1、习 题 课随机变量的数字特征,一、内容小结,二、例题分析,三、补充练习,一、内容小结,1. 随机变量的数字特征的意义,分布函数 密度函数,数学期望 描述了随机变量的平均取值均值,详细地描述了随机变量的概率分布情况,相关系数 描述了X与Y的线性相关程度,方 差 描述了随机变量的取值与期望的偏离程度,协方差： 刻画两随机变量之间的关系,方差 D(X),协方差 Cov(X,Y)Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),D(X)=EX-E(X)2D(X)=E(X2)-E2(X),相关系数 XY,数学期望 E(X),函数Y=H(X),连续型,离散型,在
2、定义式中用H(x)代替x,2. 常用的数字特征的定义式与计算式,E(X2) = D(X) +E2(X),计算期望的六个公式：,3. 常用的数字特征的性质,数学期望E(aX+b)=aE(X)+b E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(XY)=E(X)E(Y) X,Y相互独立 方差D(aX+c)=a2D(X),D(X+Y)=D(X)+D(Y) X,Y相互独立 相关系数,X与Y相互独立,Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),有特殊情况,独立性与数字特征关系图,4. 几个常用的分布的数字特征,分布,(0-1)分布,二项分布,泊松分布,指数分布,均匀分布,正态分布,分布律或概率密度函数,期望,
3、方差,p,pq,np,npq,5. 其它,契比雪夫不等式,设Xn为相互独立的随机变量序列，E(Xi)存在,D(Xi)M，(i=1，2， 则对 0，有,契比雪夫(大数定律)定理,独立同分布中心极限定理,设X1,X2,Xn,独立同分布，E（Xn）=，D（Xn）= 20，则,例1 P98T2 将3只球随机地逐个放入4只编号为1,2,3,4的盒子中,以X表示至少有一只球的盒子的最小号码,试求E(X)。,xk=1,2,3,4,关键是求pk，样本点的总个数为43=64,用对立事件计算: k=4时, p4=1/64,分析:离散型,用公式,直接计算,k=1时, p1=(43-33)/64=37/64,k=3时
4、, p3=(23-1)/64=7/64,k=2时, p2=(33-23)/64=19/64,二、例题分析,例2 P99T8 将n只球(1n)随机地放进n只盒子中去,一只盒子只能装一只球。若一只球装入与球同号的盒子中去,则称为一个配对. 记X为总的配对数,求E(X).,则有,利用性质E(X+Y)=E(X)+E(Y),关键是把X写成某些随机变量的和的形式， 若记,分析:,X的取值为: 0,1,2, ，n。,用求分布律的方法十分困难,E(Xi)=1(1/n)=1/n,所以 E(X)=n E(Xi)=1,这是一个典型的离散型的分布求数学期望的问题。,例3 设随机变量X的概率密度为,求Y=1/X2的数学
5、期望和方差。,解:,这样,Y的数学期望存在但方差不存在,发散,例4P99T12设二维随机变量（X,Y)具有概率密度,（2）求 Cov(X,Y),解：（1） 先求fX(x),fY(y),求（1）X与Y是否相互独立。,X与Y不相互独立。,没有必要计算, Cov(XY)=0,例5 已知随机变量(X,Y)服从二维正态分布,并且X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),X与Y的相关系数为-1/2,设Z=X/3+Y/2(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z); (2)求X与Z的相关系数 .,解: (1) E(Z)=E(X)/3+E(Y)/2=1/3.,注意到 D(X)=9,D(Y)=16,而
6、,本题难点在于熟练掌握计算性质.,1、 设随机变量X与Y独立, 且X服从数学期望为1, 标准差(均方差)为 的正态分布,而Y服从标准正态分布,试求随机 变量 Z=2X-Y+3的概率密度函数.,解: 由于Z为独立正态随机变量X与Y的线性组合, Z仍然服从正态分布,故只需确定Z的数学期望E(Z)和方差D(Z).,由期望和方差的性质:,所以Z服从正态分布N(5,9), 从而得Z的概率密度函数为:,三、补充练习,P100 20、某个单位设置一个电话总机，共有200个分机。设每个分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线通话时可供使用。,查表得,分析：设X 表示同时要求使用外线的分机数，,由隶莫佛拉普拉斯定理:,E(X)=np=10, D(X)=np(1-p)=9.5,m 为总机需配备外线条数，,而 XB(200,0.05),求使 PX m 0.9成立的最小m,故总机需配备14条外线,
