1、第二章 单纯形法,管理运筹学,交通工程教研室,主要内容,1. 单纯形方法的推导2. 单纯形计算表3. 单纯形法补遗3. 人工变量法,1. 单纯形方法推导,单纯形方法的基本思想 从可行域的一个基本可行解(极点)出发，判别它是否已是最优解，如果不是，寻找下一个基本可行解，并使目标函数得到改进，如此迭代下去，直到找到最优解或判定问题无界为止。,求解线性规划：max z = 3x1 + 5x2 s.t. x1 8 2x2 12 3x1 + 4x2 36 x1, x2 0,解：将原问题转化为标准型模型： Max z = 3 x1 + 5 x2 s.t. x1 + x3 = 8 x2 + x4 = 12
2、3x1+ 4x2 + x5 = 36 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0,转换为典则形式 （用非基变量表示基变量和目标函数的形式称为关于基的典则形式）max z = 3x1 + 5x2 s.t.x3 = 8 - x1 x4 = 12 -2 x2 x5 = 36 - 3x1 - 4 x2 x1 , x2 , x3 , x4，x5 0,寻找初始可行解：令非基变量为零， 得到： X(1) = (0, 0, 8, 12,36)T， z(1) = 0,最优性检验 :该解是最优解吗？第一次换基迭代确定入基变量：x2如果不为0，可能增加会快些。选择x2入基。,选 x2入基,x1仍然为非基，x1
3、=0。得到下列不等式关系: x3 = 8 - x1 0 x4 = 12 -2 x2 0 x5 = 36 - 3x1 - 4 x2 0简化为： x3 = 8 0 x4 = 12 -2 x2 0 x5 = 36 - 4 x2 0 选 x2= min(12/2, 36/4) = 6, 才使上述不等式 成立，并迫使 x4为零；因此需令 x4出基。,新的典则方程变为: max z = 3x1 + 5x2 s.t. x 3 = 8 - x1 2 x2 = 12 - x4 x5 +4 x2 = 36 - 3x1 化简后： x3 = 8 x1 x2 = 6 - 1/2x4 x5 = 12 - 3x1+2x4
4、z= 30 +3x1 5/2x4第二个基可行解 X(1)=(0, 6, 8, 0,12)T , z(2)=30,最优吗？,第二次换基迭代选 x1入基。得到下列不等式关系: x3 = 8 x1 0 x2 = 6 0 x5 = 12 - 3x1 0简化为：8 x1 0 12-3 x1 0 选 x1 = min(8/1, 12/3) = 4 时才能使不等式成立，并使 x5为零，令 x5 出基。,换基后的典则形式变为： z (3) =42 1/2x4 - x5 x3 = 4-2/3x4+1/3x5 x2 = 6-1/2x4 x1 = 4 +2/3x4-1/3x5第三个解为X(1)=(4, 6, 4,
5、0,0)T, z (3) = 42；此时，目标函数表达式中非基变量的系数都为负，目标函数无法继续改进，目标达到最优，此解为最优解。,2,8,4,6,10,2,4,10,x1,12,6,8,X2,X1,X0,方程组形式的求解过程,方程组形式的求解过程,初始单纯形表的一般形式,单纯形算法,1将问题转化为标准型。在系数阵中找出或构造一个m阶排列矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。若所有检验数j0, 就得到一个最优基本解，停止计算，否则转4。,在所有j0中，只要有一个r0，对应的B-1pj 0, 则不存在有界最优解，有以下定理：定理：如果存在 j 0，且B-1pj 0，则原问题无界。证： 由 j 0
6、 ，可考虑 xj入基，则有： max z = cBB-1b + j xj s.t. xB = B-1b - B-1pj xj xB , xj 0,由B-1b 0，B-1pj 0，无论xj 取何值，约束都能成立，又因为j 0，则xj 时，目标值 z ，因此问题无界，证毕。,如果线性规划的约束都是 约束，右边项的值都大于等于零，其初始可行解很容易找到，松弛变量对应的单位矩阵即是一个初始可行基； 一般线性规划问题的初始可行解不一定很容易找到； 这时需要引如人工变量，并使用特殊的方法找到初始可行解。,2.4.4 如何寻找初始可行解,加入人工变量构造初始基：把所有约束右边项值调整为大于等于零。对 约束,
7、 引入松弛变量。对 约束, 引入一剩余变量和一人工变量。对 = 约束，引入一人工变量。,约束条件转变为：,大 M 法,基本思想 在目标函数中赋予人工变量很大的系数 M； 用线性规划的优化机制迫使人工变量出基，从而找到一个初始可行解； 如果无法使人工变量出基，原问题无可行解。,例3 用大 M 法求解：min z = 3x1 -x2-2x3 s.t. 3x1 + 2 x2 -3x3 = 6 x1 - 2x2 +x3 = 4 x1, x2 , x3 0,优点：简单、直观，在单纯形表上的计算步骤与普通单纯形方法相同；缺点：大 M 到底取多大值？M 取值太大将增加数值计算的困难。,大 M 法的优缺点,两
8、阶段法,基本思想：将求解过程分为两个阶段：第一阶段寻找初始可行解或判断问题无可行解；,第二阶段寻找最优解或判断问题无界。 第一阶段：引入人工变量并找一个初始基，另构造一个新的求极小值的目标函数，该目标函数除人工变量的系数为-1以外，其余变量的系数都为零。 求解该线性规划问题，如果最优目标函数值为零，表明所有的人工变量已经不在基中，第一阶段的最优解即是原问题,的一个基本可行解；否则原问题无可行解。第二阶段：将原目标函数换回，以第一阶段得到的可行基为初始基进行迭代，直到找到最优界或判断问题无界为止。在第二阶段的迭代中可以删去所有人工变量。,例4 用二阶段法求解：max z = 3x1 -x2-2x3 s.t. 3x1 + 2 x2 -3x3= 6 x1 - 2x2 +x3 = 4 x1, x2 , x3 0,
