1、1初三数学第一轮总复习教案第十单元 解直角三角形【考纲解读】大纲要求：1.理解正弦、余弦、正切、余切的概念，并能运用；2.掌握正弦和余弦表、正切和余切表的查法，掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；3.掌握互为余角和同角三角函数间关系，并能运用它们进行计算或化简。4.理解直角三角形的概念及锥度、仰角和俯角、坡度和坡角、方向角和方位角的概念，灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力；5.掌握三角形的面积公式 S absin；126.理解正多边形的概念和性质，会画简单的正多边形，能将正多边形的边长、半径、边心距和中
2、心角的有关计算转化为解直角三角形；7.利用锐角三角函数和直角三角形，把“数”和“形”互相转化解决某些问题，用数形结合的重要数学思想指导本章解各类习题，通过添加适当的辅助线构造直角三角形把非直角三角形问题转化为解直角三角形的问题，使之得以解决，这些转化的思想值解数学题的重要数学思想，掌握综合性较强的题型融会贯通地运用数学的各部分知识，提高分析解决问题的能力。知识要点：问题三-三三锐角三角函数的定义和性质【例 1】在ABC 中，C=90（1） 若 cosA= ，则 tanB=_;（2）若 cosA= ，则 tanB=_1245答案：（1） （2） 34（1）AC=3，AB=6 （2）能，分两种情况
3、，S ABC =200 -150 和 SABC =200 +150 33230DCBA30DCBA（3）延长 BC，AD 交于 E，AD=400-100 ，BC=200 -2003【例 2】（1）已知：cos= ，则锐角 的取值范围是（ ）23A0cossin BsincostanCtansincos Dcotsincos答案：（1）A （2）A解直角三角形【例 3】（1）如图，在 RtABC 中，C=90，AD 是BAC的平分线，CAB=60，CD= ，BD=2 ，求 AC，AB 的长3（2）（2005 年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的花园 ABC，有人已经测出A=30，AC=40
4、米，BC=25 米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中 ABBC，CDAD，A=60，AB=200m，CD=100m，求 AD、BC 的长【点评】设法补成含 60的直角三角形再求解答案：（1）AC=3，AB=6 （2）能，分两种情况，S ABC =200 -150 和 SABC =200 +150 33 30DCBA30DCBA（3）延长 BC，AD 交于 E，AD=400-100 ，BC=200 -20033关于坡角【例 4】（2005 年济南市）下图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，它高出水平地面 24 米，从 A 到 B，从 B 到 C 是两段不同坡角的山坡
5、路山坡路 AB 的路面长 100 米，它的坡角BAE=5，山坡路 BC 的坡角CBH=12为了方便交通，政府决定把山坡路 BC 的坡角降到与 AB 的坡角相同，使得DBI=5（精确到 0.01 米）（1）求山坡路 AB 的高度 BE（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（sin5=0.0872，cos5=0.9962，sin12=0.2079，cos12=0.9781）答案：（1）8.72 （2）101.73 方位角.【例 5】（2006 年襄樊市）如图，MN 表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图，在点M 测得点 N 在它的南偏东 30的方向，测得另一点 A 在它的南偏东 60的方向
6、；取 MN上另一点 B，在点 B 测得点 A 在它的南偏东 75的方向，以点 A 为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知 MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？【点评】通过设未知数，利用函数定义建立方程来寻求问题的解决是解直角三角形应用中一种常用方法答案：不会坡度【例 6】（2005 年辽宁省）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为 1.2 米，下底宽为 2 米，坡度为 1：0.8 的渠道（其横断面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了 0.6 米（如图所示）求：（1）渠面宽 EF；（2）修 200 米
7、长的渠道需挖的土方数答案：4.88 710.44【巩固练习一】1（2005 年沈阳市）在ABC 中，AB=2，AC= ，B=30，则BAC 的度数是2_2计算 2sin30-2cos60+tan45=_3（2005 年辽宁省）在 RtABC 中，C=90，AB=5，AC=3，则 sinB=_4在ABC 中，若 BC= ，AB= ，AC=3，则 cosA=_275（2005 年陕西省）根据如图 1 所示的数据，求得避雷针 CD 的长约为_m（结果精确到 0.01m）（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin430.6820，sin400.6428，cos430.7314，cos400.7660
