1、2017 年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1i 为虚数单位，则 i+i2+i3+i4=（ ）A0 Bi C2i D i2已知集合 A=x|x2x+4x +12，B=x|2 x18，则 A（ RB）=（ ）Ax |x4 Bx|x 4 Cx|x2 Dx|x 2 或 x43已知函数 f（x）= ，则函数 f（x）的值域为（ ）A 1，+） B （1，+） C ，+） DR4下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（ ）A图 1 B图 2 C图 3 D图 45公元 263 年
2、左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 ，刘徽称这个方法为“ 割圆术”，并且把“ 割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”下图是根据刘徽的“ 割圆术” 思想设计的一个程序框图若运行该程序，则输出的 n 的值为：（参考数据： 1.732 ，sin150.2588，sin7.50.1305） （ ）A48 B36 C30 D246将函数 f（x）=cos2xsin2x 的图象向左平移 个单位后得到函数 F（x ）的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数 F（x）是奇函数，最小值是B函数 F（x）是偶函数，最小值是C函数
3、F（x）是奇函数，最小值是 2D函数 F（x）是偶函数，最小值是 27某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D8二项式（ ） 10 的展开式中， 项的系数是（ ）A B C15 D 159据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数 X（单位：万）服从正态分布 XN（6，0.8 2） ，则日接送人数在 6 万到 6.8 万之间的概率为（ ）（P（| X|）=0.6826，P （|X|2）=0.9544 ，P （|X|3）=0.9974）A0.6826 B0.9544 C0.9974 D0.341310球面上有 A，B，C 三点，球心 O 到平面 ABC 的距离是球半径
4、的 ，且AB=2 ，ACBC ，则球 O 的表面积是（ ）A81 B9 C D11设 F1、F 2 是双曲线 C： =1（a0，b 0）的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF 1|+|PF2|=6a，且PF 1F2 最小内角的大小为 30，则双曲线 C 的渐近线方程是（ ）A xy=0 Bx y=0 Cx2y=0 D2xy=012已知函数 f（x ）= k（ +lnx） ，若 x=2 是函数 f（x）的唯一一个极值点，则实数 k 的取值范围为（ ）A （ ，e B0，e C （ ，e） D0，e）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）.13已知实数 x，y 满足条件
5、，则 z=y2x 的最小值为 14若非零向量 满足| |=2| |=| + |，则向量 与 夹角的余弦值为 15已知在锐角ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是a， b，c ，2asinB= b，b=2，c=3 ，AD 是角 A 的平分线， D 在 BC 上，则 BD= 16有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是 m 月 n 日，张老师把 m 告诉了甲，把 n 告诉了乙，然后张老师列出来如下 10 个日期供选择：2 月 5 日，2 月 7 日，2 月 9 日，5 月 5 日，5 月 8 日，8 月 4 日，8 月 7 日，9 月 4 日，9 月 6 日，9
6、月 9 日看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙提听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说， “哦，现在我也知道了 ”请问张老师的生日是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 48 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程17等差数列a n的前 n 项和为 Sn，数列b n是等比数列，满足a1=3，b 1=1，b 2+S2=10，a 52b2=a3（）求数列a n和b n的通项公式；（）令 Cn= 设数列c n的前 n 项和 Tn，求 T2n18某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为 6 个月、12 个月、18 个月、24 个月、36 个月五种，
7、对于这五种期限的贷款政府分别补贴 200 元、300 元、300 元、400 元、400 元，从 2016 年享受此项政策的自主创业人员中抽取了 100 人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：贷款期限 6 个月 12 个月 18 个月 24 个月 36 个月频数 20 40 20 10 10以上表中各种贷款期限的频数作为 2017 年自主创业人员选择各种贷款期限的概率（）某大学 2017 年毕业生中共有 3 人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为 12 个月的概率；（）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为 X 元，写出 X 的分布列；该市政府要做预算，若预计 2017 年全市有
