1、2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数 则 的零点个数（ ）20()ln()xftd()fx0. 1. 2. 3.ABCD（2）函数 在点 处的梯度等于（ ）(,)arctnxfxy(0,1). . . .iijj（3）在下列微分方程中，从 （ 为任意常数）为通解的是（ ）123cosin2xyCeCx123,C. .A40yB40yy. .CyD（4）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）()fx,)nx若 收敛，则
2、 收敛. 若 单调，则 收敛.An(nfBnx()nfx若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.C()fxxD()f（5）设 为 阶非零矩阵 为 阶单位矩阵若 ，则（ ）E30A不可逆， 不可逆. 不可逆， 可逆.ABEA可逆， 可逆. 可逆， 不可逆. CD（6）设 为 3 阶非零矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标准方程的图形如图，则 的正(,)1xyzA A特征值个数（ ）0. 1.AB2. 3. CD（7）随机变量 独立同分布且 分布函数为 ，则 分布函数为（ ）,XYXFXmax,ZXY. .A2FB. . C21D1（8）随机变量 ， 且相关系数 ，则（ ）0,XN:,4Y:
3、XY. .A21PYXB21PYX. . CD二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）微分方程 满足条件 的解是 . 0xy1yy（10）曲线 在点 处的切线方程为 .sinlx0, （11）已知幂级数 在 处收敛，在 处发散，则幂级数 的收敛域为02nna4x03nnax.（12）设曲面 是 的上侧，则 .24zxy2xydzxdy（13）设 为 2 阶矩阵， 为线性无关的 2 维列向量， ，则 的非零特征值为A12,a12120,AaaA.（14）设随机变量 服从参数为 1 的泊松分布，则 .X2PXE三、解答题：1523 小题，共 9
4、4 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分 10 分）求极限 .40sinsinlmxx(16)（本题满分 12 分）计算曲线积分 ，其中 是曲线 上从点 到点 的一段.2sin1LxdydLsinyx0,(17)（本题满分 12 分）已知曲线 ，求 点距离 面最远点和最近的点.220:35xyzCCXOY(18)（本题满分 12 分）函数 连续， ，证明 可导，且 .fx0xFftdFxxf(19)（本题满分 12 分），用余弦级数展开，并求 的和21fx12n(20)（本题满分 9 分）， 为 的转置， 为 的转置TATT（1） 证
5、；（2）若 线性相关，则 .()r,()2rA（21） （本题满分 9 分）设矩阵 ，现矩阵 满足方程 ，其中 ， ，221naAa AXB1,Tnx 1,0B（1）求证 1n（2） 为何值，方程组有唯一解，求a1x（3） 为何值，方程组有无穷多解，求通解（22） （本题满分 9 分）设随机变量 与 相互独立， 概率分布为 ，概率密度为 ，XYX1,03PXi10Yyfy其 它记 Z（1）求 102P（2）求 的概率密度（ 23） （本题满分 9 分） 是总体为 的简单随机样本.记 ，12,nx 2(,)N1nix，221()iiSx21TxSn（1）证 是 的无偏估计量.T2（2）当 时 ，求 .0,D.
