1、基于传递函数模型的极点配置与最优化设计方法的比较：（1）极点配置设计方法：（a）考虑确定性的跟踪系统；（b）性能指标是闭环模型传递函数，给定较困难。（2）最优化设计方法：（a）主要讨论随机的调节系统；（b）性能指标为输出量或输出量加控制量的二次函数，给定较容易。,第7章 基于传递函数模型的最优化设计方法,第一节 设计问题,一、对象及干扰模型,控制对象,y(t),u(t),v1c(t),图 1 （a）,图（a）中：u(t)-控制量，零阶保持器的输出。v1c(t)-随机的过程干扰。y(t)-输出量。,Gp(s),y(t),u(t),v1c(t),图 1 （b）,图（b）中：,Gd1(s),+,+,
2、Gp(s),y(t),u(t),v1c(t),图 1 （c）,Gd1(s),+,+,Gd2(s),ec(t),图（c）中：v1c(t)-不是白噪声，为具有有理功率频谱密度函数的有色噪声。ec(t) - 白噪声。Gd2(s)-假想的动态环节的传递函数。,Gp(s),y(t),u(t),ec(t),图 1 （d）,图（d）中：,Gd(s),+,+,控制对象离散化，对于Gp(s) ，假设u(t)是零阶保持器的输出，采用零阶 保持器法，将Gp(s)化为Gp(z) 。,（1）,Gd(s)的离散化方法：,（2）,即：,将Gd(s)化为如下的状态方程：,设ec(t)是均值为零、方差为 的白噪声，进一步设：,
3、（3）,则（2）式变为：,（4）,（5）,可求得 的协方差为：,式（4）可离散化为：,（6）,其中：,（7）,式中，T为采用周期， 是等效的离散白噪声序列，其协方差为：,（8）,显然有：,（9）,从而式（6）可以写为：,（10）,其中 ed(k) 是均值为零、方差为1的白噪声序列。,从而可以求得等效得离散传递函数为：,（11）,其等效离散控制对象的结构图如下：,Gp(z),y(k),u(k),ed(k),图 2,Gd(z),+,+,设,（12）,由图2，有,（13）,经通分进一步化为：,（14）,其中A(z)为首一多项式。,（15）,其中有：,（16）,（17）,设 首项系数为 ，则（14）式
4、变为：,从而有,于是，C(z)也变成首一多项式。则式（15）写为：,（18）,此式便是标准的控制对象及干扰模型。,若令e(k)=0，则为确定性系统的传递函数模型。 若令u(k)=0，则为ARMA(Autoregression Moving Average)随机过程模型。,对于式（18）的标准模型，有如下条件：（1）A(z)和C(z)均为首一多项式；（2）degA degB;（3）degC - degA=0；（4）C(z)的零点均在单位圆内。,其中（3）（4）均由于C(z)是噪声驱动模型的性质所决定。,二、性能指标及容许控制,研究调节系统，即 r(k)=0。,B(z)/A(z),y(k),u(k
5、),e(k),图 3,C(z)/A(z),+,+,D(z),由于 Ee(k)=0，则,Ey(k)=0,但是,希望 J1 越小越好。,对于离散系统，性能指标可以表示为：,（19）,对于连续系统，性能指标表示为：,（20）,具有上述性能指标的最优控制问题为最小方差控制。,为对控制量进行限制，可在指标中对控制量进行加权，即,（21）,其中 为加权系数。,上述指标为更一般形式的二次型性能指标，称为广义最小方差控制。,设计问题：,设计控制器 D(z)，使二次型指标 J1 或 J2 最小。,一、 最优预报,控制对象模型：,（1）,第二节 最小方差控制,其中,（2）,y(k),u(k),e(k),图 1 控
6、制对象结构图,+,+,若使 J1 最小，最好使 ，则,（3）,然而，此控制不能实现。因为：,则,因此， 决不能完全抵消 。,使 J1 最小的方法：,根据 k-d 及以前的信息最好地估计出 k时刻的干扰量 ，并使,从而,（4）,于是,或,（5）,（6）,即：输出量的最小方差等于最优预报估计误差的方差。,问题：求最优预报 ，使 J1 最小。,利用多项式除法，得到：,（7）,其中,（8）,（9）,由图1得到：,由式（6），得到：,（10）,其中,要使（10）式取得最小值，必须有,（11）,于是,此即为最优预报估计误差。,（12）,式（11）表示由e(k)，e(k-1)，来获得最优预报 ， 而我们希望
7、由 来获得 ，因此需要 进行如下变换：,由图1，得到,（13）,（ 的零点均在单位圆内）,代入（11）式，有,（14）,此即为最优预报公式。,求最优预报计算步骤：,（1）作多项式的带余除法运算，如式（7），即,或写成：,（15）,其中 如式（8），即,（15）式两边同乘以 ，得到,其中,（16）,（17）,从而可以求出 和 或 F(z)和G(z)。,（2）计算干扰量最优预报估计：,（18）,最优预报估计误差如式（12），即,二、最小方差控制,1、最小方差控制的实现：,从而实现最小方差控制，控制器结构如图2所示。,给定 u(k)，使得,图2 最小方差控制系统结构图,由,得到,于是有,(19),由
