1、运筹学及应用,运筹学讲稿,教材：运筹学教程（第二版）胡运权主编 清华大学出版社,第八章 图与网络,1）图的分类,8.1 图与网络的基本知识,A,B,D,E,C,甲,已,A,B,定义一,一个图是由点集V=vi和V中元素的无序对的一个集合E=ek所构成的二元组，记G=V，E，V中的元素vi称为顶点，E中的元素ek称为边。,当V、E为有限集合时，称G为有限图；否则称G为无限图。,第八章 图与网络,v1,v2,v3,v5,v4,e1,e3,e4,e2,e5,e6,e7,e8,e9,v1,v2,v3,v4,e1,e2,e3,e4,相邻点， 如v1 、 v2 ， 同时它们也称为边e1的端点,边相邻， 如e
2、1 、e2 (有公共端点) ，同时它们也称为点v1的关联边,无向边端点无序， 如图1 中e1 、e2等,有向边端点有序， 如图2 中e1 、e2等,图1,图2,环（自回路）边的各个端点相同， 如图1 中e9,有向图边是有向的， 如图2,无向图边是无向的， 如图1,第八章 图与网络,v1,e1,v3,v2,e2,e3,e4,e5,图3,多重边， 如图3 中v2 、 v3 ， 同时有两条边e4、e5,定义二,一个图既不含环、也不含多重边，则该图称为简单图；一个图含多重边，则该图称为多重图。,第八章 图与网络,定义三,每一对顶点都有且只有一条无向（有向）边相连的简单图称为完全图；,定义四,设G=V，
3、E，X、Y V，且XYV，XY=，任意边ek=（ Vi ，Vj ）E，有Vi X， Vj Y或者Vi Y， Vj X ，称为二部图（偶图）；,A,B,C,D,A,B,C,D,第八章 图与网络,定义五,以点v为端点的边数叫做点v的次（度），记d(v),定理1,任何图中，顶点的次数的总和等于边数的2倍,定理2,任何图中，顶点的次为奇数的顶点（奇点）数为偶数,定义六,有向图中，以v为起始的边数叫做点v的出次（度），记d+(v),以v为终点的边数叫做点v的入次（度），记d-(v),定义七,设G=V，E，X V，E E，且E中的边仅与X中的顶点相关联， 则称G=X，E为G的子图；如X=V，称G为G的生成
4、子图,定义八,设G=V，E，如果任意ek=（ Vi ，Vj ）E，f是E到正实数集上的一个函数，则称G为加权图，其中f(ei) 称为ei 的权,第八章 图与网络,定义九,设G=V，E，如G中的某些边与点的交替序列可以排成（vi0, ei1, vi1, ei1 ，vik-1, eik, vik），且eil=（ vil-1, vil ）(l=1,2k),则称该序列为一条链， 链长为k (注意，对于有向图时不考虑边的方向),定义十,在无向图中，如果一条链的起始与终点相同时，称该链为圈,定义十一,设G=V，E，任意v1、v2 V，都存在一条链，称该图为连通图；,定义十,在有向图中，如果一条链的所有边的
5、方向相同时，称该链为道路；同样圈中所有边的方向相同时，称该圈为回路。,任意不连通的图，都可以分成若干个连通子图，每个子图称为原图的分图,第八章 图与网络,2）图的表示类,v1,v2,v3,v4,v5,9,7,6,5,4,8,3,2,4,A=,aij =,wij (vj , vj) E,0 其它,0 9 2 4 79 0 3 4 02 3 0 8 54 4 8 0 67 0 5 6 0,权矩阵,令所有权为1,A=,0 1 1 1 11 0 1 1 01 1 0 1 11 1 1 0 11 0 1 1 0,邻接矩阵,第八章 图与网络,A=,0 1 1 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0
6、 1 00 1 0 0 0 10 1 0 1 0 10 0 0 0 1 0,v1,v2,v3,v4,v5,v6,其邻接矩阵为：,第八章 图与网络,3）欧拉回路,定义十二,连通图G中，如存在一条路，经过每一边且仅一次，则称这条路为欧拉路，如该路为一条回路，称欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。,定理3,无向图G是欧拉图的充分必要条件为G中没有奇点,推论1,无向图G是欧拉图，当且仅当G的边集可以划分成若干个初等回路,推论2,无向图G有欧拉路，当且仅当G的中有两个奇点,定理3,有向图G是欧拉图的充分必要条件为G每个顶点的入次等于出次,第八章 图与网络,4）树,定义十三,连通且不含圈的无向图称为树。
