1、第五章 IIR数字滤波器的设计,1 数字滤波类型与指标,滤波的目的, 为了抑制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例。 广义滤波包括对信号的检测与参量的估计。 信号的检测：确定在干扰背景中信号是否存在。 信号参量的估计：为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值。,滤波技术, 滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数。 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的。,数字滤波器,数字滤波类型与指标,数字滤波器（DF）的频率特性,具有某种特定频率特性的线性时不变系统。广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器（简
2、称DF）。设计数字滤波器的任务就是寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性。,幅度特性,数字滤波类型与指标,相位特性,DF按频率特性的分类,DF可分为低通、高通、带通、带阻和全通,理想滤波器的频率响应,数字滤波类型与指标,DF的幅度特性性能要求（低通为例）,数字滤波类型与指标,0,数字滤波类型与指标,DF的相位特性性能要求,数字滤波器设计的基本问题,数字滤波类型与指标,数字滤波器,以上两类数字滤波器，由于它们的系统函数不同，相应的设计方法亦不同。但无论哪种数字滤波器，设计过程一般包括以下三个基本问题： 根据实际要求确定滤波器性能指标； 用一个因果稳定的系统函数去
3、逼近这个指标； 用一个有限精度的运算去实现这个传输函数。 问题、与实际的要求及实现的硬件条件有关，本章主要讨论问题，即：系统函数的设计(或逼近)问题。,设计IIR数字滤波器的几种方法,数字滤波类型与指标,设计IIR数字滤波器通常采用以下三种方法： 方法一：利用模拟滤波器的理论来设计,首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它 “ 变换 ” 成满足给定指标的数字滤波器。 这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等。,数字滤波类型与指标,当把模拟滤波器的H(s) “ 变换 ” 成数字滤波器的H(z) 时，其实质就是实现S平面向Z平面的 “ 映射 ” 。这必须满足两个条件：
4、 必须保证模拟频率映射为数字频率，且保证两者的频率特性基本一致。即：要求变换后代表S平面的虚轴j应映射到Z平面的单位圆且数字滤波器的频率响应和模拟滤波器频率响应的形状应基本保持不变； 因果稳定的模拟滤波器系统函数H(s)转换成数字滤波器传输函数H(z)后，仍然是因果稳定的。即：要求S平面左半平面的极点必须映射到Z平面的单位圆内。,实现 “ 映射 ” 的两种常用的方法： 脉冲响应不变法：从时域的角度出发进行映射 双线性变换法：从频域角度出发进行映射,2 模拟滤波器的设计,模拟滤波器设计中的基本概念,由于IIR数字滤波器的设计是基于现有的模拟滤波器设计的成熟技术而完成的。故讨论 “ IIR数字滤波
5、器的设计 ”之前，必须介绍模拟滤波器设计的一些基本概念，并介绍两种常用的模拟滤波器的设计方法 ：巴特沃思(Butterworth)滤波器和切比雪夫(Chebyshev)滤波器。,1、模拟滤波器的频率特性与衰减特性,设模拟滤波器的系统函数为：,工程上，滤波器的幅度特性所给定的指标通常是通带和阻带的衰减。（常用反映功率增益的幅度平方函数或模平方函数来表示）即：,当要求滤波器具有线性相位特性（延时为常数）时，滤波器的频率特性为：,模拟滤波器的设计,2、归一化与频率变换,频率变换：从归一化低通原型滤波器到高通、带通、带阻等其它类型的滤波器的变换方法。,在设计模拟滤波器时，为使设计结果具有普遍性以及计算
6、方便，常采用归一化参数。,归一化包含： 电路参数归一化：将系统中无源元件的阻抗或运算阻抗分别除以基准电阻(系统的负载电阻值)； 频率归一化：将所有的频率都除以基准频率（滤波器的截止频率）。计算实际电路参数时应要将归一化频率乘以截止频率，进行反归一化。,模拟滤波器的设计,3、由模平方函数 求模拟滤波器的系统函数H(s),由实函数的傅立叶变换的共轭对称性知：,模拟滤波器的设计,4、逼近问题,寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性。,模拟滤波器的设计,有关模拟滤波器的几个重要公式：,巴特沃思Butterworth低通滤波器,模拟滤波器的设计,BW滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数，BW的低通模
