1、1,寄 语,欲流之远者，必浚其泉源；,求木之长者，必固其根本；,-魏征谏太宗十思疏,2,第22章,第一节、第一型曲面积分(或：对面积的曲面积分),第三节、高斯(Gauss)公式与斯托克(Stokes)公式,曲面积分,第22章,本章内容：,第二节、第二型曲面积分(或：对坐标的曲面积分),第四节、场论初步（只讲一部分）,3,第2节 第二型曲面积分 (或：对坐标的曲面积分),一、曲面的侧,二、第二型曲面积分的概念,第22章,本节内容：,三、第二型曲面积分的计算,四、两类曲面积分的联系,4,一、曲面的侧, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,
2、(单侧曲面的典型),5,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,6,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,7,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,8,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,9,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,10,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,11,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,12,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,13,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,14,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,15,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,16,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,17,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,18,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,19,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,20,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为
3、右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧, 设 S 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示 :,其面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定:,类似可规定:,21,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面 S 的流量E .,分析: 若 S 是面积为S 的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,22,23,对一般的有向曲面S ,用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得, 则,24,设 S 为光滑的有向曲面, 在 S 上定义了一个,意分割和在局部
4、面元上任意取点,分,记作,P, Q, R 叫做被积函数;,S 叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对S的任,2. 定义.,25,引例中, 流过有向曲面 S 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面S上对 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面S上对 x, y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面S上对 y, z 的曲面积分;,若记 S 指定侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,26,3. 性质,(1) 若,之间无公共内点, 则,(2) 用S 表示 S 的反向曲面, 则,27,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理22 . 2 设光滑曲面,取上侧,是 S
5、上的连续函数, 则,证:,S 取上侧,28, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 S 取下侧, 则,29,解: 把 S 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例1. 计算曲面积分,其中 S 为球面,外侧在第一和第八卦限部分. (p286例1. ),30,31,例2.计算,解：,32,由对称性可得：,特别此题改为：,33,计算时应该注意,1、 对于不同坐标的曲面积分，,应有不同的表达式。,并分别代入被积函数中消去一个变量。,2、根据,的表达式，确定它在某个坐标面上的投影区域,3、化为二重积分、号的确定必须根据,指定的侧,决定。,34,例3. 计算,其中
6、S 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.( P289 习题1(2) ),解:,利用(轮换)对称性.,原式,S 的顶部,取上侧,S 的底部,取下侧,35,例4. 设S 是球面,的外侧 , 计算,解: 利用轮换对称性, 有,（补充）,36,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,37,令,向量形式,38,例5. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为,解:,（补充）,39,例6. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,（补充）,40,例7. 计算曲面积分,其中S,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z=
7、 0,及 z = 2 之间部分的下侧. （补充）,41,原式,42,内容小结,定义:,1. 两类曲面积分及其联系,43,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?,两类曲线积分的定义一个与 S 的方向无关, 一个与 S,44,2. 常用计算公式及方法,面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,(1) 统一积分变量,代入曲面方程 (方程不同时分片积分),(2) 积分元素投影,第一类： 面积投影,第二类： 有向投影,(4) 确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,45,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .,46,思考与练习,是平面,在第四卦限部分的上侧 , 计算,提示:,求出 S 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,1. 设,作业： P289 1 (1) ,(3) , (5) ; 2 ；4,47,备用题 1. 求,取外侧 .,解:,注意号,其中,48,利用轮换对称性,49,其中,取下侧。,解：,其中：,把,2,是旋转抛物面,下侧,分成两部分：,50,取前侧；,取后侧。,51,52,四、两类曲面积分的联系,其中：,代入上式有：,第二型曲面积分化为第一型曲面积分的关键是如何,求出,53,令,向量形式,
