1、2017 年陕西省西安八十三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1设集合 A=x|x1 ，集合 B=a+2，若 AB=，则实数 a 的取值范围是（ ）A（，1 B（，1 C 1，+） D1，+）2复数 z1=cosxisinx，z 2=sinxicosx，则|z 1z2|=（ ）A1 B2 C3 D43已知 a0 且 a1 ，则 logab0 是（a 1）（b 1）0 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4某长方体的三视图如图，长度为 的体对角线在
2、正视图中的投影长度为 ，在侧视图中的投影长度为 ，则该长方体的全面积为（ ）A3 +2 B6 +4 C6 D105一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列a n，若 a3=8，且a1， a3， a7 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）A13， 12 B13，13 C12，13 D13，146x 、y 满足约束条件 ，若 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（ ）A 或1 B2 或 C2 或 1 D2 或 17已知向量 =（x1，2）， =（4，y ），若 ，则 9x+3y 的最小值为（ ）A2 B C6 D98已知三角形ABC 的
3、三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为（ ）A15 B18 C21 D249已知双曲线 mx2ny2=1（m0，n 0）的离心率为 2，则椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为（ ）A B C D10如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（0， 1），B（，1），C（，1），D（0，1），正弦曲线 f（x）=sinx 和余弦曲线 g（ x）=cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A B C D11设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px（p0）上任意一点
4、，M 是线段 PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为（ ）A B C D112定义域为 R 的偶函数 f（x）满足对任意 xR，有 f（x +2）=f （x ） f（1），且当 x2，3时，f（ x）= 2x2+12x18，若函数 y=f（x）log a（x+1）在（0，+）上至少有三个零点，则 a的取值范围是（ ）A（0， ） B（0， ） C（0， ） D（0， ）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知抛物线 y=ax2 的准线方程是 y= ，则实数 a 的值为 14在等比数列a n中，如果 a1+a2=40，a 3+a4=6
5、0，则 a7+a8= 15 8 的展开式中项 x3yz4 的系数等于 （用数值作答）16已知函数 ，若实数 a、b 、c 互不相等，且满足 f（a）=f（b）=f（c），则 a+b+c 的取值范围是 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12 分）设函数 f（ x）= ，其中向量 =（ 2cosx，1）， =（cosx， sin2x），x R（1）求 f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B 、C 的对边，已知 f（A）=2，b=1，ABC 的面积为 ，求 的值18（12 分）如图，三角形 ABC
6、 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直，ABBC，AF AC，AFCE 且 AF=2CE，G 是线段 BF 上一点，AB=AF=BC=2（）当 GB=GF 时，求证： EG平面 ABC；（）求二面角 EBFA 的余弦值；（）是否存在点 G，满足 BF平面 AEG？并说明理由19（12 分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f 1（x）=x 3，f 2（x ）=5|x|， f3（x）=2，f 4（x ） = ，f 5（x ）=sin（ x）， f6（x ）=xcosx （）从中任意拿取 2 张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函
7、数为奇函数的概率；（）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望20（12 分）已知 P 是圆 C：x 2+y2=4 上的动点， P 在 x 轴上的射影为 P，点 M 满足= ，当 P 在圆 C 上运动时，点 M 的轨迹为曲线 E（）求曲线 E 的方程；（）经过点 A（0，2）的直线 l 与曲线 E 相交于点 C，D，并且 = ，求直线 l 的方程21（12 分）设函数 f（ x）=x 2mlnx，h（x）=x 2x+a（1）当 a=0 时，f（x）h（x）在（1，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围；（2）
8、当 m=2 时，若函数 k（x ）=f（x ） h（x）在 1，3上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围；（3）是否存在实数 m，使函数 f（x ）和函数 h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出 m 的值，若不存在，说明理由请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线 l 的参数方程为 为参数，0），曲线 C 的极坐标方程为 sin2=4cos（）求曲线 C
9、 的直角坐标方程；（）设点 P 的直角坐标为 P（2，1），直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，并且，求 tan 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）=log 2（|x +1|+|x2|a）（）当 a=7 时，求函数 f（x）的定义域；（）若关于 x 的不等式 f（x）3 的解集是 R，求实数 a 的最大值2017 年陕西省西安八十三中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1设集合 A=x|x1 ，集合 B=a+2，若 AB=，则实数 a 的取值范围是（
10、 ）A（，1 B（，1 C 1，+） D1，+）【考点】1E：交集及其运算【分析】由 A 与 B，以及两集合的交集为空集，确定出 a 的范围即可【解答】解：A=x|x 1，集合 B=a+2，若 AB=，a +21 ，即 a 1，则实数 a 的范围为（， 1，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2复数 z1=cosxisinx，z 2=sinxicosx，则|z 1z2|=（ ）A1 B2 C3 D4【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的乘法以及三角函数的运算法则化简复数，然后求解复数的模【解答】解：复数 z1=cosxisinx，z 2=