8、图2,得到,于是得到,(20),将(20)代如(19),整理得到,或者,说明：,（1）最小方差控制由两部分组成：,（a）计算最优预报估计,（b）产生最优控制 ， 使得,故与分离性原理相似。,（2）D(z) 将抵消对象的分子多项式 B(z)，故最小方差控制只适用于B(z)零点均在单位圆内的情况。,2、计算实例：,控制对象模型：,已知,要求：计算最小方差控制器的传递函数及最小性能指标,解：,于是有：,从而,（1）延时拍数 d=1,或,最小方差为：,（2）设延时拍数 d=2,于是有：,从而,或,最小方差为：,可见，当延时增大时，最小方差也增大。,3、与极点配置设计法的比较,控制对象模型：,（21）,
9、由于,故,（22）,（23）,于是,（24）,其中,（25）,由式（16），即,得到,上式为 e(k) 到 y(k) 的闭环传递函数，其特征多项式为：,（26）,（27）,（28）,可见，系统的极点由三部分组成：,（1）d-1 个原极点； （2）B(z) 的零点（n-d个）； （3）C(z) 的零点（n个）。,极点配置设计法中，,（29）,则 R(z) 和 S(z) 满足如下的 Diophantine 方程：,（30）,选定,则得到,（31）,代入（29）式，得到,（32）,此即为最小方差控制。由此可见，最小方差控制是按极点配置设计 方法的一个特例。,三、对象具有单位圆外零点时的最小方差控制,
10、1、计算方法,定理1 给定控制对象的模型为：,（33）,将 B(z) 分解为,（34）,其中B+(z) 包含所有单位圆内的零点（首一多项式）， 包含所有单 位圆外和圆上的零点。假定C(z)的所有零点均在单位圆内，A(z)和 互质，则最小方差控制为：,（35）,其中 F(z)和G(z)满足如下的 Diophantine 方程：,（36）,在上式中，求 degG(z) degA(z) 的最小阶解，F(z)和G(z)的阶次分别为：,（37）,（38）,是,的互反多项式。, 定理证明略 ,定义：互反多项式：,设,称,为 P(z) 的互反多项式。, I 型最小方差控制：最小方差控制器抵消 B(z) 的全
11、部零点。, II 型最小方差控制：最小方差控制器只抵消 B+(z)而不抵消 。,说明：, I 型最小方差控制使得输出方差达到极小值，但控制量可能趋于无穷大（抵消 ）。, II 型最小方差控制使得输出方差达到有限制的极小值，而不是最小值，但它使得控制量是稳定的。,2、计算实例,控制对象模型：,已知,要求：计算最小方差控制。,B的零点在单位圆外，取,解： 控制器的设计,于是，设,代入 Diophantine 方程（待定系数法）：,通过系数比较，得到,即,故最小方差控制为：, 计算输出方差：,y(k),u(k),e(k),+,+,求出 e(k) 到 y(k) 的闭环传递函数 H(z):,代入具体参数
12、，得到,从而,其中,即,由此可以看出，e(k) 与 不相关，从而有,假设系统处于平衡状态，有,于是,所以,3、与极点配置设计法比较,闭环系统特征方程（y(k)/e(k)）：,（39）,可见，系统的极点由四部分组成：,（1）d-1 个原极点 ； （2）对象中位于单位圆内的零点B+(z)； （3）对象中单位圆外零点关于单位圆周的镜象 ； （4）C(z) 的零点（n个）。,极点配置设计法中，,（40）,则 R(z) 和 S(z) 满足如下的 Diophantine 方程：,（41）,选定,则得到,（42）,可得到,（43）,可见，II 型最小方差控制器的设计也可以看成是按极点配置设计方法 的一个特例
13、。,第三节 广义最小方差控制,最小方差控制的弱点：,（1）性能指标中没有对控制量加以限制，因此控制量幅度大；为限制控制量幅度，需要取较大的采样周期，这常使系统的其他性能变差； （2）当对象包含有单位圆外的零点时，需要采取改进措施，即采用II型最小方差控制。,故采用如下更具一般性的二次型函数：,（1）,以此作为性能指标的最优控制称为广义最小方差控制。,由上节（1）式与（7）式，得到,（2）,一、广义最小方差控制的计算,同理由上节（1）式，得到,（3）,（C(z)的零点均在单位圆内）,（3）式代入（2）式，得到：,（4）,根据 e(k) 是白噪声序列及 的假设，可以得到：,（5）,若令上式取极小，
