1、问题1：,性能指标：,3.1 末端约束时的离散极小值原理,其中， 固定， 末端状态 和 都是其自变量的连续可微函数； ，其约束 ， 为容许控制域。末端状态受下列目标集约束： 。 式中 且连续可微， 。若： 是使性能指标为极小的最优控制序列， 为相应的最优轨线序列，则必存在 维非零常向量 和 维向量序列 ，使得最优解满足如下必要条件：,问题的解法：,（1）构造哈密顿（Hamilton）函数,（2）列方程,状态方程：,控制方程：,（3）解上述方程构成的方程组。,协态方程：,（4）积分常数确定,若u(k)无约束时的极值条件,极值条件的证明,证明：引入拉格朗日乘子 和,令离散哈密顿函数,（1）,把（2
2、）代入（1）得,（3）,（2）,因为“离散部分积分”,（4）,所以，离散广义泛函可写为：,对上式取一次变分，考虑到 可得：,令 ，考虑到变分 和 是任意的，可得：,对于：,当 不受约束时， 是任意的，故必有,当 时，不加证明得：,（5）,（7）,（6）,3.2 末端自由时的离散极小值原理,末端自由 指末端状态自由；末端时刻固定或自由。,问题1：,其中: 固定，末端状态 自由，其余同上节定理. 若： 是性能指标为极小的最优控制序列， 为相应的最优轨线序列，则必存在 维向量序列 ，使得最优解满足如下必要条件：,性能指标：,问题的解法：,（1）构造离散哈密顿（Hamilton）函数：,（2）列方程：状态方程：,协态方程：,控制方程：,（控制变量不受约束时的极值条件）,（3）解上述方程构成的方程组。,（4）积分常数及末端时刻的确定。,相关条件为：,例：设离散系统方程为：,已知边界条件为：,使用离散极小值原理求最优控制序列，使性能指标,取极小值，并求出最优轨线序列。,解：本例为控制无约束，N固定，末端固定的离散最优控制问题，,1）构造哈密顿函数已知边界条件为：,2）列方程,协态方程：,极值条件：,故：,令：,可使H(k)=min.,得,将 表达式代入状态方程，可得,令k分别等于0和1，有,不难解出最优解：,末端约束离散系统与连续系统的区别,末端自由离散系统与连续系统的区别,注意：,
