1、插 值 法 基 本 思 路,张兴元2011年8月,一元多项式插值,教学内容 插值问题 插值问题求解方法（重点） 线性插值 二次插值n次插值 分段线性插值 Hermite插值 分段三次Hermite插值 样条插值函数（难点） 要求 掌握以上方法的原理及其在MATLAB中的实现方法,插值问题,1. 提法 已知 n+1 个节点 (xj , yj)，j=0,1,，n，其中 xj 互不相同，不妨设a=x0x1xn=b，求任一插值点 x*(xj) 处的插值 y*。(xj，yj)可以看成是由某个函数 y=g(x) 产生的，g 的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式，也可以未知。 2、求解的基本思路 构造
2、一个相对简单的函数y=f(x)，使 f(x) 通过全部节点，即 f(xj)=yj（j=0,1,n），再用 f(x) 计算插值，即 y*=f(x*)。f(x)称为插值函数。 如果 f(x) 为 k 次多项式，f(x) 就是插值多项式，此时插值为代数插值； 如果 f(x) 为有理函数，就是有理插值； 如果 f(x) 为三角函数，则为三角插值。,多项式插值-线性插值,y=f(x)函数表,线性插值-两点式方程,Lagrange 插值：,是 l0(x) 和 l1(x) 的线性组合,基函数：,线性插值-点斜式方程,均差：,Newton插值：,一阶均差的一般定义：,线性插值-余项,？ 两种不同的构造方式（L
3、agrange和Newton）效果一样吗？,此处一样！,？ 两种不同的构造方式（Lagrange和Newton）可以推广到多个点吗？,可以！,多项式插值-二次插值,y=f(x)函数表,二次插值-Lagrange基函数方法,Lagrange 插值：,二次插值-Newton均差法,二阶均差：,Newton插值：,二次插值-余项,【例1】 已知,，试利用插值法近似计算 。,【解】,有几位有效数字？,多项式插值-n次插值,y=f(x)函数表 ( xi 互不相同 ),存在吗？ 唯一吗？ 如何构造？,n次插值-存在性、唯一性,存在且唯一！,n次插值-插值多项式的构造,方法一：Lagrange型插值多项式,
4、基函数：,基函数的特点：,Lagrange插值多项式,n次插值-插值多项式的构造,方法二：Newton型插值多项式,均差表或 差商表,Newton插值多项式：,n次插值-插值余项与事后误差估计,插值余项,其中,事后误差估计方法,误 差,n次插值-示例,【例2】基于5个点（k,cos(k)），k=0,1,2,3,4，(1) 构造f(x)=cos(x)的差商表；(2) 并用差商表找出牛顿插值多项式的系数；(3) 写出四次牛顿插值多项式N4(x)；(4) 计算 N4(2.5)。,【解】,第一步，明确插值点(xk,yk)； 第二步，构造差商表； 第三步，写出相应的牛顿插值多项式N4(x)； 第四步，计
5、算近似值 N4(2.5)。,多项式插值的震荡性质,用 Lagrange 插值多项式 LN(x) 近似 f(x)(axb)，虽然随着节点个数的增加，LN(x)的次数 N 更大，多数情况下误差|RN(x)|会变小。但是 N 增加时，LN(x)的光滑性变坏，有时会出现很大的震荡。理论上，当 N时，在a，b内并不能保证 LN(x)处处收敛于f(x)。,Runge给出了一个有名的例子：,多项式插值的震荡性质,Runge给出了一个有名的例子：,多项式插值的震荡性质,高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。,多项式插值-分段线性插值,是线性函数,多项式插值-分段线性插值,分段线性插值
6、函数为：,余项估计为：,多项式插值-分段线性插值,分段线性插值多项式 L1(x) 的图像 上是连接各插值点的一条折线, 如右图:y=sin(x)的插值逼近图形变化。 特点：,曲线的光滑性较差,在节点处有尖点,增加节点，减小步长，会改善效果。,若f(x)在a,b上连续，则,多项式插值-Hermite插值,考虑只有两个节点的插值问题,如何选择基函数,多项式插值-Hermite插值,希望插值系数与Lagrange插值一样简单，假设,其中,多项式插值-Hermite插值,可知,由,可得,Lagrange 插值基函数,类似可得,即,将以上结果代入,多项式插值-Hermite插值,多项式插值-Hermit
7、e插值,得两个节点的三次Hermite插值公式,多项式插值-Hermite插值的插值余项,两点三次Hermite插值的余项为,【例3】,多项式插值-Hermite插值的插值余项,【解】:,作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值。,多项式插值-Hermite插值的插值余项,多项式插值-分段三次Hermite插值,可构造两点三次Hermite插值多项式,多项式插值-分段三次Hermite插值,其中,分段三次Hermite插值多项式， 余项为,多项式插值-样条函数插值,分段插值的思想及优缺点
8、1、思想：将图形分段，每段为一个低阶多项式 Sk(x)，并在相邻点之间进行多项式插值，组成一个分段的多项式曲线。 2、分类：（1）、分段线性插值优点：简单；缺点：连续但不光滑，曲率不连续变化。（2）、分段二次多项式插值优点：简单；缺点：偶数点 x2k 处曲率变化很大，曲率不连续变化。 3、改进方法：利用分段三次样条插值：分段三次多项式，连续，光滑，曲率连续变化，多项式的次数较低。,多项式插值-样条函数插值,什么是样条:,是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘 出光滑的外形曲线(放样)所用的工具,样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线,在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的
9、,1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数,多项式插值-样条函数插值,1. 三次样条插值函数的定义,多项式插值-样条函数插值,2. 确定三次样条插值函数的条件,多项式插值-样条函数插值,多项式插值-样条函数插值,3. 三次样条插值函数的构造方法,3.1 用节点处一阶导数表示的三次样条插值函数,多项式插值-样条函数插值,多项式插值-样条函数插值,多项式插值-样条函数插值,整理后，得到,引入记号,则有方程组,多项式插值-样条函数插值,该方程组为三对角方程组，可以利用追赶法求解。,多项式插值-样条函数插值,多项式插值-样条函数插值,多项式插值-样条函数插值,3.2 用节点处二阶导数表示的三次样条插值函数,多项式插值-样条函数插值,多项式插值-样条函数插值,其中,多项式插值-样条函数插值,多项式插值-样条函数插值,（1） 压紧样条,多项式插值-样条函数插值,（2） 自然样条,多项式插值-样条函数插值,二元插值,依据数据的规则与否，常见可分为规则数据和散乱数据插值。,
