1、数学模型 实验报告实验名称：如何预报人口的增长 成绩：_实 验 日 期 ： 2009 年 4 月 22 日实验报告日期： 2009 年 4 月 26 日一、实验目的预报人口的增长变化规律,作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。二、实验内容根据统计资料得出的人口增长率不变的假设，建立人口指数增长模型。利用微积分数学工具视 x(t)为连续 可微函数， 记 t=0 时人口为 x0,人口增长率为常数 r, 变有 dx/dt=rx,x(0)=x0,解出 x(t)=x0*exp(rt)。 三、实验环境MATLAB6.5四、实验步骤为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将 x(t
2、)=x0*exp(rt)两边取对数可得lnx(t)=lnx0*exp(rt),lnx(t)=lnx0+rt,另 y=lnx(t),a= lnx0,所以可得 y= rt+a。根据所提供的数据用 MATLAB 函数 p=polyfit（t,x,1）拟合一次多项式，然后用画图函数 plot(t,x,+,t,x0*exp(rt),-),画出实际数据与计算结果之间的图形，看结果如何。利用 1790-1900 年的数据进行试验，程序如下：t=linspace(0,11,12);x=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0;p=polyf
3、it(t,log(x),1);r=p(1)x0=exp(p(2)plot(t,x,+,t,x0*exp(r*t),-)利用 1790-2000 年的数据进行试验，程序如下：t=linspace(0,21,22);x=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4;p=polyfit(t,log(x),1);r=p(1)x0=exp(p(2)plot(t,x,+,t,x0*exp(r*t),-)五、实验结果以 179
4、0 年至 1900 年的数据拟合 y= rt+a，用软件计算可得 r=0.2743/10 年,x0=4.1884，下图为拟合的图象:以 1790 年至 2000 年的数据拟合 y= rt+a，用软件计算可得 r=0.2022/10 年，x0=6.0450,下 图为拟合的图 象:六、实验讨论、结论从图形 1 中可知，此模型基本上能够描述十九世纪以前美国人口的增长，因为+号基本上都在线上，说明拟合成功。从图形 2 中可知，进入了 20 世纪以后，美国人口增长明显变慢， +号和曲线偏离很远，说明此模型已不在适用。 对未来预报人口有很重要的作用，比如采取措施来实行计划生育等有关问题。七、 参考资料马尔萨斯 美国一百多年的人口统计资料：年 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4年 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940人口 38.6 502. 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7年 1950 1960 1970 1980 1990 2000人口 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
