1、,5.6 二维自治微分方程组的周期,解和极限环,设 是系统,的一个极限环,如果存在着 的一个 邻域，,使从此邻域内出发的其他解均正向,趋近于 ，则称 为稳定的极限环。,如果其他解均负向于 趋近于 ，,则称 为不稳定的极限环。,如果从 的 邻域出发的其他轨线在 的,一侧正向趋近于 ，另一侧负向趋近于 ，,则称此 为半稳定的极限环。,定理5.11 Poincare-Bendixson环域定理,设区域 是由两条简单闭曲线 围成的,环形域并且满足下面条件:,(1) 及其边界 上不含奇点;,(2)从G的边界 上各点出发的轨线都不能,离开(或进入) ;,(3) 均不是闭曲线.,周围在 内至少存在一个外稳定
2、闭轨和一个内,稳定闭轨(一个外不稳定闭轨和一个内不稳定的闭,轨)，如果是惟一的闭轨,周围一定是一条稳定的,(不稳定的)极限环。,定理5.12 时的VanderPol方程,其等价方程组,至少有一个极限环。,定理5.13 设系统,的右端函数 ， 在某个单连域 内,连续可微,并且,在 内不变号,且在 的任何子域内不恒为零，,则方程组,在 内不存在任何闭轨线。,定理5.14 对于方程组,若在某个单连域 内存在一个连续可微函数,使得,不变号。且在 的任何子域中不恒为零，,则方程组不存在全部位于 内的闭轨线。,定理5.15 如果沿着系统,的极限环 有,则 是稳定(不稳定)的.其中 是 的周期。,定理5.1
3、6 给定微分方程,(5.6.18),其等价方程组为：,其中,(2) ;,(3) 在 内分别单调不减，,则上述方程组至多存在一个极限环，若存在它,必定为稳定的。,5.6.2 例题,例5.6.1 证明平面二次系统,(5.6.17),当 时无闭轨线。,证明 由系统的第一个方程得到,故轨线与直线 相交时候只能从它的一侧向,向另一侧,因此系统若有闭轨线.它只能位于直线,的一侧,在这一侧取Dulac函数,容易算出,当 时它是常号且当仅且当 时为,零，当 不是系统的轨线。,所以由定理5.14知道:,系统(5.6.17)当 时不存在闭轨。,例5.6.2 用定理5.15的结论判定非线性方程组,引入极坐标,则产生的极限环 及 的稳定性。,解 又 可以算出,对 有,故由定理5.15知 是不稳定的。,对 有,故由定理5.15知 是稳定的 。,