8、 600 人申报此项贷款，则估计 2017 年该市共要补贴多少万元19如图，四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 为菱形， AA1底面 ABCD，E为 B1D 的中点（）证明：平面 ACE 平面 ABCD；（）若二面角 DAEC 为 60，AA 1=AB=1，求三棱锥 CAED 的体积20如图，在矩形 ABCD 中，|AB|=4，|AD|=2 ，O 为 AB 中点，P，Q 分别是 AD和 CD 上的点，且满足 = ，直线 AQ 与 BP 的交点在椭圆 E： +=1（ab0）上（）求椭圆 E 的方程；（）设 R 为椭圆 E 的右顶点，M 为椭圆 E 第一象限部分上一点，作 MN
9、垂直于 y 轴，垂足为 N，求梯形 ORMN 面积的最大值21已知函数 f（x ）=x 2eax（）当 a0 时，讨论函数 f（x ）的单调性；（）在（1）条件下，求函数 f（x ）在区间0，1上的最大值；（）设函数 g（x）=2e x ，求证：当 a=1，对x （0，1） ，g（x）xf （x ）2 恒成立选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 2（1+3sin 2）=4，曲线 C2： （ 为参数） （）求曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程；（）极坐标系中两点 A（ 1， 0） ，
10、B（ 2， 0+ ）都在曲线 C1 上，求 +的值选修 4-5：不等式选讲23 （）已知函数 f（x ） =|x+1|+|xa|（a 0） ，若不等式 f（x）5 的解集为x|x 2 或 x3，求 a 的值；（） 已知实数 a，b， cR+，且 a+b+c=m，求证： + + 2017 年吉林省长春市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1i 为虚数单位，则 i+i2+i3+i4=（ ）A0 Bi C2i D i【考点】A1：虚数单位 i 及其性质【分析】直接利用虚数单位 i 的
11、性质运算【解答】解：由 i2=1 可知， i+i2+i3+i4=i1i+1=0故选：A2已知集合 A=x|x2x+4x +12，B=x|2 x18，则 A（ RB）=（ ）Ax |x4 Bx|x 4 Cx|x2 Dx|x 2 或 x4【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】先化简集合 A，B ，再求 A（ RB） 【解答】解：由 A=x|x 2 或 x4，B=x|x4，故 A（ RB）=x|x2 或 x4x |x4= x|x4故选：B3已知函数 f（x）= ，则函数 f（x）的值域为（ ）A 1，+） B （1，+） C ，+） DR【考点】5B：分段函数的应用； 3O：函数的图象【分析】
12、画出分段函数的图象，然后判断函数的值域即可【解答】解：根据分段函数 f（x ）= ，的图象可知，该函数的值域为（1，+） 故选：B4下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（ ）A图 1 B图 2 C图 3 D图 4【考点】CE：模拟方法估计概率【分析】据残差图显示的分布情况即可看出图 1 显示的残差分布集中，拟合度较好，可得结论【解答】解：据残差图显示的分布情况即可看出图 1 显示的残差分布集中，拟合度较好，故选 A5公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 ，刘徽称这个方法为“ 割圆术”，并且把“ 割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥
13、少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”下图是根据刘徽的“ 割圆术” 思想设计的一个程序框图若运行该程序，则输出的 n 的值为：（参考数据： 1.732 ，sin150.2588，sin7.50.1305） （ ）A48 B36 C30 D24【考点】EF：程序框图【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60= ，不满足条件 S3.10，n=12 ，S=6sin30=3，不满足条件 S3.10，n=24 ，S=12sin15=120.2588=3.1056，满足条件 S3.10，退出循环，输出 n
14、的值为 24故选：D6将函数 f（x）=cos2xsin2x 的图象向左平移 个单位后得到函数 F（x ）的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数 F（x）是奇函数，最小值是B函数 F（x）是偶函数，最小值是C函数 F（x）是奇函数，最小值是 2D函数 F（x）是偶函数，最小值是 2【考点】HJ：函数 y=Asin（x +）的图象变换【分析】由条件利用函数 y=Asin（x+ ）的图象变换规律求得平移后所得函数的解析式，再利用正弦函数的奇偶性以及最值，得出结论【解答】解：将函数 f（x ）=cos2x sin2x= cos（2x+ ）的图象向左平移 个单位后得到函数 F（x）= cos2（x+ ）+ = cos（2x + ）= sin2x 的图象，故函数 F（x）是奇函数，且它的最小值为 ，故选：A7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C D【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，得到几何体的表面积【解答】解：由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图 PABC，再求得该几何体的表面积为：