7、平方函数为：,指定 、 后，带 到上式，得：,1、基本性质,阶数,指定 、 后，带 到上式，得：,模拟滤波器的设计,说明：,模拟滤波器的设计,归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性,模拟滤波器的设计,2、设计过程, 按给定的通、阻带指标恰当地选择滤波器的阶次N,模拟滤波器的设计, 从模平方函数求系统函数H(s), 求得极点,下图给出的是按以上公式所求得的N=3和N=4时的极点发布图：,关于极点的讨论,模拟滤波器的设计, 系统函数的构成,有关“系统函数构成”的典型例题,例：设计一巴特沃思滤波器，使其满足以下指标: 通带边频 =100krad/s, 通带的最大衰减为 = 3dB，阻带边频为 =400k
8、 rad/s,阻带的最小衰减为 =35dB。,解:由于通带边频就是3dB 截止频率，即,确定阶次N：,求左半平面的极点:,模拟滤波器的设计, 一般N阶归一化巴特沃思滤波器系统函数 表示,上式中 是 时的极点（分布在单位圆上）；分母一般称为巴特沃思多项式，其系数可通过查附表1求得。,【附表1】：巴特沃思多项式系数表,【附表2】：巴特沃思多项式因式分解,模拟滤波器的设计,巴特沃思模拟滤波器的设计总结, 上述归一化公式和表格是相对3dB 截止频率 给出的。由指定的技术指标 ，利用上述公式和表格进行设计时，最关键的2个参数是滤波器的节数N和3dB 截止频率 。 N用来求巴特沃思多项式， 用来反归一化，
9、求实际滤波器的参数。,3 设计IIR滤波器的脉冲响应不变法,脉冲响应不变法设计的基本原理和方法,1、基本原理,从时域响应出发，使求得的数字滤波器的单位脉冲响应h(n)等于模拟滤波器的单位冲激响应h(t)的抽样值。,若 已知，则：,2、方法, 将H(s)进行部分分式展开：, 对H(s)进行拉氏反变换：,设计IIR滤波器的脉冲响应不变法, 由 获得：, 对 取 变换得：,脉冲响应不变法设计的滤波器的频率响应,设原模拟滤波器的频率响应为 。 h(n)是h(t)的等间隔抽样，根据抽样定理，序列h(n)的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓。即：,设计IIR滤波器的脉冲响应不变法,注意：高通和带阻滤波器不能满
10、足以上的要求，将会产生混叠。脉冲响应不变法不适合用来设计高通和带阻数字滤波器。,几点修正, 消去T的影响,设计IIR滤波器的脉冲响应不变法,数字频率响应与模拟频率响应的主要差别：具有一个乘法因子(1/T)= fS。当采样频率fS很高时，将会使滤波器的增益很大，这往往是不希望的。为此可对 作如下修正：, 直接用数字频率表示的求H(z)的公式,实际滤波器设计中，为使设计公式及有关参数表格化（使之更通用），做到只要知道滤波器的阶数，就可直接查出低通原型的系统函数。因模拟滤波器系统函数的表格大都是归一化低通原型 ，其滤波器3dB点截止频率都归一化在,设计IIR滤波器的脉冲响应不变法,当滤波器的实际截止
11、频率不等于1时，须进行反归一化：以 代替 中的 s 。即实际低通滤波器的系统函数H(s)应为:,典 型 例 题,解：,分三步设计所要求的数字低通滤波器：, 查“巴特沃斯数字低通滤波器原型表”，得系统函数：,典 型 例 题, 部分分式展开并求Ak ：,4 设计IIR滤波器的双线性变换法,设计思想,1、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频域的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器。,原因：从S平面到Z平面的映射是多值映射关系,脉冲响应不变法的映射过程图示,设计IIR滤波器的双线性变换法,2、双线性变换法的改进
12、： 为避免频率的“混叠效应” ，分两步完成S平面到Z平面的映射。 将S平面压缩到某一中介的S1平面的一条横带域 ； 通过标准的变换将此横带域映射到整个Z平面上去。,双线性变换的映射过程图示,设计IIR滤波器的双线性变换法,3、双线性变换法的基本思路： 从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 ，逼近模拟滤波器的频率响应 ,进而求得H(z)。,“双线性变换法”设计方法,设计IIR滤波器的双线性变换法, 通过Z变换： 将1映射到Z平面的单位圆上。, 通过正切变换：将S平面的j轴压缩到S1平面的j1轴上的 内。, 将正切变换延拓到整个S平面，得到S平面到S1平面的映射关系：,设计IIR滤波器的双线