11、sinxicosx，则 z1z2=cosxsinxcosxsinx+i（cos 2xsin2x）= i则|z 1z2|=1故选：A【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力3已知 a0 且 a1 ，则 logab0 是（a 1）（b 1）0 的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】a0 且 a1，则 logab0 ，或 （a1）（b1）0 ，或即可判断出结论【解答】解：a0 且 a1，则 logab0 ，或 （a 1）（ b1）0 ，或 故选：A【点评】本题考查了对数函数的
12、单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4某长方体的三视图如图，长度为 的体对角线在正视图中的投影长度为 ，在侧视图中的投影长度为 ，则该长方体的全面积为（ ）A3 +2 B6 +4 C6 D10【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】设长方体的长，宽，高分别为 x，y ，z，根据已知求出长宽高，代入长方体表面积公式，可得答案【解答】解：设长方体的长，宽，高分别为 x，y ，z，由题意得： ，解得： ，故该长方体的表面积 S=2（xy+xz+yz）=6 +4，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状5一
13、个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列a n，若 a3=8，且a1， a3， a7 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（ ）A13， 12 B13，13 C12，13 D13，14【考点】8M ：等差数列与等比数列的综合； BB：众数、中位数、平均数【分析】由题设条件，一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列an，若 a3=8，且 a1，a 3，a 7 成等比数列，设出公差为 d，用公差与 a3=8 表示出 a1，a 7 再由等比数列的性质建立方程求出公差，即可得到样本数据，再由公式求出样本的平均数和中位数【解答】解：设公差为
14、 d，由 a3=8，且 a1，a 3，a 7 成等比数列，可得 64=（8 2d）（8+4d）=64+16d8d2，即， 0=16d8d2，又公差不为 0，解得 d=2此数列的各项分别为 4，6，8，10，12，14，16 ， 18，20，22，故样本的中位数是 13，平均数是 13故答案为 B【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，解题的关键是根据题设中数列的性质建立方程求出数列的各项，即求出样本数据，再由平均数与中位数的求法求出即可6x 、y 满足约束条件 ，若 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（ ）A 或1 B2 或 C2 或 1 D2 或 1【考点】7C：简单
15、线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线 y=ax+z 斜率的变化，从而求出 a 的取值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）由 z=yax 得 y=ax+z，即直线的截距最大， z 也最大若 a=0，此时 y=z，此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件，若 a0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a0，要使 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 2xy+2=0 平行，此时 a=2，若 a0，目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a0，要使 z=yax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=a
16、x+z 与直线 x+y2=0，平行，此时 a=1，综上 a=1 或 a=2，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对 a 进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义7已知向量 =（x1，2）， =（4，y ），若 ，则 9x+3y 的最小值为（ ）A2 B C6 D9【考点】7F：基本不等式； 9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由于 =0，即可得出 x，y 的关系，再利用基本不等式即可得出 9x+3y 的最小值【解答】解： ，（x1，2）（4，y）=0，化为 4（x1）+2y=0，即 2x+y=29 x
17、+3y = = =6，当且仅当 2x=y=1 时取等号故选 C【点评】本题考查了 =0、基本不等式的性质，属于基础题8已知三角形ABC 的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为（ ）A15 B18 C21 D24【考点】HR：余弦定理【分析】根据三角形 ABC 三边构成公差为 2 的等差数列，设出三边为 a，a+2，a +4，根据最大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出 a 的值，即可确定出三角形的周长【解答】解：根据题意设ABC 的三边长为 a，a+2，a +4，且 a+4 所对的角为最大角 ，sin= ， cos= 或 ，当 cos= 时，=60，不
18、合题意，舍去；当 cos= 时，=120，由余弦定理得： cos=cos120= = ，解得：a=3 或 a=2（不合题意，舍去），则这个三角形周长为 a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15故选：A【点评】此题考查了余弦定理，等差数列的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键9已知双曲线 mx2ny2=1（m0，n 0）的离心率为 2，则椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为（ ）A B C D【考点】K4：椭圆的简单性质； KC：双曲线的简单性质【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线 mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为 2，可得 m=3n，从而可求椭
19、圆 mx2+ny2=1 的离心率【解答】解：双曲线 mx2ny2=1 化为标准方程为：双曲线 mx2ny2=1（m 0，n 0）的离心率为 2，m=3n椭圆 mx2+ny2=1 化为标准方程为：椭圆 mx2+ny2=1 的离心率的平方为 =椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为故选 C【点评】本题考查椭圆、双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题10如图，矩形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（0， 1），B（，1），C（，1），D（0，1），正弦曲线 f（x）=sinx 和余弦曲线 g（ x）=cosx 在矩形 ABCD 内交于点 F，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A B C D【考点】CF：几何概型【分析】利用定积分计算公式，算出曲线 y=sinx 与 y=cosx 围成的区域包含在区域 D 内的图形面积为 S=2，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率【解答】解根据题意，可得曲线 y=sinx 与 y=cosx 围成的区域，其面积为 （sinxcosx ）dx= （ cosxsinx）| =1（ ）=1 + ；
