1、2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新 课标2 卷带解析）一、选择题1.已知集合M=x|-3x1，N=-3，-2，-1 ，0 ，1，则MN= （ ）A-2，-1，0,1 B-3，-2 ，-1，0 C-2，-1，0 D-3，-2，-1 【答案】C【解析】因为集合M= ，所以MN= 0，-1， -2，故选C.【考点定位】本小题主要考查集合的运算（交集），属容易题，掌握一元二次不等式的解法与集合的基本运算是解答好本类题目的关键.2. =（ ）A B2 C D1【答案】C【解析】因为 ,所以 ,故选C.【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算、复数的模的概念,复数在高考中主要以小题形式出现
2、，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是等基础内容.3.设x，y满足约束条件 ，则z=2x-3y的最小值是（ ）A B-6 C D【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域可知，平面区域为三角形,当目标函数 表示的直线经过点(3,4)时， 取得最小值，所以 的最小值为 ,故选B.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.4.ABC的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c, 已知b=2 ，B= ，C= ，则ABC的面积为（ ）A B C D【答案】B【解析】由正弦定理可得： ，解得 ，又因为 ，
3、所以 的面积为 = = ，故 选B.【考点定位】本小题考查正弦定理与三角形的面积公式的应用等基础知识,属容易题,熟练本部分的基础知识是解答好本类题目的关键.5.设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P 是C上的点， ， = ，则 C的离心率为 （ ）A B C D【答案】D【解析】由题意,设 ，则 ， ，所以由 椭圆的定义知： ，又因为，所以离心率 为 ，故选D.【考点定位】本小题主要考查椭圆的定义、几何性质、数形结合与化归的数学思想，属中低档题，熟练椭圆的基础知识是解答好本类题目的关键.6.已知sin2= ， 则cos 2(+ )=（ ）A B C D【答案】A【解析】 = = = ,故选A
4、.【考点定位】本小题主要考查三角中的二倍角公式、诱导公式等公式的应用，属容易题，熟练基础知识是关键.7.执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S= （ ）A1B1+C 1+ + + +D1+ + + +【答案】B【解析】当k=1时,计算出的T=1，S=1；当k=2 时 ,计算出的T= ，S=1+ ；当k=3 时 ,计算出的T= ，S=1+ + ；当k=4 时 ,计算出的T= ，S=1+ + + ,故选B.【考点定位】本小题主要考查了程序框图的基础知识，解答本类题目的关键是搞清楚是一个什么样的算法、最后算到哪一步结束，程序框图经常与其它知识结合起来考查（如数列求和等），难度不大.8.设
5、a=log 32,b=log52,c=log23,则（ ）Aa cb Bbca Cc ba Dcab【答案】D【解析】因为 最大，故排除A、B；又因为 ， ，且，所以 ，故选D.【考点定位】本小题主要考查对数的运算、对数换底公式、对数函数的性质(单调性) 等基础知识，属中低档题，熟练对数部分的基础知识是解答好本类题目的关键.9.一个四面体的顶点在空间直角坐系O-xyz中的坐 标分别是（1，0 ， 1），（1 ，1，0），（0 ，1，1 ），（0，0，0 ），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为（ ）（A） （ B） （C） （D）【答案】A【解析】由题意可知：
6、该四面体为正四面体，其中一个顶点在坐标原点，另外三个顶点分别在三个坐标平面内，所以以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为选项A.【考点定位】本小题主要考查立体几何中三视图的有关知识，考查同学们的空间想象能力，属中档题.10.设抛物 线C:y 2=4x的焦点为F ，直线 过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则 的方程 为（ ）Ay=x-1或y=-x+1By= （X-1）或y= （x-1）C y= （x-1）或 y= （x-1 ）Dy= （x-1）或y= （x-1）【答案】C【解析】由题意,可设 ，则 ，设直线 与抛物线的准线相交于点M，则由抛物线的定义可知： ，所以直线 的倾
7、斜角为 或 ，即直线 的斜率为 ，故选C.【考点定位】本小题主要考查抛物线的定义、直线方程的求解、数形结合以及转化的数学思想，考查分析问题、解决问题的能力.11.已知函数 f(x)= ,下列结论中错误的是（ ）A , f( )=0B函数y=f(x) 的图像是中心对称图形C若 是f(x)的极小 值点，则f(x) 在区间（-, ）单调递减D若 是f（x）的极值点，则 ( )=0【答案】C【解析】由题意知：导函数 的图象开口向上，若 是f(x)的极小值点，则是方程 =0的较大根，所以选项C错误.【考点定位】本小题考查函数与导数的关系，利用导数求函数的极值点等问题是这部分的重点知识.12.若存在正数x
8、 使2 x（x-a）1成立，则a 的取值范围是（ ）A（- ，+） B(-2, +) C(0, +) D（-1，+）【答案】D【解析】由题意知，存在正数 ，使 ，所以 ，而函数 在 上是增函数，所以 ，所以 ，故选D.【考点定位】本小题主要考查不等式、分离参变量、函数的单调性等知识，考查转化与化归等数学思想，考查分析问题以及解决问题的能力.二、填空题1.从1， 2，3， 4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率 为_.【答案】0.2【解析】从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,所有的取法共有 种，其和为5的只有两种，即、 ，所以其概率为 =0.2.【考点定位】本小题主要考查古典概型，
9、属中档题，正确理解古典概型是解答好本类题目的关键.2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =_.【答案】2【解析】以点B为原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，则A（0，2），E（2，1），D（2 ， 2），B（0，0），所以 ，所以 =2.【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积，难度不大，熟练平面向量的数量积的定义以及平面向量的坐标运算是解答好本类题目的关键.3.已知正四棱锥O-ABCD的体积为 ，底面边长为 ，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_.【答案】【解析】设棱锥的高为 ，则由棱锥的体积公式可得： = ，所以 ，所以= ，即为球的半径，所以球的表面 积为 .