14、便可以得到最小方差控制，即,（6）,由于系统已处于平衡状态，从而（1）式可以表示为：,（7）,（5）式代入（7）式，得到：,（8）,为使 J2 最小，求 J2 对 u(k)的导数。,（9）,（10）,由于,故,（11）,（11）式代入（9）式，得到,（12）,使上式等于零即可求得使 J2 极小的控制为：,（13）,此即为要求的广义最小方差控制。若令 ，则上式便变为最小 方差控制（ 时 D(z) 不抵消控制对象的零点B(z)）。,计算广义最小方差控制的步骤如下：,（1）计算 和 ：,或计算 F(z) 和 G(z)：,（2）代入广义最小方差控制器公式：,二、计算实例,控制对象模型：,已知,要求：计
15、算广义最小方差控制。,设计：,故有,广义最小方差控制器为：,求输出方差,（1）求出 e(k) 到 y(k) 得闭环传递函数,（2）求输出方差,其中 c 为单位圆周。,在单位圆内有两个极点，即 z= - 0.111 和 z= - 0.693，利用,计算留数得方法求复变积分，有,（3）求u(k)的方差：,与前面类似，可以求得：,（4）对于 I 型最小方差控制，有,B(z)的零点在单位圆外，因而从 的传递函数是不稳 定的，因此：,（5）对于 II 型最小方差控制，有,（已求得）,利用与前面类似的方法可以求得：,（6）结论, I 型最小方差控制：输出方差最小（ ），控制量趋于无穷（ ）；广义最小方差控
16、制：输出方差最大（ ），控制量方差较小（ ）；II 型最小方差控制：输出方差较大（ ），控制量方差较大（ ）。,三、与极点配置设计法的比较,由前述可知，从e(k)到y(k)的闭环传递函数H(z)为：,（14）,由于,其中,（15）,（16）,将（15）式代入（14）式，有,（17）,由此可见，系统的极点由两部分组成：, C(z) 的零点。这部分极点将被抵消，因此可看成是观测器的极点；的零点。可以看作是闭环传递函数要求的极点。,与极点配置设计方法的比较：,设,（17）,对比式（15），显然有,（18）,参考式（17）的推导过程，可以求得,（19）,对比标准的 Diophantine 方程，即,（
17、20）,取,则（18）式，即,为标准 Diophantine的解。,因此，广义最小方差控制也可看作是按极点配置设计方法的一个特例。,控制器中加权系数 的选择：,（1）试凑法：, 初选 设计广义最小方差控制器仿真检验修改最终确定,（2）根据希望的闭环系统极点来确定 。,闭环系统的极点为：,根据要求的闭环系统的极点 来确定上式中的加权系数 。,第四节 跟踪系统的设计,1、跟踪系统控制器的设计,y(k),u(k),e(k),+,+,+,_,r(k),控制器,图 3 跟踪系统的结构图,设计问题：设计出控制器传递函数 D1(z) 和 D2(z)，以使系统具有满意的抗干扰和跟踪性能。,设,（1）,则控制器
18、方程为：,（2）,从而设计问题变为设计 R(z)，T(z) 和 S(z)。,与极点配置设计方法比较，C(z) 相当于观测器多项式。按照方式1引入 参考输入，即参考输入的引入不影响系统的状态重构或状态估计时，可选：,（3）,由前述假设条件，有,（4）,D2(z)的设计可直接利用前面关于调节系统的设计结果，R(z) 和 S(z)选取如下：,I 型最小方差控制 （5）式,II 型最小方差控制 （6）式,广义最小方差控制 （7）式,对于式（5）（6），有,（8）,而由式（4）可知，degT(z) = n，从而 degT(z) deg R(z)，这在物理上 不能实现，因而对于 I 型和 II 型最小方差
19、控制，按（5）（6）式计算完 后，取 R(z) = zR(z)， S(z) = zS(z)；对于广义最小方差控制，计算方法不 变，即按（7）式计算。,于是，R(z) ，S(z) 和 T(z) 计算方法归纳如下：,（9）,I 型最小方差控制,II 型最小方差控制,广义最小方差控制,（10）,（11）,2、跟踪系统的闭环传递函数,由图3，得到,（12）,其中,（13）,（14）,由前述可知，R(z) 和 S(z) 满足如下的 Diophantine 方程：,（15）,对于 I 型和 II 型最小方差控制，这里的 R(z) 和 S(z) 相当于前面的 zR(z) 和 zS(z)，考虑到这个变化，结合前面推导的结果得到：,I 型最小方差控制,II 型最小方差控制,广义最小方差控制,（16）,（17）,（18）,I 型最小方差控制,II 型最小方差控制,广义最小方差控制,将（16）（17）和（18）式代入（13）（14）式，得到：,（19）,I 型最小方差控制,II 型最小方差控制,广义最小方差控制,（20）,I 型最小方差控制,II 型最小方差控制,广义最小方差控制,第七章结束,
