1、2019/6/13,1,几何形状对称于一根轴线，而且所受载荷和约束也对称于同一根轴，这种弹性体的应力分析称为轴对称空间问题，或轴对称问题。将有限单元法用于轴对称问题，采用圆柱坐标比较方便。,第五章 轴对称空间问题的有限单元法,第一节 概述,2019/6/13,2,2019/6/13,3,2019/6/13,4,一、几何方程对微分线段AB，设A点径向位移为u，则B点的径向位移为 ，于是,第二节 轴对称空间问题的 几何方程和物理方程,2019/6/13,5,2019/6/13,6,对微分线段AC，在A点发生径向位移u以后，它与Z轴的距离为r+u，于是,同理，A点的轴向应变为,剪应变为,2019/6
2、/13,7,于是空间轴对称问题的几何方程，为,写成矩阵形式为,2019/6/13,8,二、物理方程与直角坐标下物理方程的推导相同，对于轴对称空间问题的物理方程可直接写出，即,2019/6/13,9,从上式中解出应力分量，并采用矩阵写法，可得,简写成,2019/6/13,10,这里，弹性矩阵D为,2019/6/13,11,一、单元结点位移和结点力向量考虑任一单元ijm，其每个结点有两个位移分量： 。各结点的位移向量可写成,第三节 三角形截面环形单元分析,相应的结点力向量是,单元的结点位移向量和结点力向量可写成,2019/6/13,12,2019/6/13,13,二、单元位移函数这里仍取线性位移模
3、式，即：,式中 是待定常数。将三个结点的位移和坐标带入上式，解出待定常数，并带回上式，得到,2019/6/13,14,写成矩阵形式为：,其中形函数为：,2019/6/13,15,式中,A等于三角形单元的面积。,2019/6/13,16,三、单元刚度矩阵,将下式,带入几何方程,2019/6/13,17,式中,得到,称为应变矩阵，其子矩阵为:,2019/6/13,18,式中,上两式表明，单元中的应变分量 都是常量；但环向应变 不是常量，其与单元中各点的位置（r，z）有关。,2019/6/13,19,单元应力与单元结点位移的关系式为：,其中,其中，矩阵S称为单元应力矩阵，有：,而子矩阵：,2019/
4、6/13,20,由虚功方程：,由于虚位移 是任意的，从而矩阵 也是任意的，因而有：,把以下两式,带入，有：,2019/6/13,21,式中A表示三角形面积分的域。上式即为三角形截面环形元的单元刚度方程。令,在柱坐标中，轴对称时， ，于是得到,式中，矩阵 称为单元刚度矩阵。,有:,2019/6/13,22,以代替r，z。实践证明：只要划分网格不太稀疏， 这样处理所引起的误差是很小的。于是矩阵B中 的元素变为全都是常量，单元刚度矩阵就近似地 写成：,由于矩阵B中的元素并不全都是常量，所以 不能提到积分号外，使运算变得复杂。并且在对 称轴上的结点处r=0，引起奇异性。为简化积分运算，消除奇异性，可把
5、每个单 元中的r及z近似地当成常量，取单元的形心坐标,2019/6/13,23,式中A为三角形ijm的面积。则单元刚度矩阵为：,其中， 为22阶子矩阵，并且,2019/6/13,24,式中：,2019/6/13,25,作用在环形单元上的体力 ，分布面力 ，集中力 ，应分别移置到单元结点（实际为结圆）上，形成单元的等效结点载荷。这里的等效结点载荷实际是沿整个结圆上均匀分布的。设等效结点载荷列阵为：,第四节 载荷向结点移置,根据静力等效原则，由虚功原理得：,2019/6/13,26,式中，r0 为集中力 Q作用的径向坐标，ds为三角形ijm受面力边的微分长度。把下两式带入,可以得到单元等效结点载荷
6、列阵：,2019/6/13,27,从上式可以看出，等效结点载荷与所选的单元位移模式有关。,2019/6/13,28,一、体积力,式中，I为二阶单位矩阵。而类似平面三角形单元定义面积坐标，有,并且有,以及积分公式,2019/6/13,29,2019/6/13,30,式中，S为沿三角形截面某边的积分变量，l为该边长度。可得：,如体积力仅考虑自重，则R=0，Z=（为弹性体重度），上式变成,利用积分公式算出积分,2019/6/13,31,所以，得等效结点载荷列阵为：,当体积力为离心力时， ， 为角速度，有 ：,2019/6/13,32,由积分公式算出积分：,所以得等效结点载荷列阵为：,2019/6/1