10、【考点定位】本小题主要考查空间几何体的外接球、棱锥的体积公式、球的表面积公式、棱锥中有关元素的计算等基础知识的应用，考查空间想象能力、分析问题、解决问题的能力.4.函数 的图像向右平移 个单位后，与函数 的图像重合，则 =_.【答案】【解析】因为原函数解析式为 ，所以图象平移后的解析式为= ，所以 ，解得 .【考点定位】本小题主要考查诱导公式、三角函数的图象变换等基础知识，这两部分知识都是高考的热点内容之一，几乎年年必考，熟练其基础知识是解答好本类题目的关键.三、解答题1.已知等差数列a n的公差不为零，a 1=25，且 ， ， 成等比数列.（）求 的通项公式；（）求 +a4+a7+a3n-2
11、.【答案】（） （）【解析】（）设a n的公差为 ，由题意， ，即 ，于是 ，又a 1=25，所以 （舍去）或 ，故 的通项公式为 .（）令 ,则由（）知 ，故 是首项为25 ，公差为的等差数列，从而 = = .本题第（）问，由基本量的计算，可以得出公差 ，从而由等差数列的通项公式求出 ;第（）问,在等差数列 中，每隔两项拿出一项得到的新数列仍成等差数列，公式差为 ，可以等差数列的前n项和公式求出结果.对第（）问，基本量的计算是高考常考的一个重点内容，注意细心计算确保正确率；准确解答第（）问的关键是熟练等差数列的性质以及前n项和公式.【考点定位】本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n
12、项和公式，考查分析问题、解决问题的能力.2.如图，直三棱柱ABC-A 1B1C1中，D,E分别是AB，BB 1的中点.（）证明： BC1/平面A 1CD;（）设AA 1= AC=CB=2，AB=2 ，求三棱锥C一A 1DE的体积.【答案】（）见解析（）【解析】（）连结 ，交 于点F ，连结DO，则F为 的中点，因为D为AB 的中点，所以FD ，又因为FD 平面 ， 平面 ，所以 /平面 ；（）因为ABC-A 1B1C1是直三棱柱，所以 CD，由已知AC=CB，D为AB 的中点，所以CDAB，又 ，于是CD 平面 ，即CD是三棱锥C一A 1DE的高，由AA 1= AC=CB=2，AB=2 得，
13、，CD= ， ， ， ，故 ，即DE ，所以 .本题第（）问，以直三棱为载体，证明空间的线面平行，可以应用线面平行的判定定理，一般情况下，遇到中点想中位线的思想要用上，同时用上侧面为平行四边形的条件;第（）问,求三棱锥的体 积，可以证明CD平面 ，即CD 是此三棱锥的高，底面为直角三角形，从而可求出结果.对第（）问，证明线面平行时,容易漏掉条件 平面 ；对第（）问，注意步骤，必须先证明哪个是三棱锥的高，然后再分步求出高与底面积，代入体积公式求出结果.【考点定位】本小题以直三棱柱为载体，主要考查空间中的直线与直线、直线与平面位置关系的证明、三棱锥体积的求解，考查化归与转化思想，考查空间想象能力、
14、分析问题与解决问题的能力.3.经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的 频率分布直图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以 （单位：t，100 150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产 品的利润.（）将T表示 为 的函数；（）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.【答案】（） （）0.7【解析】（）当 时， = ，当 时， ，所以 .（）由（）知利润T不少于57000元，当且仅当 ，由直方图知需求量的频率为0.7
15、，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000 元的概率的估计值为0.7.本题第（）问，讨论自变量 的取值范围, 最后写成分段函数形式.本题的易错点是第（）问忘记讨论自变量的范围.【考点定位】本小题主要考查统计与概率、频率、平均数、频率分布直方图等基础知识，属中档题目，考查同学们分析问题与解决问题的能力.4.在平面直角坐标系xOy中，己知 圆P在x轴上截得线段长为2 ，在 轴上截得线段长为 .（）求圆心P 的轨迹方程;（）若P点到直 线y=x的距离 为 ，求圆P的方程.【答案】（） （） 或【解析】（）设 圆P的半径为 ，由题设 ， ，从而 .故P点的轨迹方程 为（）由题意可知， ，即 ，又由
