1、排列组合问题 1 1高 2011 级第一轮排列组合与二项式讲义一、“解排列、组合应用问题”的思维方法 考点 1 考查两个原理直接应用例 1 某城市的中心广场建造一个花圃，分为 6 个部分（如图）。现要种植 4 种不同色的花，每部分种一种且相邻部分不能种同样色的花，不同的种植方法有 考点 2 考查特殊元素优先考虑问题例 2 从 1，2，3，5，7，中任取 2 个数字，从 0，2，4，6，8 中任取 2 个数字，组成没有重担数字的四位数，其中通报被 5 整除的四位数共有 个。用数字作答）考点 3 考查相邻排列计算问题例 2 有 件不同的产品排成一排，若其中 A、B 两件不同的产品排在一起的排法有N
2、n48 种，则 考点 4 考查互不相邻排列计算问题例 4 有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 个就座，规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）(A) 234 (B) 346 (C)350 (D) 363考点 5 考查排列组合混合计算问题例 5 将 4 名教师分配到 3 种中学任教，每所中学到少 1 名教师，则不同的分配方案共有（ ）种（A）12 （B） 24 （C）36 （D）48考点 6 考查定序排列计算问题例 6 由数字 0、1、2、3、4、5、组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）个（A） 2
3、10 （）300 （C）464 （D）600考点 7 考查等价转化计算问题例 7 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）个（）56 （B）52 （C）48 （D）40例 8 四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（ ）种（A） 150 （）147 （C）144 （D）141考点 8 考查二项展开式指定项求法例 9 已知 的展开式中各项系数的和是 128,则展开式中 的系数是 .nx312 5x考点 9 考查二项展开式系数和求法例 10 若 ,则204 )(20421 Rxaxa.3010a考点 10 考查三项展开式指
4、定项求法排列组合问题 2 2例 11 在 的展开式中 x 的系数为（ ）532x（A）160 （B）240 （C）360 D800考点 11 考查二项式定理与近似估值问题例 12 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03 年某地区农民人均收入为 3150 元（其中工资源共享性收入为 1800 元，其它收入为 1350 元），预计该地区自 04 年起的 5 年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加 160 元。根据以上数据，08 年该地区人均收入介于（ ）（A）4200 元4400 元 （B）4400 元4460 元（C） 4460 元4800 元 （D）48
5、00 元5000 元解排列组合应用题的 21 种策略1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1. 五人并排站成一排，如果 必须相邻且 在 的右边，那么不同的排法种,BDE,ABA数有（ ）A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种3.定序问题缩倍法:在排列问题中
6、限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3. 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边（ 可以不相邻）那么不同,CDEBA,B的排法种数是（ ）A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法
7、.例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种（2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有（ ）A、 种 B、 种 C、 种 D、 种4128C4128343128A41283CA6.全员分配问题分组法:例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A、4
8、80 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种排列组合问题 3 37.名额分配问题隔板法:例 7：10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例 9（1）由数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A、210 种 B、300
9、 种 C、464 种 D、600 种（2）从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？（3）从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.()()()nABnAB例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例 11
10、.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例 12.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种（2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 14.（1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，
11、则恰有一个空盒的放法有多少种？15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例 15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A、70 种 B、64 种 C、58 种 D、52 种（2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（ ）A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，排列组合问题 4 4可逐一安排元素的位置，一般地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法.nmnm例 17.把 6
12、 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？18.复杂排列组合问题构造模型法:例 18.马路上有编号为 1，2，3，9 九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例 19.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入5 个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例 20.（1）30030 能被多少个不同偶数整除？21.利用对应思想转
13、化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例 21.（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？排列组合应用题的类型及解题策略一处理排列组合应用题的一般步骤为：明确要完成的是一件什么事（审题） 有序还是无序 分步还是分类。二处理排列组合应用题的规律（1） 两种思路：直接法，间接法。（2） 两种途径：元素分析法，位置分析法。解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。特殊优先法: 奎 屯王 新 敞新 疆对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元
14、素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例 1电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.三基本题型及方法： 1相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例 2、6 名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（）种。A）720 B）360 C）240 D）120（2）、全不相邻问题，插空法例 3、要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，例 4 高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演