8、，tan430.9325，tan400.8391）(1) (2) (3)6如图 2 所示，太阳光线与地面成 60角，一棵倾斜的大树与地面成 30角，这时测得大树在地面上的影子约为 10 米，则大树的高约为_米（保留两个有效数字，1.41， 1.73）37李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如图 3 所示的育苗棚，棚宽 a=3m，棚顶与地面所成的角约为 25，长 b=9m，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需_m2（利用计算器计算，结果精确到 1m2）8（2005 年上海市）已知 RtABC 中，C=90，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）AsinB= BcosB= Ct
9、anB= DtanB=3233329点（-sin60，cos60）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ）A（ ， ） B（- ， ） C（- ，- ） D（-212121，- ）110每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣某同学站在离旗杆 12 米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为 30，若这位同学的目高 1.6 米，则旗杆的高度约为（ ）A6.9 米 B8.5 米 C10.3 米 D12.0 米11某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图 4 所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境已知这种草皮每平方米售价 30 元，则购买这种草皮至少需要（ ）A13500
10、 元 B6750 元 C4500 元 D9000 元(4) (5) (6)12如图 5 所示，在 300m 高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为 30和 60，则塔高 CD 为（ ）A200m B180m C150m D100m513某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成 80，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板 AC，使午间光线不能直接射入室内（如 图 6 所示），那么挡光板 AC 的宽度应为（ ）A1.8tan80m B1.8cos80m C m D1.8cot80m1.8sin014在ABC 中，C=30，BAC=105，ADBC，垂足
11、为 D，AC=2cm，求 BC 的长15在ABC 中，A、B 为锐角且 sinA= ，cosB= ，试判断ABC 的形状？12316（2006 年聊城市）如图所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高 6 米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面 15米处要盖一栋高20 米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 32时（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sin32 ，cos32 ）53101065,tan32817（2006 年金华市）如图所示，设 A 城气象台测得台风中心在 A城
12、正西方向 600km 的 B处，正以每小时 200km 的速度沿北偏东 60的 BF 方向移动，距台风中心 500km的范围内是否受台风影响的区域（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若 A 城受到这次台风的影响，那么 A 城遭受这次台风的影响有多长时间？6【巩固练习二】1（2006 年广州市）如图 1，A 市东偏北 60方向有一旅游景点 M，在 A 市东偏北 30的公路上向前行 800 米到 C 处，测得 M 位于 C 的北偏西 15，则景点 M 到公路 AC的距离 MN 为_米（结果保留根号）(1) (2) (3)2（2006 年海淀区）如图 2，B、C 是河岸边两点，A 是对
13、岸岸边一点，测得ABC=45，ACB=45，BC=60 米，则点 A 到岸边 BC 的距离是_米3（2005 年湘潭市）如 图 3，防洪大堤的横断面是梯形，坝高 AC 等于 6 米，背水坡 AB 的坡度 i=1：2，则斜坡 AB 的长为_米（精确到 0.1 米）4（2006 年山西省）如图 4，小明想测量电线杆 AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在山坡的坡面 CD 和地面 BC 上，量得 CD=4 米，BC=10 米，CD 与地面成 30角，且此时测得 1 米杆的影子长为 2 米，则电线杆的高度约为_米（结果保留两位有效数字，1.41， 1.73）3(4) (5) (6)5（2005 年临汾
