1、圆与椭圆的一组类比性质杨同伟 西安市昆仑中学 710043类比是科学研究中常用的一种思维方法，是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理. 尽管类比推理只是一个合情推理（即类比得到的结果未必正确） ，但因其具有创造性的特点，而被广泛应用于科学研究之中. 本文拟介绍一组“圆” 与“椭圆”的类比性质，以期抛砖引玉，激发起同学们的创造热情和类比发现意识.命题 1 直线 切 于 且 都存在非零斜率 ，则lOA,T,l,OTlk1.Tlk类比命题 1 直线 切椭圆 于 且 都存在非零斜率 ，则l210,xyab,Ol,OTlk2.OTlbka证明 设切点 则切线 的方程为 ，
2、进而有 又因为 ，所以，0,Txyl021xyab20,lbxkay0OTykx2.OTlbka命题 2 是 的直径， 是 上一点，且 都存在非零斜率 ，则ABOPA,PAB,PABk1.PABk类比命题 2 是椭圆 的直径，且 都存在非零斜率 ，则210,xyab, ,P2.PABbka证明 如图 1，设 ， ,则cos,inAabcos,inPabcos,in.Bab2isin2t,c 2siPAbka ncossi tan,co22PBbbka 2.PABba命题 3 是 的弦， 是 的中点，且 都存在非零斜率 ，则OMAB,OM,ABOMk1.ABOk类比命题 3 是椭圆 的弦， 是
3、的AB210,xyabMAB中点，且 都存在非零斜率 ，则,OM,ABOMk2.ABOka证明 如图 2，过 作椭圆的直径 ，连结 则 ,C,C由上述类比命题 2 可知 2.ABOMABCbkka命题 4 是 的两条弦，直线 相交于点 ，则,D,ABCDP.ABPCD类比命题 4 是椭圆 的两条弦，直线 相交于点 ，且直线, 210,xyab,P的倾斜角互补，则ABC与 .PAB证明 如图 3，设直线 的倾斜角分别为 设点 的坐标为 ， 则弦 AB的参数方程为,CD,P0,xy0cos,in.xty（ t为参数） ，将其代入椭圆的方程，化简得222222000icosin0,batbxaytbxayb由参数 t的几何意义可知， 1222,sixPABt 同理可得 202.cosinbxaybCD又因为 22,sini,cs.PAB上述 4 个类比命题实质上是 “圆的切线垂直于过切点的半径 ”、 “圆的直径对的圆周角为直角” 、 “圆心与非直径的弦的中点的连线垂直于该弦” 、 “圆的相交弦定理、切割线定理”在椭圆中的推广. 有兴趣的同学不妨试一试，看看这些性质能否类似推广到双曲线、抛物线.
