1、 堆排序及算法分析前言记得在学习数据结构的时候一味的想用代码实现算法，重视的是写出来的代码有一个正确的输入，然后有一个正确的输出，那么就很满足了。从网上看了许多的代码，看了之后貌似懂了，自己写完之后也正确了，但是不久之后就忘了，因为大脑在回忆的时候，只依稀记得代码中的部分，那么的模糊，根本不能再次写出正确的代码，也许在第一次写的时候是因为参考了别人的代码，看过之后大脑可以进行短暂的高清晰记忆，于是欺骗了我，以为自己写出来的，满足了成就感。可是代码是计算机识别的，而我们更喜欢文字，图像。所以我们在学习算法的时候要注重算法的原理以及算法的分析，用文字，图像表达出来，然后当需要用的时候再将文字转换为
2、代码。记忆分为三个步骤：编码，存储和检索，就以学习为例，先理解知识，再归纳知识，最后巩固知识，为了以后的应用而方便检索知识。堆排序过程堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即 APARENTi = Ai。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。既然是堆排序，自然需要先建立一个堆，而建堆的核心内容是调整堆，使二叉树满足堆的定义（每个节点的值都不大于其父节点的值）。调堆的过程应该从最后一个非叶子节点开始，假设有数组 A = 1, 3, 4, 5, 7, 2, 6, 8, 0。那么调堆的过程如下图，数组下
3、标从 0 开始，A3 = 5 开始。分别与左孩子和右孩子比较大小，如果 A3最大，则不用调整，否则和孩子中的值最大的一个交换位置，在图 1 中是 A7 A3 A8，所以 A3与 A7对换，从图 1.1 转到图 1.2。所以建堆的过程就是1: for ( i = headLen/2; i = 0; i+)2: 3: do AdjustHeap(A, heapLen, i)调堆：如果初始数组是非降序排序，那么就不需要调堆，直接就满足堆的定义，此为最好情况，运行时间为 (1)；如果初始数组是如图 1.5，只有 A0 = 1 不满足堆的定义，经过与子节点的比较调整到图 1.6，但是图 1.6 仍然不满
4、足堆的定义，所以要递归调整，一直到满足堆的定义或者到堆底为止。如果递归调堆到堆底才结束，那么是最坏情况，运行时间为 O(h) (h 为需要调整的节点的高度，堆底高度为 0，堆顶高度为 floor(logn) )。建堆完成之后，堆如图 1.7 是个大根堆。将 A0 = 8 与 AheapLen-1交换,然后 heapLen减一，如图 2.1，然后 AdjustHeap(A, heapLen-1, 0)，如图 2.2。如此交换堆的第一个元素和堆的最后一个元素，然后堆的大小 heapLen 减一，对堆的大小为 heapLen 的堆进行调堆，如此循环，直到 heapLen = 1 时停止，最后得出结果
5、如图 3。1: /*2: 输入：数组 A，堆的长度 hLen，以及需要调整的节点 i3: 功能：调堆4: */5: 6: void AdjustHeap(int A, int hLen, int i)7: 8: int left = LeftChild(i); /节点 i 的左孩子9: int right = RightChild(i); /节点 i 的右孩子节点10: int largest = i;11: int temp;12: 13: while(left = 0; i-)51: 52: AdjustHeap(A, hLen, i); 53: 54: 55: 56: /*57: 输入：
6、数组 A，待排序数组的大小 aLen58: 功能：堆排序59: */60: void HeapSort(int A, int aLen)61: 62: int hLen = aLen;63: int temp;64: 65: BuildHeap(A, hLen); /建堆66: 67: while (hLen 1)68: 69: temp = AhLen-1; /交换堆的第一个元素和堆的最后一个元素70: AhLen-1 = A0;71: A0 = temp;72: hLen-; /堆的大小减一73: AdjustHeap(A, hLen, 0); /调堆74: 75: 性能分析 调堆：上面已
7、经分析了，调堆的运行时间为 O(h)。 建堆：每一层最多的节点个数为 n1 = ceil(n/(2(h+1),因此，建堆的运行时间是 O(n)。 循环调堆（代码 67-74） ，因为需要调堆的是堆顶元素，所以运行时间是 O(h) = O(floor(logn)。所以循环调堆的运行时间为 O(nlogn)。总运行时间 T(n) = O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)。对于堆排序的最好情况与最坏情况的运行时间，因为最坏与最好的输入都只是影响建堆的运行时间 O(1)或者 O(n)，而在总体时间中占重要比例的是循环调堆的过程，即 O(nlogn) + O(1) =O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)。因此最好或者最坏情况下，堆排序的运行时间都是 O(nlogn)。而且堆排序还是 原地算法（in-place algorithm）。结尾如果不太了解 O, 等渐进符号的，可以参考博文:计算机算法分析之渐进记号。 上述文章是我的学习笔记，如有错误，还望不吝赐教。
