第六章参数估计.doc

1、113第六章 参数估计一、知识点1. 点估计的基本概念2. 点估计的常用方法(1) 矩估计法 基本思想：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。(2) 极大似然估计法设总体 的分布形式已知，其中 为未知参数，X),(21k为简单随机样本，相应的 为它的一组观测值极),(21n nx大似然估计法的步骤如下： 按总体 的分布律或概率密度写出似然函数（离散型）niinxpxL121 );();,( （连续型）niinf121 );();,(若有 使得 ，则,21nx );,(max;, 212 nn xLxL 称这个 为参数 的极大似然估计值。称统计量 为参数

2、,X的极大似然估计量。 通常似然函数是 的可微函数，利用高等数学知识在 可能的取l k,21值范围内求出参数的极大似然估计 lxnll ,),(21 将 换成 得到相应的极大似然估计量ixiXklXnll ,),(21注：当 不可微时，求似然函数的最大值要从定义出发。);,(21nxL3. 估计量的评选标准(1) 无偏性：设 是参数 的估计量，如果 ，则称 为 的),(21nX)(E无偏估计量。(2)有效性：设 ， 是 的两个无偏估计，如果 ，则称 较 更有效。12 )(21D121144. 区间估计(1) 定义 设总体 的分布函数族为 对于给定值 ，如果有两X),;(xF)10(个统计量 和

3、 ，使得 对一),(11n)12nX21P切 成立，则称随机区间 是 的双侧 置信区间，称 为置信度；分,(1别称 和 为双侧置信下限和双侧置信上限12(2) 单侧置信区间(3) 一个正态总体下未知参数的双侧置信区间（置信度为 ）1估计参数 统计量 置信区间已知2)1,0(NnXu 22,unXun未知2)(tSt )1(),1(22 tStSX2未知)1()1(222nn )1(,)1(22nn二、 习题1. 选择题(1) 设 是来自总体 的一个样本，则以下统计量nX,21 )( )2(143nXX 作为总体均值 的估计量，其中是 的无偏)31012nn 估计的个数是 A.0 B.1 C.2

4、 D.3(2) 设 是来自正态总体 的样本，现有 的三个无偏估计量321,X),(N321321232 6;54;105 XX 其中方差最小的估计量是 A. B. C. D.以上都不是123115(3) 设 0,1,0,1,1 为来自 0-1 分布总体 B(1,p)的样本观察值，则 p 的矩估计值为 。A. B. C. D.5125354(4) 设 0,2,2,3,3 为来自均匀分布总体 的样本观察值，则 的矩估计值为 ),0(U。A.1 B.2 C.3 D.4(5) 设 是来自总体 的一个样本， 的密度函数为nX,21 X其 他 ,00),(2);( xxf则参数 的矩估计量为 。A. B.

5、 C. D.X31X36(6) 无论 是否已知，正态总体均值 的置信区间的中心都是 。2A. B. C. D.2 2S(7) 设总体 已知，则总体均值 的置信区间长度 L 与置信度),(NX的关系是 。1A.当 缩小时，L 缩短 B. 当 缩小时，L 增大1C. 当 缩小时，L 不变 D.以上说法均错2. 填空题(1) 若一个样本的观察值为 0,0,1,1,0,1,则总体均值的矩估计值为_,总体方差的矩估计值为_。(2) 总体未知参数 的极大似然估计 就是_函数的最大值点。(3) 设 ，则 的矩估计量和极大似然估计量分别为0),(UX_。(4) 设总体 服从几何分布 是,21,)(kpkXP

6、nX,21来自 的一个样本，则 的矩估计量和极大似然估计量分别为p_。(5) 设由总体 的样本观察值求得 ，则未 知 ）)(,xFX 9.054.3P称_为 的一个置信度为_的置信区间。(6) 设由来自总体 容量为 9 的简单随机样本的样本均值 ，则未).0,(2Nx116知参数 的置信度为 0.95 的置信区间为_。(7) 设来自总体 未知，容量为 16 的简单随机样本的样本均值2),(NX，样本方差 ，则未知参数 的置信度为 的置信区间为10x402s1_。(8) 设总体 是来自 的样本，当用 及),(2nX,21 X,21作为 的估计时，最有效的是_。3216X(9) 设 和 是分别来自

7、总体 的n, nY,21 ),(),(2NY和两个样本， 的一个无偏估计有形式 则 应该满足条mijniibXaT1ba和件_；当 ， 时， 最有效。_a_bT3. 计算题(1) 设总体 ，即参数为 的二项分布， 为未知参数，),(pmBXp,p为简单随机样本 , 分别求 的矩估计量和极大似然估计量。n,21(2) 设总体 的概率密度函数为 ，其中 是未其 它,0,1)1()xxf 1知参数， 为简单随机样本 , 分别用矩估计极大似然估计 。nX,21(3) 设某种元件的使用寿命 的概率密度函数为 ，xexf,02);()(为未知参数， 为简单随机样本, 求参数 的极大似然估计量。0n,21(

