xxx nn dsin1 21220 =_24 实 数 x, y 满 足 223

12、22 4 yxyx ， 则 22 yx 的 最 大 值 为 _25 x, y,z 均 为 非 负 实 数 ， 满 足 42723121 222 zyx ， 则 zyx 的最 大 值 为 _， 最 小 值 为 _26 O为 ABC 内 一 点 ， 满 足 2:3:4: COABOCAOB SSS 设 ACABAO ，则 _27 已 知 复 数 32sin32cos iz ， 则 22 23 zz zz _28 已 知 z 为 非 零 复 数 ， 10z 和 z40 的 实 部 和 虚 部 均 为 不 小 于 1的 正 数 ， 则 在 复 平面 中 ， z 所 对 应 的 向 量 OP的 端 点

13、P运 动 所 形 成 的 图 形 面 积 为 _29 若 334tan x ， 则 xxxx xxx xxx x cossincos2cossin2cos4cos 2sin4cos8cos 4sin _30 将 16个 数 ： 4个 1， 4个 2， 4个 3， 4个 4填 入 一 个 4 4的 数 表 中 ， 要 求每 行 、 每 列 都 恰 好 有 两 个 偶 数 ， 共 有 _种 填 法 31 A是 集 合 1,2,3, ,14的 子 集 ， 从 A中 任 取 3个 元 素 ， 由 小 到 大 排 列 之 后都 不 能 构 成 等 差 数 列 ， 则 A中 元 素 个 数 的 最 大 值

14、 为 _答 案 及 解 析1 C注 意 xgexf x 2 AD对 于 选 项 A， 由 于 bacba ， 于 是 c有 唯 一 取 值 2， 符 合 题 意 ；对 于 选 项 B， 根 据 正 弦 定 理 ， 有 222 2 bacca ,于 是 可 得 22cos B ， 135B ，无 解 ；对 于 选 项 C， 条 件 即 0sincos CBA ,于 是 60,60,60,60,30,90, CBA ， 不符 合 题 意 ；对 于 选 项 D， 根 据 正 弦 定 理 ， 有 21sin B ， 又60A ， 于 是 30B ， 90C ， 符 合题 意 3 BD注 意 1 xy

15、为 函 数 xg 在 点 (1,0)处 的 切 线 ， 如 图 4 AB对 于 选 项 A， 点 M 到 准 线 1x 的 距 离 为 ABBFAF 2121 ， 于 是 以 线 段 AB为 直 径 的 圆 与 直 线 1x 一 定 相 切 ， 进 而 与 直 线 23x 一 定 相 离 ；对 于 选 项 B和 C， 设 aaA 4,4 2 ， 则 aaB 1,412 ， 于 是 2414 22 aaAB ， 最 小值 为 4；对 于 选 项 D， 显 然 BD中 点 的 横 坐 标 与 BM21 不 一 定 相 等 ， 因 此 命 题 错 误 5 ABCD对 于 选 项 A和 B， 椭 圆

16、中 使 得 21PFF 最 大 的 点 P位 于 短 轴 的 两 个 端 点 ；对 于 选 项 C， 21PFF 的 周 长 为 aca 422 ；对 于 选 项 D， 21PFF 的 面 积 为 22212121 21221sin21 aPFPFPFPFPFF .6 BD乙 和 丁 同 时 正 确 或 者 同 时 错 误 ， 分 类 即 可 7 AC对 于 选 项 A， OPMOAMOBM 即 得 ；对 于 选 项 B， 若 命 题 成 立 ， 则 MN 为 直 径 ， 必 然 有 MAN 为 直 角 ， 不 符 合 题 意 ；对 于 选 项 C， MANMOPMBN 即 得 8 B必 要

17、性 ：由 于 1cossin2sinsinsinsin BBBBCB ,类 似 的 ， 有 1sinsin AC ，1sinsin BA ， 于 是 CBA ACBBAACCBCBA coscoscos cossinsinsinsinsinsinsinsin 不 充 分 性 ：当 2A ， 4CB 时 ， 不 等 式 成 立 ， 而 ABC并 非 锐 角 三 角 形 9 B由 于 xzyx 311121 ， 故 63 x 情 形 一 若 3x ， 则 6111 zy ， 即 3666 zy ， 解 得 42,7,3, zyx , 24,8,3, zyx, 18,9,3, zyx , 15,10