7、3,33,设在环形单元ij边（实际为环表面ij）上受有线性分布的径向表面力。在结点i的集度为 ，在结点i的集度为 ，若ij边长为l，则表面力分量 用面积坐标可表示成 。引入面积坐标，等效结点载荷列阵：,二、分布面力,注意到在ij边上面积坐标 ，则上式可简化为：,2019/6/13,34,带入前式，得到单元的等效结点载荷为：,算出积分：,当 ，即均布径向表面力的情况下，相应的等效结点载荷为：,2019/6/13,35,如果单元离对称轴较远时，则可以认为 、 大致相等，得到单元的等效结点载荷为：,如考虑ij边上任意方向的线性分布力的移置，则可将该分布力分解成r和z两个方向的分量，分别求得等效结点载
8、荷列阵，再进行相加，即得到总的等效结点载荷列阵。,即，将表面的一半移置到结点i，一半移置到结点j。,2019/6/13,36,设单元边界 上的b点作用有集中力 ，相应的等效结点载荷为：,三、集中力,令作用点b至j点距离为 ，至m点距离为 ，边长为l，则 ，带入上式，即得集中力 移置到三结点上的等效载荷列阵,显然，与作用在单元边界线上的集中力相应的等效结点载荷按杠杆原理将力分配到边界线两结点上。,2019/6/13,37,一、结构的整体分析和平面问题的有限元分析一样，轴对称空间问题的整体分析的目的也是形成整个结构的结点位移方程组，即结构的总刚度方程：其中，K为结构的总刚度矩阵；为结构的结点位移列
9、阵 ，即R为结构载荷列阵，即,第五节 整体分析,2019/6/13,38,R中所包含的结点载荷分量也是沿单元结圆整圈分布的。在形成诸结点平衡方程时，应该是取沿结圆作用的外载荷的总量。为直接作用于结圆单位长度上的载荷向量。总刚度方程的形成原理仍然是在各结点的平衡方程中，带入相关单元的单元刚度方程中的由结点位移表示的结点力。因而仍然是在计算出各单元刚度矩阵后，用直接刚度法形成总刚度矩阵。,2019/6/13,39,在工程实际中，由于结构的几何形状和受力情况的复杂性，一般很难把它们简化为平面问题或轴对称空间问题进行有限元分析。一般说来应该属于弹性力学一般空间问题的范畴。在此对弹性力学一般空间问题的有
10、限元法的最基本的概念，结合最简单的四面体单元进行说明。,第六节 一般空间问题有限单元法概念,2019/6/13,40,一、单元刚度矩阵从离散体系中取出任一单元ijmp，其结点位移和结点力向量分别为：,2019/6/13,41,单元结点位移和单元结点力向量相应为：,1选取单元位移函数空间四面体单元，每个结点有三个位移分量，共12个自由度，可取线性位移模式，即,2019/6/13,42,上式的第一式在i，j，m，p四个结点处分别有：,由上四式解出 后再代回，即得,其中，形函数,2019/6/13,43,V为四面体ijmp的体积，它和系数 按下式计算：,2019/6/13,44,为使V不致为负值，单
11、元四个顶点的标号 必须依照一定的顺序：在右手坐标系中，应使得右手螺旋按照i，j，m的转向转动时是向p的方向前进。同样可得,所以，单元位移函数可用结点位移表示如下：,2019/6/13,45,其中，I33阶的单位矩阵。由于单元位移函数的线性性质，就保证了位移在单元内和单元之间的连续性。,2单元刚度矩阵将位移表达式带入几何方程，得单元应变,式中，应变矩阵,并且子矩阵,2019/6/13,46,而子矩阵,由于B中的元素皆为常量，所以称为常应变四面体单元。,将单元应变和位移的关系式带入物理方程，得到用单元结点位移表示的单元应力,其中，应力矩阵,2019/6/13,47,显然，在每一单元中，应力也是常量
12、。,2019/6/13,48,由虚功方程推得单元刚度矩阵为：,由于矩阵B中的元素都为常量，同时 ，则单元刚度矩阵,单元刚度矩阵的分块形式为,2019/6/13,49,其中子矩阵为：,而且常数,2019/6/13,50,二、载荷向结点移置当单元上受到非结点载荷作用时，则同样应将它们用等效结点载荷代替。与前一章的推导相似，可建立单元等效结点载荷的普遍公式。如果仍用：,表示单元等效结点载荷列阵，则仍然有,式中， 为作用于点 的集 中力向量； 为作用于单元的分布体力向量； 是 作用于单元某一边界面上的分布面力。利用求得的各单元的刚度矩阵，由直接刚度法组 集总刚度矩阵；形成载荷列阵，建立总刚度方程。这 些都与前述完全相似，不再赘述。,
