1、,第27章 相似 总复习课,,1.形状相同的图形表象：大小不等，形状相同.实质：各对应角相等、各对应边成比例.,2.相似多边形各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关).3.相似多边形性质：相似多边形的对应角相等,对应边成比例.相似多边形周长的比等于相似比.相似多边形面积的比等于相似比的平方.,一、相似图形的定义、实质、及性质,,4.相似三角形三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关).5.相似三角形性质：相似三角形的对应角相等,对应边成比例.相似三角
2、形对应中线的比,对应角平分线的 比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.,,6.相似三角形与全等三角形的关系：相似比等于1的两个三角形全等.,7.两个极具代表性的益智“模型”： “A”型和“X” 型相似三角形.,,1.预备定理 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;,二、三角形相似的判定方法有哪些?,2.定理 三边对应成比例的两个三角形相似.3.定理 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;4.定理 有两个角对应相等的两个三角形相似,,基本图形,,三、相似图形的特例图形的位似,1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应
3、顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.,2.性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.,,3.如何作位似图形(放大).,5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.,4.如何作位似图形(缩小).,,线段的比,黄金 分 割,形状 相 同的图形,相似三 角 形及其判定条件的探索,相似多边形,多边形的性质,图形的放大与缩小,相似的综合应用测量旗杆的高度,,1,如图,添加一个条件,使则ABCAED,则这条件可以是 .,练习,2下列说法正确的是（ ） A 所有的等腰三角形都相似 B所有的直角三角形都相似 C所有的等腰直
4、角三角形都相似 D有一个角相等的两个等腰三角形都相似,,2、在ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，则各对相似三角形的相似比分别是多少？面积的比呢？,,3、两个相似三角形的面积比是9：25，那么它们的相似比是_对应边上的高的比是_，周长之比是_。,3：5,3：5,3：5,4、如图，ABC,DE/BC，且ADE的面积等于梯形BCED的面积，则ADE与ABC的相似比是_,1：2,,5.ABC中，DEBC，EFAB，已知ADE和EFC的面积分别为4和9，求ABC的面积。,,6.如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1得到四边形
5、A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 。,练习,,7.在AB=20米,AD=30米的矩形ABCD的花坛四周修筑小路:(1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四所围成的矩形和矩形ABCD相似吗?请说明理由 (2)如果相对两条小路的宽均相等,试问小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成矩形和矩形ABCD相似?请说明理由.,,8如图， ABCD中，E为AD的中点，若S ABCD=1，则图中阴影部分的面积为( )A B C D,C,当堂训练,,9.已知,ABCDEF，（1）图中有几对相似的三角形？（2）线段AB、CD与EF有怎样的等量
6、关系？,比一比,,10.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全等三角形除外）,1+ 2+ 3 度,,11、RtABC中， ACB90 ，CDAB于D。（1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一对说明理由。（2）若AD1cm, BD4cm,请你求出CD的长度。,,范例,例1 如图，已知：DE BC，DC和BE相交于P点，连结AP交DE于M，延长AP交BC于N点，求证：DM=ME，BN=NC。,分析：,同理可证：BN=NC,,范例,例2 如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE，求证：2ED DM=AD CD。,分析：,E,C,D,M,A,F,,
7、例3.如图：在ABC中， C= 90,BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：经过多少秒时CPQ CBA;, 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与ABC相似？,,例4：阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标尺、一副三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出工具，设计一种测量方案)（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据
8、（用小写字母表示）求出x,,范例,分析：,(1)由题意知，易得ABC ADE,得y与x的函数关系式。,,,现有一块三角形余料ABC，它的一边BC=12cm，高线AD=8cm. E为AB上一动点(E不与A、B重合)，且EFBC交AC于点F ，以EF为边向下做一个正方形EFGH，设正方形EFGH与三角形ABC的重合部分面积为y,EF=x.求(1)当HG落在BC上时,求x,议一议,(2)当HG不落在BC边上时,求y关于x的关系式,,有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形，如图（1）所示，已知A=90，AB=8cm，BC=10cm，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，如图，甲、乙各设计一种方案
9、，你觉得哪种方案更好，为什么？,如图（1）,甲,乙,变 一 变,M,N,拓展,A,C,P,B,R,T,例2 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的55的方格纸中，如果想作格点ABC与OAB相似(相似比不能为1)，则C点坐标为_,1,2,C1(5，2),5,C2(4，4),,例3、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，现要建造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图设计方案是使AC=8，BC=6，求(1)三角形AB边上的高线CH。(2)设DN=x,NF=y,求y关于x的函数解析式。
10、(3)当x为何值时，水池DEFN的面积最大，最大为多少？,H,G,,练习（2003，潍坊）在RtABC中，C=90。，AC=4，BC=3，,（1）如图1，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长。,,练习（2003，潍坊）在RtABC中，C=90。，AC=4，BC=3，,（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与ABC，求正方形的边长,（1）如图1，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长。,,练习（2003，潍坊）在RtABC中，C=90。，AC=4，BC=3，,（3）如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于ABC，求正方形
11、的边长。,（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与ABC，求正方形的边长,（1）如图1，四边形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长。,,练习（2003，潍坊）在RtABC中，C=90。，AC=4，BC=3，,（4）如图4，三角形内有并排的个正方形，它们组成的矩形内节于ABC，请写出正方形的边长。,,正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直,（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当点M运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；,,（3）当点M运动到什么位置时Rt ABM Rt AMN求x的值,,练习,