8、4) 设 是来自正态总体 的一个样本，适当选取 c，使得nX,21 ),(2N为 的无偏估计量。1niiic2(5) 已知某种木材横纹抗压力的实验值 ，对 10 个试件做横纹抗压力的),(2X试验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(单位：公斤/平方厘米)，试以 95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力: 未知； 2 。230117（6）为了解灯泡使用时数的均值 及标准差 ，测量 10 个灯泡，得如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求 和 的 95%的置hSx20,15 信区间(7)某厂生产的瓶装运动饮料的体积假定服从正态分布，抽取 10 瓶

9、，测得体积（毫升）为595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度为 0.90 的置信区间。(8)随机地取某种炮弹 9 发做试验求得炮口速度的样本标准差 m/s设炮口速度总1s体 ，求炮口速度的均方差 的置信度为 0.95 的双侧置信区间。),(2NX4. 证明题(1) 设 是来自正态总体 的一个样本，其中 已知证明：nX,21 ),(2N估计量 是 的无偏估计量。iinS12)(2) 设 为总体 的一个样本，记 为总体均值， 是n,21 ),21(ni常数，且 。i1 证明： 是 的无偏估计；niiX1 证明在 的所有形如 的线性无偏估计中，

10、以 为最有效。nii1X三、练习题参考答案1. 选择题（1）C； （2）B； （3）C； （4）D； （5）C； （6）C； （7）A； 2. 填空题（1） （2）似然 （3） 1, iniX1max,2（4） （5）. (35.5, 45.5) （6） (4.412, 5.588)X（7） （8） )15(0),1(022tt（9） , mna4b3.计算题(1) 解： ， 故 ，即为 的矩估计量),(pBX,)(XmpEp ， ，似然函数为：,kmkCXP)1(118 niiniiiii xmxnimni xmxm pCpCL 11)(11)()(求对数 )ln(ll)(l 111niin

11、inixi 求导数 ，niini xppLd11)(0)(l令 ，解方程 ，lnnini mx11即 所以 ，故 的极大似然估计量,11niixmpxnpi1p为 。X(2) 解：矩估计法；21)1()()(01 dxdxfE又因为 ，便得 的矩估计为 。XA1 X极大似然估计法由题意有，其 他,010,)(1);()(1 ininii xxfL，niixn1l)l()(l,niiLd1l)(l令 便得到 的极大似然估计量：0ln。niinii xx11ll119(3) 解：样本的似然函数为：，,0,2,0,2);()( 1)(1)(1 ixninixnii eexfL iii其 他当 时，

12、，),(niiniixL1)(l)(l因为 ,所以 单调增加由于 必须满足02lLd,故当 时, 取最大值,所以),1(nix ),min(21nx )(L的极大似然估计量为 .,X(4) 解： 由于 1212122 )()(ni iiiniii XEcXcE21221 212 )1()()()()( ncXc nini iii因此 )(n(5) 解：样本平均数 5.47)963418565104793482(10 x标准差 29)(12niixs由于所给置信度 ，查表5.06.)9()1(025.2tnt即以 95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间为，即 ，)(,)1(22 ns

13、tXnstX 1023547故置信区间为(432.30,482.70)若 ， ，3096.1025.u以 95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力的置信区间为，即 ，故置信区间为nX2 10347.(438.91,476.09)。120(6) 这是一个未知方差求 的置信度为 0.95 的置信区间的问题由已知 n=10,.查表得 20,15Sx 26.)9()1(025.2tnt因此， 的 95%置信区间为31.54,69.18026.150,26.150/)(,/)(2 Stxnt这是一个求 的置信度为 0.95 的置信区间的问题查表得2.700， 的 95%置)9()(275.021n 02

14、.)()(205.2n信区间为3.1,24.8970.29,3.1)(,)1(22 nS开方后得到 的置信区间为13.8，36.5 。(7)解： ， , ， ,90.5. 7.6,2Sn查表得 325)9()1(,916)()1( 5.021205.2 n所以方差的置信度为 0.90 的置信区间为(62.08,315.91)。(8)解： ， ，n-1=8,95.017.2查表得 180.2)(,31)8(212 于是得到均方差 的置信度为 0.95 的双侧置信区间(7.4,21.1)。3. 证明题(1) 证明: 212 122122)( )()( nii niiiniiiiEX XEXES所以估计量 是 的无偏估计量。niiS122)(2) 证明：因为 niniiniiXEE111)(所以 是 的无偏估计。niiX1121又因为 ，故 也是 的无偏估计。)(XE由柯西许瓦兹不等式 ，niinii yxyx1221得 ，nini1221因此 。niini XDXD112)()()( 所以在 的形如 的线性无偏估计中， 为最有效。nii1