16、（）知 ，所以解得，当 时 ， ， ，此时圆P的方程为 或 ；当 时，因为 ，所以不合题意，综上所述，圆P 的方程为 或本题第（）问，设圆心 然后由圆中的重要直角三角形结合已知条件列出两个等式，化简即可得到;第（）问,由点到直线的距离公式可得出 ，再结合（），即可求出圆心P的坐标 与圆的半径，从而写出 圆的方程.对第（）问，一部分同学不知道如何下手,想不到那个圆中的重要直角三角形，所以在复习时，要多注意规律方法的总结；第（）问,容易漏解，所以在日常复习时，要加强计算能力.【考点定位】本小题主要考查轨迹方程的求解、圆的方程的求法，考查分类讨论思想、转化与化归思想，考查分析问题与解决问题的能力.5
17、.己知函数 .(I)求f(x)的极小 值和极大值；(II)当曲线y = f(x)的切线 的斜率为负数时，求 在x轴上截距的取值范围.【答案】(I) 0 (II) 或【解析】（）由题意知， 的定义域为R，因为 ，所以令得： ，解得 ；令 ，解得 或 ，所以当时， 0；当 时 ， ；（）由题意知， ，即 或 ，不难解出。本题第（）问，要求函数 的极值，先求函数 的定义域、导数、判断导数的正负，可以得出结果;第（）问,先由导数小于0，解得 的取值范围，然后结合直线的截距式方程写出直线，即可求出。对第（）问，一部分同学们容易忽视定义域的求解；第（）问,一部分同学找不思路，所以在日常复习中，要加强导数基
18、本题型的训练.【考点定位】本小题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.6.如图，CD 为 ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D， E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B, E, F,C四点共圆。证明：（）CA 是ABC 外接圆的直径;（）若DB=BE=EA.求过B, E, F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.【答案】见解析【解析】（）因为CD为ABC 外接圆的切线，所以 ，由题设知 ，故
19、，所以 ，因为B、E、F、C四点共圆，所以 ，故 ，所以 ，因此CA是ABC外接圆的直径.（）设DB=BE=EA= ，则由切割线定理可得：，解得 ，由（1）知：CA是ABC外接圆的直径，所以 ，AC CD，解得AC= ，CE= ，所以过B、E、F 、C 四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值为= .本题第（）问，由两个三角形相似可得出角相等,再由四点共圆,得出 ,从而得证;第（）问,由切割 线定理以及B、E、F、C四点共圆, 可以得出两圆的半径,从而得出面积的比值.对 第（）问，不容易找到这两个三角形相似;第（）问中两个圆半径的求出容易出错.【考点定位】本小题主要考查圆的切线、割线、圆内接四
20、边形、勾股定理等平面几何知识，考查数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力.7.已知动点 ，Q都在曲线C： （为参数）上，对应参数分别为与 （0 2），M 为PQ的中点。（）求M的轨 迹的参数方程（）将M到坐 标原点的距离 d表示为 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。【答案】（） ,( 为参数, )（ ）过坐标原点【解析】（）由题意有, , ,因此 ,M的 轨迹的参数方程为 ,( 为参数, ).（）M点到坐 标原点的距离 为，当 时， ，故M 的轨迹过坐标原点.本题第（）问，由曲线C 的参数方程 ,可以写出其普通方程 ,从而得出点P 的坐标,求出答案; 第（）问，由互化公式可得.对第（）问，极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.8.设a，b ，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（）ab+bc+ac ；（）【答案】见解析【解析】（）由 ， ， 得：，由题设得 ，即，所以，即 .（）因为 ， ， ，所以 ，即 ，所以 .本题第（）（）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
