1、ALG 不 等式与 导数压 轴题 贾勇 高考导数压轴题常常出现含有自然对数的底数“ e “ln“ 的函数， 设计一个与不等式相关 的问题， 如证明不等式、 比较大小、 求参数取值范围及函数最值等， 像这样的不等式问题可 以尝试用 ALG 不等式解决. 一、ALG 不 等式介绍 若记 12 , 2 xx A + = 21 21 , ln ln xx L xx = 12 , G xx = 则 , ALG 分别是正数 12 , xx 的算术平均 、 对数平均、几何平均值. 所谓 ALG 不等式指的是 ALG 。现将对数形式的 ALG 不等 式 的介绍如下： 在图 1 中，C 为 AB 中 点， 线段
2、CD x 轴， 点 D 在函数 () x fx e = 图象上， 过 D 的切 线交 BM 于点 E，交 AN 于点 F. 设 ( ,0) Aa ( ,0), , Bb a b 则直角梯形面积 ABMN S 曲边梯形面积 ABMDN S 直角梯形面 积 , ABEF S 2 () () , 2 ab ba b x a ee ba e d xe ba + + 2 ( ). 2 ab ba ba ee ee e ab ba + + 这 是 ALG 不等式的指数形式（此形式 2013 年陕西高考压轴题中出现过）. 如果令 21 ln , ln , b xa x = = （则 0, 0, a b ab
3、 ） 那么 2 2 ab ba ba ee ee e ba + + 12 21 12 21 2 ln ln xx xx xx xx + ALG 成立 1 .二、证明 函 数不等式 ALG 不等式在导数压轴题中常常用到，先看看在函数中的重要地位，如： 例 1 （2012 年辽宁高考理数）设 ( ) ln( 1) 1 f x x x ax b = + + + （ , ab R , ab 为常 数） ，曲线 () y fx = 与直线 3 2 yx = 在 (0,0) 点相切. （1 ）求 , ab 的值； （2 ）证明 ：当 02 x 得 11 , LG+ 所以 2 2 ( ) 9( 1) 3 1
4、5 gt t tt ，且 12 1 += ，证明：对于 任意 正数 12 , aa 都有 12 1 2 11 2 2 aa a a +.分析 对 第（3 ）问直接 入手尝试一下（可能过程繁琐一些） ，因为 12 1, += 为了减少 参量，不是失一般性令 12 1 1 11 , ,( ), 2 2 22 t tt =+ =+ () gt 在 11 ( ,) 22 上单调递增 一方面 LG 21 12 21 ln ln aa aa aa 1 12 1 2 2 (0) ln( ) ( ) 0 a g aa a a a = 另一方面 (0,1) (1, ), x + ln 1 xx () gt 在
5、0 1 ( ,) 2 t 上单调递减，在 0 1 (,) 2 t 上单调递增 11 ( ) max ( ), ( ) 0 22 gt g g 由 () 0 x f x x ae = 12 0, , 0. x x e xx a = 由 1 2 1 2 x x x ae x ae = = 11 22 ln ln ln ln xax x ax += += 21 21 1, ln ln xx L xx = = 又 ALG 即 12 12 1, 2 xx xx + 从而得到 1 2 12 2,0 1. x x xx + 由 1 2 1 2 x x x ae x ae = = 21 2 1 2 1 21
6、2 2 1 2 1 21 21 1 xx x x x x xx e e e e ee e a x x x x xx xx + + = = = = + ，又 ALG 不等式的指数形式得 21 21 21 21 2 21 21 1 , 2 xx xx xx xx ee ee ee e a xx xx + + = = + 从而2 1 12 2,0 1. x x xx + ， 则 () 0 () () Fx f x gx = = 2 ln at bt t += 的两根 12 12 xx te e t = 2 11 1 2 22 2 ln ln at bt t at bt t += += 21 12 2
7、1 ln ln ( ), tt at t b tt =+ 由 ALG 不等式的变 11 LG且 0, a 所以 12 1 2 12 1 (2 ) ( ) , a tt b a t t b tt + + + 12 12 2 1, a tt b tt + 12 12 2 22 21 xx xx ae be + + 00 2 21 xx ae be + 即 00 () () . f x gx 评析 本例 前面部分变形技巧很关键， 后面部分是 ALG 不等式与均值不等式结合， 难 度较大，参考答案繁琐复杂，此法简便，但变形较难，类似变形技巧如例 5 ： 例 5 （中国数 学解题研究 QQ 群） 已知函