18、,3, zyx , 12,12,3, zyx .情 形 二 若 4x ， 则 4111 zy ， 即 1644 zy ， 解 得 20,5,4, zyx , 12,6,4, zyx , 8,8,4, zyx .情 形 三 若 5x ， 则 10311 zy ， 此 时 有 yzy 211103 ,于 是 320y ， 从 而 6,5y ，进 而 解 得 10,5,5, zyx .情 形 四 若 6x ， 则 3111 zy ， 即 933 zy ， 解 得 6,6,6, zyx .10 B不 妨 假 设 naaa 21 若 集 合 A中 的 正 数 的 个 数 大 于 等 于 4， 由 于 3

19、2 aa 和42 aa 均 大 于 2a ， 于 是 有 14232 aaaaa ,所 以 43 aa ， 矛 盾 所 以 集 合 A中至 多 有 3个 正 数 同 理 可 知 集 合 A中 至 多 有 3个 负 数 取 3,2,1,0,1,2,3 A ，满 足 题 意 ， 所 以 n的 最 大 值 为 711 BD令 tanx ， tany ， tanz ， 则 3111 zxzxyzyzxyzy ,所 以 zxzxyzyzxyxy 13,13,13 ,以 上 三 式 相 加 ， 即 有3 zxyzxy.类 似 的 ， 有 11311,11311,11311 zxxzyzzyxyyx ,以

20、上 三 式 相加 ， 即 有 3111 xyz zyxzxyzxy .12 B设 函 数 14 xxf 的 图 象 ， 则 其 导 函 数 142 xxf .作 出 函 数 xf 的 图 象 ，函 数 xf 的 图 象 在 31x 处 的 切 线 321317212 xy ， 以 及 函 数 xf 的 图 象过 点 0,41 和 7,23 的 割 线 7174 xy y=4 7x+1 7， 如 图 于 是 可 得 321317212147174 xxx ,左 侧 等 号 当 41x 或 23x时 取 得 ； 右 侧 等 号 当 31x 时 取 得 因 此 原 式 的 最 大 值 为 21， 当

21、 31 cba 时取 得 ； 最 小 值 为 7 ， 当 41ba ， 23c 时 取 得 从 而 原 式 最 大 值 与 最 小 值 的乘 积 为 13,12169,14414737 13 ABD由 1 zyx , 1222 zyx ， 可 知 0 zxyzxy 设 cxyz ， 则 x, y,z 是 关于 t的 方 程 023 ctt 的 三 个 实 根 令 ctttf 23 ， 利 用 导 数 可 得 ,027432 ,00 cf cf所 以 0274 xyzc ， 等 号 显 然 可 以 取 到 故 选 项 A， B都 对 因 为 22222 1221 zyxzyx ,所 以 131

22、z ， 等 号 显 然 可 以取 到 故 选 项 C错 ， 选 项 D对 14 ACD因 为 nnn nnnn nnnn nnnnnnn aaa aaaa aaaa aaaaaaa 22 1 2 1122 2 1122 2 1122 2132 2 666 ,所 以 A正 确 由 于 113 a ， 故 7 66212 1 12 122 1 nnnn nnnnnnn aaaa aaaaaaa对 任 意 正 整 数 恒 成 立 ， 所 以 211 74 nnnn aaaa ， 211 78 nnnn aaaa 故 C,D正 确 计 算 前 几 个 数 即 可 判 断 B错 误 注 若 数 列 na

23、 满 足 *12 Nnapaa nnn ， 则 nnn aaa 22 1 为 定 值 15 CD因 为 111 zzzz ,故 2 152 15 z ， 等 号 分 别 当 iz 2 15 和 iz 2 15 时 取 得 16 C从 2016的 约 数 中 去 掉 1,2， 其 余 的 约 数 均 可 作 为 正 多 边 形 的 边 数 设 从 2016个 顶点 中 选 出 k 个 构 成 正 多 边 形 ， 这 样 的 正 多 边 形 有 2016k 个 ， 因 此 所 求 的 正 多 边 形 的个 数 就 是 2016的 所 有 约 数 之 和 减 去 2016和 1008 考 虑 到 7