7、树中次为1的点称叶，否则称分枝点,定理6,T是树T无圈且m=n-1(其中n为顶点数，m为边数，下同)T连通且m=n-1T无圈，但加一条新边即得唯一一个圈T连通，但舍去任一边则不连通T中任意两点有唯一链相连,定义十四,无向图G中，如生成图为树，则该树为图G的生成树,定理,无向图G中有生成树充分必要条件：G是连通图,第八章 图与网络,4）生成树,最小生成树算法：1）Kruskal 2）破圈法,第八章 图与网络,最小生成树算法,避圈法（Kruskal）,vs,破圈法（Kruskal）,A,B,F,G,E,C,D,例：从某供气站要向A、B、C、D E、F、G小区供气，问如何铺设 煤气管道，使的需要铺设
8、管道 的总长度最短,第八章 图与网络,最短路算法, DijKstra算法,例：从油田铺设管道，把原油从A地 运到G地，要求管道必须按照图中 给定的道路铺设，问如何铺设 煤气管道，使的需要铺设管道 的长度最短,A,G,B,C,D,E,F,5,2,2,4,1,3,8,2,6,5,5,3,2,5,4,4,6,5,5,10,5,10,第八章 图与网络,4）网络最大流,（1）基本概念,某煤矿（A）的煤需要运往B地，现可以提供的铁路网及能提供的运量如右图。问如何进行调度，才能充分利用能够提供的运量，使尽可能的煤运往B地？,2,10,3,1,3,5,8,9,4,7,4,容量网络：加权有向连通图，仅有一个入次
9、为0的点，有一个出次为0的点。 记G=V，E，C,权容量,入次为0的点发点,出次为0的点收点,流：G中任意边上的非负数，记fij,可行流：,2）对中间点Vi， fij fki= 0,1） 0 fij Cij,最大流：,0流：如果所有fji= 0,最大的可行流,第八章 图与网络,最大的可行流，如何求？,饱和边：如果fij = Cij,不饱和边：如果fij Cij,增广链（增流链）：如果存在从发点到收点一条链lst,如果所有前向边都为非 饱和边，而反向边为非零流边。,零流边：如果fij = 0,非零流边：如果fij 0,前向边：如果链lst , 如果方向与s-t同向，称前向边；否则称为反向边,最大
10、流最小割定理,顶点的流量： fij fji,割集：设G=（V，E，C），V1 V2 =V，V1V2=且发点s V1，收点t V2,割集的容量： fij，vi V1, vj V2， 记C（V1，V2）,第八章 图与网络,定理4-1: 设G=（V，E，C），V1， V2为割集， fij为G的任一可行流，W为其流量，必有 CV1，V2）W,最大流最小割定理: 设G=（V，E，C），V1， V2为割集， fij为为最大流充分必要条件 W=min（C（V1，V2）| V1，V2 为G的割集）,定理4-2: 设G=（V，E，C）， fij为为最大流充分必要条件不存在增广链,利用该定理求最大流，如何求？,枚
11、举法,把求最大流转化为求是否存在增广链问题,第八章 图与网络,如何求增广链？,最大流的标号算法,算法： （前提条件为已经存在可行流）,1）从发点开始标号（）,2）选择一个已经标号顶点vi，对于与顶点vi相邻而未标号的顶点（vj）进行如下处理： （1）若（ vi ， vj） E，且fij0，则令j = min(fji, i)，并给vj标以（-vi, j),3）重复（2）直到收点vt或不再有顶点可标记为止。,一、标号过程,二、调整过程,其实，这是寻找增广链的过程，如果不能把vt进行标号时，即不存在增广链，根据定理，初始流就是最大流，结束，否则转第二步,1）令fij =,fij + t 前向边,fi
12、j t 后向边,fij 其他,2擦除所有标号，重新开始,第八章 图与网络,例15 P271,5）非标准网络的最大流问题,（1）发点不唯一 （2）收点不唯一 （3）收发点都不唯一,P273,6）最大匹配问题,（2）匹配定义：,（1）背景：简介工作安排,二部图G=（X，Y，E），若M中任意两条边都没有公共端点,P274,第八章 图与网络,7）最小费用流问题,（1）费用：,定理：,已知网络G=（V，E，C，d），f 是可行流， 为从vs到vt的一条可增广链，则称,当（vi, vj）E,d(f) =,链 的费用,若f是流量为W(f)的最小费用， 为从vs到vt的一条最小费用增广链，则f经过调整的流量后得到的新流f，一定是流量为W（f）+的可行流中的最小费用流。,长度网络定义：已知网络G=（V，E，C，d），f 是可行流，保持原网络各点，每条边用两条方向相反 的有向边代替，各边的权lij为：,lij =,dij fij 0,fij = 0,第八章 图与网络,(3）最小费用流问题算法,P276,