8、数 1 () l n , () f x x g x ax b x = + （其中 , ab 为 常数）. （1 ） 若函数 () () () hx f x gx = 在 (0, ) + 上单调递增，求实数 a 的取值范围；（ 2 ） 当 0 b = 时，若 () fx 和 () gx 的函数图象由两个不同的交点 11 2 2 1 2 ( , ), ( , ),( ) Ax y Bx y x x 试 比较 12 xx 与 2 2e 的大小. （ 2.8,ln 2 0.7, 2 1.4 e ） 分析 直接 考虑第（3 ） 问，因为 () fx 和 () gx 的函数图象由两个不同的交点 11 1
9、22 2 1 ln (1) 1 ln (2) x ax x x ax x = = 由 (1) (2) + 得 12 12 1 2 12 ln ( ) (3), xx xx a x x xx + =+ 由 (1) (2) + 得21 2 1 12 ln ln 1 (4), xx a x x xx += 把 (3) 代入 (4) 得 12 2 1 12 12 2 1 12 ln ln 1 ln ( ) xx x x xx xx x x xx + = + 12 () xx + 12 12 12 2( ) ln xx xx xx + = 21 12 21 ln ln ( ), xx xx xx + 由
10、 ALG 不等式得 111 ALG所以 12 12 12 2( ) 2 ln xx xx xx +令 2 ( ) ln ( 0) Gx x x x = 2 12 () 0 Gx xx =+ () Gx 在 (0, ) + 递增，而 2 ( 2 ) ln 2 2 Ge e e = 12 ln 2 1 0.85, 2 e = + 12 () G xx = 12 ln xx 12 2 1 xx 所以 ( 2) Ge 2 2. e 三、证明 数 列不等 式 ALG 不等式的指数形式还可以解决与数列有关的不等式，如： 例 6 （2013 年华约自主招生）已知函数 ( ) (1 ) 1. x f x xe
11、 = （1 ）求 证：当 0 x ， ( ) 0; fx 分析 （2 ） 用数学归纳法可证 0. n x 先证 n x 递减：由（1 ）可知 ( ) (1 ) 1 0 n x nn fx xe = 即 n x 递减. 再证 1 : 2 n n x 考虑到 1 0 2 , 0 n n n x x x n ee ee x + = 所以 1 0, 2 n n x x + 从而得到 23 1 12 1 11 1 11 () () . 22 2 22 nn n n n nn xx x x x x + = 评析 0 2 0 n n x x n ee e x 是用的 ALG 不等式的指数形式放缩所得. 在
12、ALG 不等式 12 21 12 21 2 ln ln xx xx xx xx + 中，令 * 12 , 1, , x kx k k N =+ 不难得到：12 ln( 1) ln ( ), 21 ( 1) kk k kk + + + 下面探讨用 () 式来证明含有“ ln ” 的数列 不等式. 例 7 （2012 年天津高考理数）证明： * 1 2 ln(2 1) 2( ). 21 n i n nN i = + 2 21 i +* ( 2, ), i iN 22 2 ln ln( 1) ln ln(2 1) 2, 21 nn ii ii n n i = = +得 11 1 ln( 1) ln
13、, 1 nn kk kk k = = + + 即证 11 1 ln( 1) 23 1 n n + + 恒成立. 从而 () n fn 分析 2 1 ln 2 4 nn aa n + 1 1 11 ln 2, 12 4 n n nn n + + + + + 有“ln“, 所以想到 尝试用 () 式将 * 1 ln( 1) ln ,( ) ( 1) k kk N kk + + 放缩， ln( 1) ln kk + 四、求参 数 的取值范 围 求参数范围是高考中的一个难点， 具有较高的综合性， 对学生要求很高， 那么学生如果 能够灵活应用 ALG 不等式， 在考试中如能迅速突破导数难题， 为后面解题和检查准备充足 时间，先让我们关注参数的取值问题： 例 10（ 改编 2012 年湖南 高考题）已知正实数 a 满足不等式 ln 1, aa a 求 a 的值. 分析 ln 1 aa a 1 (ln 1) a aa 恒成立， 形式上比较接近 ALG 不等式， 所以 尝试用 ALG 不等式求解。若 1 a = 时，则原式不等式显然成立；若 1 a 时，当 1 a 时， 则由 ALG 不等式得： 11 , 2 ln ln1 aa a a + 1 , 2 a a + 1 a 矛盾） ； 当 1 a （与矛 1 a 盾） . 综上所述 1. a =
