1、四、平面问题有限元法,4.1 平面三角形常应变单元 4.2 四结点矩形单元 4.3 平面高次单元,主要内容：,4.1 平面三角形常应变单元 背景： 杆、梁几何形状规则，受力后变形规则，位移场可用简单函数表示； 形状复杂、边界条件复杂时，很难得到应变及应力场的解析解。,三角形常应变单元特点：对于边界条件适应性强；精度低、网格密,4.1.1位移模式选择 4.1.2 形函数及其性质 4.1.3几何矩阵 4.1.4 应力矩阵 4.1.5 单刚 4.1.6 等效结点荷载 4.1.7 总刚及整体荷载向量的形成 4.1.8 刚度矩阵性质 4.1.9 边界条件处理 4.1.10 方程组求解,4.1.1位移模式
2、选择,位移模式单元内位移的分布函数。 选择位移模式遵循的原则：,4.1.2 形函数及其性质,选择位移模式：,x,y,边界条件：结点位移,代入位移模式,待定系数,其中：,A的伴随矩阵,？,右手准则,注意：单元编号按照逆时针方向进行，否则为负值？,记,其中：,全部为节点坐标函数，可计算出每个代数余子式具体数值,根据位移模式：,同理：,形函数矩阵,形函数性质？ 1、本结点为1，其他结点为0,2、单元内任意点（x,y）形函数之和为1,ij的直线方程：,A32,A33,3、在对边上，形函数值为0,在ij边上，有：,代入m结点形函数：,在ij边上任意点：,?,在ij边上，只要结点位移确定了，则边界上位移具
3、有唯一性。 不同单元之间即不会开裂，也不会重叠协调单元,4、形函数与面积坐标,单元内任意点（x,y）形函数之和为1,4.1.3几何矩阵,4.1.4 应力矩阵,平面应力问题本构方程：,写为矩阵形式,弹性矩阵,平面应变问题本构方程：,弹性矩阵,应力矩阵,4.1.5 单刚,最小势能原理：在外力作用下，弹性体产生变形。变形不是任意产生的，应使整个系统的总势能最低。,三角形常应变单元中，B、D中元素全部为常数,4.1.6 等效结点荷载,有限元基本思路，求解方程组得到基本未知数,结点力等效原则静力等效（虚功相等） 1、结点集中力； 2、单元内集中力的等效； 3、体积力的等效结点力； 4、表面力的等效节点力
4、。,单元内集中力的移置,设在单元内集中力作用下，M点产生虚位移 ；相应单元结点产生虚位移为：,根据虚功相等：,根据三角形单元的位移模式，单元内任意点的位移可以通过结点位移表示：,练习1：,作用于三角形重心上的集中力为：,求等效结点力向量?,体积力的等效结点力,练习2：,三角形单元受重力作用，求i结点等效结点力,表面力的等效结点力,ds,在ij边上，取ds其上分布力的合力当作集中力处理,ps,将此力向结点等效,将此力向结点等效,所有面力等效结点力叠加,练习3：,ij边上作用着均布力 ，求三个结点等效荷载,ij边上任意一点,同理：,根据形函数性质，在ij边上：,练习4：如果某边上分布力呈三角形分布
5、时，等效结点力如何分配？,4.1.7 总刚及整体荷载向量的形成,单元平衡方程：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,将单刚划分成22的子块，按照下标位置送入总刚。,用单刚元素表示出总刚某一元素！,整体荷载向量,每个单元有6个结点荷载，按照结点编码送入总体荷载向量,4.1.8 刚度矩阵性质,1、对称性 2、奇异性 3、正定性4、稀疏、带状,解释?,i,j,i,j,1、对称性,功的互等,2、奇异性,令：,根据互等定理：,行、列线性相关奇异,物理意义：单元（整体结构）在保持平衡的条件下可以有任意刚体位移,3、正定性,意义：使结点产生位移所需要的力在该位移上所作的功恒正,4、稀疏、带状,在总刚中，不相
6、关结点在总刚中对应位置元素为0,半带宽一维存贮技术（只保存包括主对角线元素在内的半个带状区域的数值及地点）： 节省内存、提高计算效率,4.1.9 边界条件处理,一、删行删列法 二、乘大数法 三、置1法,4.1.10 方程组求解,直接解法：,迭代法：,高斯消元法； Choleshy 分解法； 三角分解法； 分块法； 波前法,Jacobi迭代法； Gauss-Sidel迭代； 超松弛迭代,练习5： 如图结构，设板厚为1，结点编号、坐标及承受荷载情况如图所示， （1）请写出整个结构的等效结点荷载向量 （2） ，平面应力问题，写出总刚 （3）如果左侧边界固定，求解结点位移,答案：,（1）,1.0e+0
7、05 *1.3187 0.7143 -0.5495 -0.3846 0 0 -0.7692 -0.3297 0.7143 2.3901 -0.3297 -0.1923 0 0 -0.3846 -2.1978 -0.5495 -0.3297 1.3187 0 -0.7692 -0.3846 0 0.7143 -0.3846 -0.1923 0 2.3901 -0.3297 -2.1978 0.7143 0 0 0 -0.7692 -0.3297 1.3187 0.7143 -0.5495 -0.3846 0 0 -0.3846 -2.1978 0.7143 2.3901 -0.3297 -0.1
8、923 -0.7692 -0.3846 0 0.7143 -0.5495 -0.3297 1.3187 0 -0.3297 -2.1978 0.7143 0 -0.3846 -0.1923 0 2.3901,（2）,（3）,4.2 四结点矩形单元 特点： 1、适用于有正交边界的结构 2、采用的位移模式阶次比三角形常应变单元高，精度高，单元内不是常应变,结点力,结点位移,4.2.1选择位移模式并确定形函数,建立局部坐标系：,令：,局部坐标系下,在局部坐标系下，根据位移模式确定原则：,暂时将结点位移当作已知量，确定待定系数：,为所求位移点坐标（ ）的函数,4.2.2形函数性质,2、单元内任意点,3、单元边界上,协调单元,4.2.3 几何矩阵,注意：其中元素不是常数，即：不是常应变单元，结果精确,4.2.4 应力矩阵,弹性矩阵,平面应力问题,4.2.5 单元刚度矩阵,能量最小原理：,平面问题：,形成结点荷载向量组装总刚引入边界条件求解,4.3 平面高次单元,位移模式？ 形函数？ 几何矩阵？ 应力矩阵？ 单刚？,在三角形三边中点增加三个结点,确定12个待定系数，需要12个方程形函数（繁琐）,如何根据形函数性质直接构造形函数？,在 边上：,构造的形函数应满足：,在 线上：,同理：,