13、性变换法, 将S1平面按 映射到Z平面得到：,设计IIR滤波器的双线性变换法,双线性变换的频率对应关系,双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。,频率预畸变,设计IIR滤波器的双线性变换法,为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟 低通滤波器系统函数之前必须按式 进行 频率预畸变；然后将预畸变后的频率代入归一化低通原 型Ha(s) 确定 ；最后求得数字系统 函数：,用双线性变换法设计IIR滤波器的过程总结,典 型 例 题,解：, 进行频率预畸变，求 。,典 型 例 题, 查表得3阶巴特沃斯低通滤波器原型的系统函数。,典 型 例 题,
14、 用双线性变换式求得H(z) 。,滤波器的幅度响应与相位响应,5 设计IIR数字滤波器的频率变换法,频率变换的两种基本方法,法一：从归一化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进行双线性变换，由S域变换到Z域，而得到所需类型的数字滤波器。,法二：先进行双线性变换，将模拟低通原型滤波器变换成数字低通滤波器；然后在Z域内经数字频率变换为所需类型的数字滤波器。,又称为 “模拟域频率变换法”,又称为 “数字域频率变换法”,设计IIR数字滤波器的频率变换法,模拟域频率变换法,1、归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换,设归一化模拟低通原型滤波器的系统函数为 ， p为
15、模拟域内的拉氏变量 。,反归一化。即以 带入上式，得到反归一化后的高通滤波器的传输函数H(s)。,双线性变换，得数字高通滤波器的系统函数H(z)。,在模拟域内从低通到高通变换：即以 p-1代替 p。,设计IIR数字滤波器的频率变换法,典型例题,例1：设计一个 3 阶巴特沃思型数字高通滤波器，3dB数字截频为0.2弧度，求滤波器的系统函数。,解：, 3阶巴特沃思型归一化模拟低通原型的系统函数为：,典 型 例 题,典 型 例 题,例2：设计一个巴特沃思型数字高通滤波器，3dB数字截频为 0.2弧度，阻带下边频 0.05弧度，阻带衰减 As48dB，求数字滤波器的系统函数。,解：, 频率预畸变求模拟
16、低通的截频 和阻带下边频,典 型 例 题, 利用直接变换关系求数字滤波器的系统函数H(z), 查表得N=4时巴特沃思低通原型滤波器的系统函数, 所设计的高通滤波器的幅度特性与相位特性图示,设计IIR数字滤波器的频率变换法,2、归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频率变换,方法：直接寻求从模拟低通到数字带通之间的映射关系,：模拟的阻带下边频,设计IIR数字滤波器的频率变换法,满足以上映射关系为：,设计IIR数字滤波器的频率变换法,模拟低通与数字带通的频率变换关系：,当 时，反归一化处理：,典 型 例 题,例: 设计一个3阶巴特沃思数字带通滤波器，并求阻带的最小衰减。 设计指标：对模拟信号滤波，下
17、上边带的3dB截止频率为 =12.5kHz， =37.5kHz，阻带边频 = 45.125 kHz,采样频率为 =100kHz。,解:, 确定数字中心频率, 确定上下边带的3dB数字截止频率及上阻带下边频,典 型 例 题, 求模拟低通截止频率和阻带下边频, 求 。当 时,3 阶巴氏低通滤波器的传输函数为:, 求H(z)。将 代入上式得：,典 型 例 题, 带通滤波器的幅度响应与相位响应,设计IIR数字滤波器的频率变换法,数字域频率变换法, 由于 是 z -1 的有理函数，为了保证变换后的 也是Z -1的有理函数，要求变换函数 必须是 Z -1 的有理函数。,设计IIR数字滤波器的频率变换法,设
18、计IIR数字滤波器的频率变换法,1、数字低通 数字低通,设计IIR数字滤波器的频率变换法,2、数字低通 数字高通,3、数字低通 数字带通,设计IIR数字滤波器的频率变换法,3、数字低通 数字带阻,6 数字陷波器设计,基本概念,也被称为点阻滤波器。它是一种特殊的带阻滤波器，其阻带在理想情况下只有一个频率点；主要用于消除某个特殊的频率干扰（例如在各种测量仪器和数据采集系统中用于消除电源干扰的工频陷波器）；一般为IIR滤波器。,设计方法 双线性变换法 零极点累试法,陷波器的频率特性,数字陷波器设计,设信号为 ，其中 为干扰频率,需要将其滤掉 ，则要求滤波器的传输函数为:,数字陷波器的频率响应,利用双线性变换设计数字陷波器,数字陷波器设计,为3dB带宽,用双线性变换，可得二阶数字陷波器传输函数为：,数字陷波器设计,