14、市）小强和小明去测量一座古塔的高度（如图 5），他们在离古塔 60 米的 A 处，用测角仪器得塔顶的仰角为 30，已知测角仪器高 AD=1.5 米，则古塔 BE 的高为（ ）A（20 -1.5）米 B（20 +1.5 米）33C31.5 D28.56（2006 年新疆自治区）如图 6 是一台 54 英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图设DAO=，彩电后背 AD 平行于前沿 BC，且与 BC 的距离为 60cm，若 AO=100cm，则墙角 O到前沿 BC 的距离 OE 是（ ）A（60+100sin）cm B（60+100cos）cmC（60+100tan）cm D以上答案都不对7（2006 年
15、威海市）如图，河流的两岸 MN，PQ 互相平行，河岸 PQ上有一排间隔为 50米的电线杆 C、D、E某人在河岸 MN 的 A 处测得DAN=38，然后沿河岸走了 120米到达 B 处，测得CBN=70求河流的宽度 CF（精确到 0.1 米）78（2005 年哈尔滨市）如图，在测量塔高 AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的 C、D 两点，用测角仪器测得塔顶 A 的仰角分别是 30和 60已知测角仪器高CE=1.5 米，CD=30 米，求塔高 AB（答案保留根号）9（2005 年包头市）如图，某船以每小时 36 海里的速度向正东航行，在 A点测得某岛 C在北偏东 60方向上，航行半小时后
16、到 B 点，测得该岛在北偏东 30方向上，已知该岛周围 16 海里内有暗礁（1）试说明 B 点是否在暗礁区域处；（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由10（2005 年嘉兴市）如图，已知登山缆车行驶路线与水平线间的夹角 =30，=47小明乘缆车上山，从 A 到 B，再从 B 到 D 都走了 200 米（即 AB=BD=200 米），请根据所给数据计算缆车垂直上升的距离（计算结果保留整数）（以下数据供选用：sin470.7314，cos470.6820，tan471.0724）11如图所示，从一块矩形薄板 ABCD 上裁下一个工件 GEHCPD（阴影部分）图中EFBC，GHAB ，AEG
17、=1118，PCF=3342，AG=2cm，FC=6cm，求工件 GEHCPD 的面积（参考数据：tan1118 ，tan3342 ）1523812（2006 年常德市）如图所示，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度 i=1： ，斜坡 BD 的长是 50 米，在山坡的坡底处测得铁3架顶端 A 的仰角为 45，在山坡的坡项 D 处测得铁架顶端 A 的仰角为 60（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度（ 1.73，精确到 0.1 米）13（2006 年梅州市）梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆 AB 的高度如图所示，当阳光从正
18、西方向照射过来时，旗杆 AB 的顶端A 的影子落在教学楼前的坪地 C 处，测得影长 CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE 与地面的夹角为 =30在同一时刻，测得一根长为 1m 的直立竹竿的影长恰为 4m根据这些数据求旗杆 AB 的高度（可能用到的数据： 1.414， 1.732，结果保留两个有效23数字）14（2006 年鄂尔多斯市）高为 12 米的教学楼 ED 前有一棵大树 AB，如图所示（1）某一时刻测得大树 AB，教学楼 ED 在阳光下的投影长分别是 BC=2.5 米，DF=7.5米，求大树 AB 的高度；（2）现有皮尺和高为 h 米的测角仪，请你设计另一种测量大树 AB 高度的方
19、案，要求：在图中，画出你设计的图形（长度用字母 m，n表示，角度用希腊字母，表示）；根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度用字母表示9巩固练习一答案:1105或 15 21 3 4 5486 617 730 5738C 9A 10B 11C 12A 13D 1410（1+ ）cm 15等腰三角形 16（1）超市以上居民住房采光受影响，由计算和新楼在居民楼上的投影高约 11 米，故受影响 （2）若要使超市采光不受影响，两楼至少相距： =20 =32（米） 20tan38517（1）作 AMBF 可计算 AM=300km500km，故 A 城受影响 （2）受影响时间为 = 小时203巩固练习二答案:1200（ +1） 230 313.4 48.73 5B 6A 776.4 815 + 29（1）外 （2）BC=15.5916 10约 210 米 1148cm 2 12（1）25 米 （2）铁架高 25 43.3 米 13 8.9 米 314连结 AC，EF，（1）太阳光线是平行，ACEF，ACB=EFD，ABC=EDF=90，ABCEDF， ，2.5,17ABCEDFAB=4 米 （2）AB=（mtan+h）米
