1、1,数字信号处理多媒体教学系统版权所有：yuning2003。3 第2版,第 3 章 离散傅氏变换DFT ( 2 ),数字信号处理,2,3.1 离散傅氏级数(DFS)和离散傅氏变换（DFT）的导出,3.1.1 周期序列的离散傅氏级数(DFS),3,定义周期序列的傅氏变换：,4,5,说明 （1）有限长序列的DFT为N点有限长离散频谱。,（2）有限长序列DFT与周期与N点的周期序列的DFS主值序列相同。,（3）如果把有限长序列x(n)通过补另加长为N1N点，则可以得到N1点离散频谱。,3.1.2离散傅氏变换DFT的定义及用途,1、离散傅氏变换DFT的定义,6,2、一般模拟信号的DFT处理过程,离散
2、傅氏变换虽然适合于在计算机上计算实现，但它是针对有限长离散信号（或离散周期信号）定义的。对于一般的连续非周期信号x(t)，如何使用DFT计算频谱？解决了这一问题DFT才具有实际意义。,说明： 假定所处理的信号满足采样定理。如果信号不满足采样定理在采样前要进行抗混叠滤波，使它成为满足采样定理的有限带宽信号。,7,（1）采样：,时域离散化，频域周期化。,8,（2）截断：,时间序列x(n)被截断为有限长；周期频谱产生折积波纹。（此过程会产生泄漏误差，可以采取窗函数修正减小泄漏误差）,9,（3）时域周期化：,时间序列周期化，周期频谱离散化。（DFS）（频域采样，栅栏效应，频率分辨率F）,10,（4）取
3、主值区域计算：,有限长时间序列（N点），有限长离散频谱（N点）。计算DFT。,11,结 论,对于一般连续信号通过采样、截断、周期化和主值计算的处理，可以使用DFT计算其频谱。处理过程中，可能产生混叠误差、泄漏误差和频谱采样栅栏效应。但只要采取适当的方法，可以在满足一定的精度要求之下，用DFT计算结果作为原连续信号频谱。,混叠误差处理：抗混叠滤波；提高采样频率。,泄漏误差处理：截断窗函数的修正。,频谱采样栅栏效应：使频谱的频率分辨率满足分析要求（频率分辨率 F=1/NT），截断数据长度N的选定，即连续信号分析时间为tp=NT。,12,3.2 DFT的性质,1、对称性：定义：,旋转因子的性质：,1
4、3,（1）、当x(n)为实序列：,14,当x(n)为偶对称实序列x(n)=x(N-n)：,（2）、当x(n)为复数序列：,（3）、反变换第二形式：,15,2、线性特性,3、平移特性,4、调制特性,16,5、序列加长后的频谱,结论：频谱不变，但分辨率提高r倍。（频谱rN点）,如果序列作周期性延长r倍，频谱会如何变化？（课后练习）,17,数字信号处理多媒体教学系统版权所有：yuning2003。3 第2版,3.3 序列Z变换和DFT的关系,3.3.1 Z变换在单位圆上的取样：,结论：有限长序列x(n) n=0N-1的DFT X(k)等于序列的Z变换X(z)在单位圆上的等距离取样值。(相邻点相位角间
5、隔为 ）,18,3.3.2 Z变换的内插表示：,结论：有限长序列x(n) n=0N-1的Z变换X(z)在任意z点的值可以由其DFT X(k)通过以上插值公式求得。,19,3.4 线性卷积的DFT计算,定义周期序列的卷积：(称为圆周卷积),3.4.1 圆周卷积：,周期序列的圆周表示：当序列x(n)为周期序列时，可以将序列元素按反时针方向顺序排列在N等分的圆周上。序列时移m，是将序列在圆周上顺时针旋转m个位置。,1、 圆周卷积定义：,20,2、圆周卷积与DFT,根据DFS定义可以证明：,在主周期可以用DFT计算DFS。,21,3.4.2 循环卷积,1、 定义：,22,2、 循环卷积的性质：,23,数字信号处理多媒体教学系统版权所有：yuning2003。3 第2版,24,3、 循环卷积的矩阵计算方法：,循环卷积的计算方法除了前面介绍的同心圆周图型法外，还可以用解析式的矩阵计算方法。,25,3.4.2 线性卷积与循环卷积,3.4.3 DFT与线性卷积：,26,数字信号处理多媒体教学系统版权所有：yuning2003。3 第2版,27,数字信号处理多媒体教学系统版权所有：yuning2003。3 第2版,数字信号处理,结 束,