15、出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D ）5040（3）不全相邻排除法，排除处理例 5五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？ 例 6有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是2、顺序一定，除法处理或分类法。排列组合问题 5 5例 7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有 3 面红旗、2 面白旗，把 5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。例 8某工程队有 6 项工程需要单
16、独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 项工程的不同排法种数是 。（用数字作答）例 9、由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的 6 位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ）A）210 个 B）300 个 C）464 个 D）600 个4、多元问题，分类法例 10某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种例 11：设集合 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数大于
17、A 中1,235I最大的数，则不同的选择方法共有 A B C 0种 49种 48种D 47种例 12 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）A10 种 B20 种 C36 种 D 52 种5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。例 13、从 6 名运动员中选出 4 名参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？例 14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。（1）若第一节不排体育，下午第一
18、节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？例 15、同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）A）6 种 B）9 种 C）11 种 D）23 种例 16、安排 5 名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 。6、多排问题，单排法例 17、两排座位，第一排有 3 个座位，第二排有 5 个座位，若 8 名学生入座（每人一座位），则不同的座法为A） B） C） D）5
19、38C15328AC35A8A7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）例 18从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人，分别从事三项不同的工作，若这 3 人中至少有 1名女生，则选派方案共有（A）108 种 （B）186 种 （C）216 种 （D）270 种排列组合问题 6 6例 19 5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排法有_种.(以数作答) 例 20将 5 名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有
20、（A）种 （B）种 （C）种 （D）种8、部分符合条件淘汰法例 21四面体的顶点各棱中点共有 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有 （ ） A）150 种 B）147 种 C）144 种 D）141 种9分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例 22。有 9 个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？练习：12 个学生平均分成 3 组，参加制作航空模型活动，3 个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？分配问题： 定额分配，组合处理； 随机分配，先组后排。例 23。有 9 本
21、不同的书：（1）分给甲 2 本，乙 3 本，丙 4 本；（2）分给三个人，分别得2 本，3 本，4 本。上述问题各有多少种不同的分法？例 24：对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第 5 次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?练习：1。3 名教师分配到 6 个班里，各人教不同的班级，若每人教 2 个班，有多少种分配方法？2将 10 本不同的专著分成 3 本，3 本，3 本和 1 本，分别交给 4 位学者阅读，问有多少种不同的分法？ 例 25 某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过
22、2个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种10隔板法：隔板法及其应用技巧 在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：例 26。求方程 x+y+z=10 的正整数解的个数。(即：10 个相同的小球分给三人，每人至少 1个，有多少种方法？)技巧一：添加球数用隔板法。例 27求方程 x+y+z=10 的非负整数解的个数。排列组合问题 7 7技巧二：减少球数用隔板法。例 28将 20 个相同的小球放入编号分别为 1，2，3，4 的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总
23、数。技巧三：先后插入用隔板法。例 29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有 4 个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添 2 个小品节目，则不同的排列方法有多少种？11数字问题（组成无重复数字的整数） 能被 2 整除的数的特征：末位数是偶数；不能被 2 整除的数的特征：末位数是奇数。能被 3 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数；能被 9 整除的数的特征：各位数字之和是 9 的倍数。 能被 4 整除的数的特征：末两位是 4 的倍数。 能被 5 整除的数的特征：末位数是 0 或 5。 能被 25 整除的数的特征：末两位数是 25，50，75。 能
24、被 6 整除的数的特征：各位数字之和是 3 的倍数的偶数。例 30 在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有1,24（A）36 个 （B）24 个 （C）18 个 （D）6 个例 31。用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1，2 相邻的偶数有 个（用数字作答）12分球入盒问题例 32：将 5 个小球放到 3 个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空小球不同，盒子不同，盒子可空 小球不同，盒子相同，盒子不空小球不同，盒子相同，盒子可空小球相同，盒子不同，盒子不空小球相同，盒子不同，盒子可空小球相同，盒子相
25、同，盒子不空小球相同，盒子相同，盒子可空例 33、有 4 个不同的小球，放入 4 个不同的盒子内，球全部放入盒子内（1）共有几种放法？（2）恰有 1 个空盒，有几种放法？（3）恰有 1 个盒子内有 2 个球，有几种放法？（4）恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？例谈立体几何中的排列组合概率问题一、共面问题：分类讨论例 1. 不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有（ ）A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 7 个排列组合问题 8 8图 1例 2. 在四棱锥 PABCD 中，顶点为 P，从其他的顶点和各棱的中点中取 3 个，使它们和点P 在同一平面上，不同的取法有（）种。
26、A. 40 B. 48 C. 56 D. 62图 2二、异面问题：灵活转化例 3. 过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有（ ）A. 18 对 B. 24 对 C. 30 对 D. 36 对例 4. 四棱锥的 8 条棱分别代表 8 种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是安全的。现有编号为的四个仓库，用来存放这 8 种化工产品，则安全存放的不同方法总数为（）A. 96 B. 48 C. 24 D. 0图 3三、综合问题：化整为零，各个击破例 5. 以平行六面体 的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出 2 个三角形，则这 2 个三角形不共面的概率 P 为（）A. B. C. D. （5）从 56 个三角形中任取 2 个三角形不共面的概率 P 等于多少？