24、322016 25 ， 因 此 所求 正 多 边 形 的 个 数 为 (1+2+4+8+16+32) (1+3+9) (1+7)20161008=3528.17 C设 P点 坐 标 为 00, yx ， 可 得 0000 2141,21 yxyxM , 0000 2141,21 yxyxN ,故 2020 441 yxMN 为 定 值 ， 所 以 1641422 ba ,故 2ba 注 (1) 若 将 两 条 直 线 的 方 程 改 为 kxy ， 则 kba 1 ；(2) 两 条 相 交 直 线 上 各 取 一 点 M ,N ， 使 得 MN 为 定 值 ， 则 线 段 MN 中 点 Q的轨

25、 迹 为 圆 或 者 椭 圆 18 B方 程 两 边 同 时 模 3， 可 得 3mod22 yx 因 为 3 y2 ， 故 3 2x ， 所 以 3mod12 x ,故 3mod12 y ,所 以 y 是 偶 数 设 *2 Nmmy ， 则 415361522 xx mm ,解 得 1232 52 xxmm ,即 1259yx .19 AB根 据 卡 特 兰 数 的 定 义 ， 可 得 1 221 221 C!1!C1A nnnnnnnn nnnCI .20 0.165根 据 概 率 的 乘 法 公 式 ， 所 求 概 率 为 0.3 (0.5 0.3+0.5 0.8)=0.165.21 2

26、3 当 x 时 ， CP趋 于 与 平 面 ABC垂 直 ， 所 求 极 限 为 ABC 中 AB边 上 的 高 ， 为23 22 961 如 图 有 961161212121 11 BBCCEGBFEEBFGEBFOOEBF VVVVV .23 0根 据 题 意 ， 有 0dsin1dsin1 21221220 xxxxxx nnnn .24 1根 据 题 意 ， 有 22222322 4 yxyxyx ,于 是 122 yx ， 等 号 当 2122 yx 时取 得 ， 因 此 所 求 的 最 大 值 为 125 23 ， 2 322 由 柯 西 不 等 式 可 知 ， 当 且 仅 当 0

27、,21,1, zyx 时 ， zyx 取 到 最 大 值 23 根 据 题 意 ， 有 41332222 zyxzyx ,于 是 zyxzyx 3413 2 ,解 得 2 322 zyx ,于 是 zyx 的 最 小 值当 2 322,0,0, zyx 时 取 得 ， 为 2 322 26 23根 据 奔 驰 定 理 ， 有 329492 .27 35sin35cos i 根 据 题 意 ， 有 35sin35cos12 22 23 izzzz zx .28 30031003200 设 yixz ， 其 中 Ryx , 由 于 24040 z zz ， 于 是 140,140 110,110

28、2222 yx yyx yx ,如 图 弓 形 面 积 为 10031006sin62021 2 ,四 边 形 ABCD的 面 积 为 10031001010310212 ,于 是 所 求 面 积 为 30031003200100310010031002 .29 3根 据 题 意 ， 有 3 8tan tantan2tan2tan4tan4tan8tan cossincos2cossin2cos4cos 2sin4cos8cos 4sinx xxxxxxx xxxx xxx xxx x .30 441000首 先 确 定 偶 数 的 位 置 有 多 少 种 选 择 第 一 行 两 个 偶 数

29、有 24C 种 选 择 ， 下 面 考 虑 这 两 个 偶 数 所 在 的 列 ， 每 列 还 需 再 填 一个 偶 数 ， 设 为 a,b情 形 一 若 a,b位 于 同 一 行 ， 它 们 的 位 置 有 3种 选 择 ， 此 时 剩 下 的 四 个 偶 数 所填 的 位 置 唯 一 确 定 情 形 二 若 a,b位 于 不 同 的 两 行 ， 它 们 的 位 置 有 6种 选 择 ， 此 时 剩 下 的 四 个 偶数 所 填 的 位 置 有 2种 选 择 所 以 偶 数 的 不 同 位 置 数 为 90263C24 ,因 此 总 的 填 法 数 位 441000CC90 4848 .31 8一 方 面 ， 设 kaaaA , 21 ， 其 中 *Nk ， 141 k 不 妨 假 设 kaaa 21 若9k ， 由 题 意 ， 313 aa ， 335 aa ， 且 1335 aaaa ， 故 715 aa ,同 理 ， 759 aa ， 又 因 为 1559 aaaa ， 所 以 1519 aa ， 矛 盾 故 8k 另 一 方 面 ， 取 14,13,11,10,5,4,2,1A ， 满 足 题 意 综 上 所 述 ， A中 元 素 个 数 的 最 大 值 为 8