1、第五章 测量误差的基本知识 本章共分5节，主要介绍了测量误差的分类和处理方法、算术平均值和精度评定的标准、误差传播定律。本章的重点内容是：误差的定义、分类、特性、影响及其处理方法，算术平均值原理、最或然误差及其特性，中误差的定义、用真误差和最或然误差计算中误差，误差传播定律、带权平均值及其中误差。,测量与观测值,观测与观测值的分类, 观测条件, 等精度观测和不等精度观测, 直接观测和间接观测, 独立观测和非独立观测,5.1 测量误差及其分类,5.1.1 测量误差及其来源, 测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件
2、的影响：温度变化、风、大气折光等 三项又称为观测条件, 测量误差的表现形式, 测量误差（真误差=观测值-真值）,（观测值与真值之差）,（观测值与观测值之差）,例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) ,1.系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。, 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校),5.1.2 测量误差分类,2.偶然误差误差出现的大小、符号各不相同， 表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
3、 导致观测值产生误差 。, 准确度(测量成果与真值的差异）, 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）, 测量平差（求解最或是值并评定精度）,3.几个概念:, 精（密）度（观测值之间的离散程度）,举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内 角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。,5.1.3 偶然误差的统计特性,误差分布表,误差分布图,从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：,特性(1)、(2)、(3)决定
4、了特性(4)，特性(4)具有实用意义。,偶然误差的特性,5.2.1 精度,5.2 衡量精度的指标,所谓精度，是指对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集或离散的程度。,在相同的观测条件下，所测得的一组观测值，虽然它们的真误差不相等，但都对应于同一误差分布，故这些观测值彼此是等精度的。,1、中误差（标准差）,二 衡量精度的指标,方差的定义 设对某一未知量X进行了n次等精度观测，其观测值为l1, l2， ln，相应的真误差为1,2，n i = li X方差的定义为：,中误差（标准差）, 表示的离散程度,x=,y,较小,较大,称为标准差：,例：有两组观测值，各组分别为等精度观测，它们的真误差分别为第
5、一组：+4,-2.0,0,-4,+3;第二组：+6，-5，0，+1，-1(各组中真误差个数应大于10)。由(5.4)得两组的中误差分别为因为第一组误差较小，故其观测精度较高。, m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：,m1=3.0是第一组观测值的中误差； m2=3.5是第二组观测值的中误差。,2 平均误差,在相同的观测条件下，一组独立的真误差设为1，2，n，则平均误差的定义式为 (5.5)式中 为真误差的绝对值；n为观测次数。当观测次数为有限时，平均误差的估值为上例两组观测的平均误差为我国统一采用中误差作为衡量精度
6、的指标。,3、容许误差(极限误差),4、相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。,用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。,K2K1，所以距离S2精度较高。, 观测值的算术平均值(最或是值) 用观测值的改正数v计算观测值的 中误差 (即:白塞尔公式),5.3 算术平均值及其中误差,5.3.1 观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值),上式等号两边分别相加得和：,L=,当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。,观测值改正数特点,5.3.2 观测值
7、的改正数V ：,Vi = L - i (i=1,2,n),精度评定,5.3.3 精度评定,用观测值的改正数V计算中误差,证明两式根号内相等,对上式取n项的平方和,由上两式得,其中:,证明两式根号内相等,中误差定义:,白塞尔公式:,5.3.4 算术平均值的中误差,算术平均值的中误差，可由下式计算,或,由此可见，对一个量增加观测次数取其平均值，可以提高精度。但增加次数较多时，不仅工作量大，而且精度的递增亦趋缓慢。例如， n=16时，精度提高4倍，n=36时，观测次数比n=16时增多了20次，而精度仅比前者提高两倍。因此，当要求精度较高时，在可能的情况下，应考虑选用较精密的仪器和改善观测方法。,例l
8、 有一段距离，在相同的观测条件下用30 m钢尺测量4次，其结果如表5.2的第二栏。求该段距离的最或然值及其中误差。,解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计 算其中误差：,例：使用同一经纬仪观测某水平角5测回，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。,算例2:,6421068.7 ,利用计算器进行统计运算1进入统计功能：2ndf STAT2数据输入：1）单个数据输入：（数据）DATA2）多个相同数据输入： （数据数据个数）DATA3数据删除：（待删除数据） 2ndf CD,4成果输出,一般函数的中误差,令 的系数为 ，用观测值代入偏导数式， fi 为常量， (c)式为：,5.4
9、 误差传播定律及其应用,对Z观测了k次，有k个式,(d),由偶然误差的抵偿性知：,(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：,即,(h),(h),考虑 ，代入上式，得中误差关系式：,(5-19),上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。,通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：,1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。,解：列函数式 求全微分 中误差式,解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计 算其中误差：,例：使用同一经纬仪观测某水平角5测回，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。,124.38
10、43.4mm,例 在ABC中直接观测A、B，其中误差分别为mA=3，mB=4，求mC解：1列函数式 C = 180-A - B 2求全微分 dC = - dA dB即f1 = -1，f2 = -13应用误差传播定律 mC =5,5-5 权的概念,权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。,5.5.1 权与中误差的关系 设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为：,称Pi为观测值l i 的权。,权的定义：,对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：,权的性质（1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个值。,设对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为l1,l2,ln, 其权分别为P1，P2，Pn。则观测量的最或是值为加权平均值：,加权平均值的中误差,5.5.2 加权平均值及其中误差,例5.4 某水平角用J2经纬仪分别进行了三组观测，每组观测的测回数不同(见表54)，试计算该水平角的加权平均值及其中误差。 表54 加权平均值及其中误差的计算,作业：10,
