1、4 直接三角分解法一、教学设计1教学内容：Doolittle 分解法、 Crout 分解法，紧凑格式的 Doolittle 分解法、部分选主元的 Doolittle 分解法。2重点难点：紧凑格式的 Doolittle 分解法、部分选主元的 Doolittle 分解法。3教学目标：了解直接三角分解法的基本思想，掌握基本三角分解法及其各种变形。4教学方法：讲授与讨论。二、教学过程在上节中我们用矩阵初等变换来分析 Gauss 消去法，得到了重要的矩阵 分解定理（定理 3.1，3.2） 。由此我们将得到LUGauss 消去法的变形：直接三角分解法。直接三角分解法的基本想法是，一旦实现了矩阵 A 的 分
2、解，那么求解方程LU组 的问题就等价于求解两个三角形方程组bxA（1） ，求 ；y（2） ，求 。x而这两个三角形方程组的求解是容易的。下面我们先给出这两个三角形方程组的求解公式；然后研究在 或LA时， 的元素与 A 的元素之间的直接关系。LUPA,40 三角形线性方程组的解法设， nnlllL211 1212nnuuU 则 为下三角形方程组，它的第 个方程为byi ),21(1,211 ibyllyll iiiiijj 假定 ，按 的顺序解得：0i n,),32(/1nilbyyliijji 上三角形方程组 的第 个方程为xU),21(1, niyxuxuxuniiinijj 假定 ，按 的
3、顺序求解得：02,n )1,2,(/1 niuyxxyijjii41 基本的三角分解法设矩阵 的各阶顺序主子式均不为零，由定理nijaA)(3.1，A 有 分解如下LUnnrnrrr nraaaa 21 2221 11 LUuuullll nrrnrnrnr 22211121211比较等式两边的第 1 行上的相应元素，得 的第 1 行元素：U（4.4）),2(niaui比较等式两边的第 1 列上的相应元素（从第 2 开始） ，得的第 1 列元素：L（4.5）),3(1iuli 比较等式两边的第 2 行上的相应元素（从第 2 开始） ，得iiiula21故得 的第 2 行元素：U),3(22 n
4、uiii 比较等式两边的第 2 列上的相应元素（从第 3 开始） ，得，221iii aul得 的第 2 列元素：L ),43(22 nialii 假设已求得 的第 1 至 行， 的第 1 至 列，比较等式UrLr两边的第 行上的相应元素（从第 开始） ，得r rnnrnrr rrrrrr aulull lll ,1,21 1,1,21 即 ),(iariki 故得 的第 行元素：Ur（4.6）),32;,1,(1 nrriulaukiri 比较等式两边的第 列上的相应元素（从第 开始） ，得1rnrnrrnrnr rrrrrr aullull llll ,1,21 ,2,2,2,2 1211
5、 即 ),2,(,1iallrirki 故得 的第 列元素：Lr（4.7）)1,32;,1(,1 nrnriulalrkiiir 称由（4.4）（4.7）式所表示的矩阵分解为 Doolittle 分解。它的计算顺序为： 的第 1 行 的第 1 列 的第 2 行ULU的第 2 列 的第 行 的第 列 的第 行Lrr1n 的第 列 的第 行。(r 从 1 到 n 循环即可！)1nn实现了系数矩阵 A 的 Doolittle 分解后，求解方程组 的bxA问题就等价于求解两个三角形方程组（1） ，求 ；yL（2） ，求 。利用 40 节有关结论，立得 DoolittleyxU分解相应的求解公式为： )
6、,32(11 nrylbyriir )1,2,(/1nruxxrniirn类似地，可以推导 Crout 分解的计算公式： ),;,(1rilalkriiri )1,2;,1(1 nrnriluuriri 它的计算顺序为：的第 1 列 的第 1 行 的第 2 列 的第 2 行LULU的第 列 的第 行 的第 列 的第 行rr1n1n的第 行nCrout 分解相应的求解公式为： ),32(/11 nrlybylrriir )1,(1xuxnriirn小结：Doolittle 分解计算：A LU1计算 的第 1 行元素：U),2(1niaui如果 ，则计算停止。01u2计算 的第 1 列元素：L),
7、32(niali 3对于 r,（1）计算 的第 行元素：Ur),1,(1niulaukrii 如果 ，则计算停止。0（2）计算 的第 列元素：L),2,1(,1 nriulalrrkiiir 4求解计算： yxbUL,),32(11 nrylbyriir )1,2,(/1nruxxrniirn例：用 Doolittle 法解方程组 72501394213041x直接利用公式计算，从中总结 Doolittle 分解的计算规律（图示中还可清楚地看到存贮情况）：Gauss 消去法逐步对 A 施加变换，逐步获得 L，U，而Doolittle 分解公式则集中了前 r-1 次变换，一次性付诸实施。的第 1
8、 行与 的第 1 列：ULnnnaa 212112的第 2 行与 的第 2 列： UL，nniniiii niaallal uu 211 nniniiii niaall uul 21222111的第 3 行与 的第 3 列：UL， nninn iiiii niiaall aal uu 321 333231 22111 nninn iiiii niiaall uul 321 333231 22111的第 行与 的第 列（ ）： UrLr,32 nninrrnn iiirrii rnrirrr nirr aallll aall uuu 1,1,1,1 ,1,1, 1,11 nninrrnn iii
9、rrii rnrirrr aallll uullu 1,1,1,1 ,1,1,最后计算 的第 行（实际上只有一个元素 ） 。Unnunnnnnallu1,1, 1,11 注意在计算 和解 的公式中，如果将 看作 的第 列，UybA1n它们遵循着相同的规则。事实上，由 ，得yLU,，据此，我们可得到紧凑格式的 Doolittle 分解：),(),(1byAL即将上述分解过程处理的对象由 A 改为增广矩阵 ，用),(b同样的方法处理第 列，从而在获得系数矩阵的 Doolittle1n分解 的同时，存放在增广矩阵第 列中的元素就是 。U, 1ny(注意此时在公式（4.4） （4.6）中计算 时， 应
10、到 为止，riu1n编程计算时，应注意所有 的元素都存贮在增广矩阵yx,UL中)紧凑格式的 Doolittle 分解的算法设计：小结：分解计算：ALU1对于 nr,32,1（1）计算 的第 行元素：Ur )1,(11 nriaulaurkikiirii 如果 ，则计算停止。0（2）计算 的第 列元素：L ),2,1(,11 nriaulal rrkiirrkiiiri 4求解计算： yxbU, )1,2,(/ 1,1,1,1, nraauyx rniirnrrniir nn例：用紧凑格式的 Doolittle 法解上述例子中的方程组。A =2 10 0 -3 10-3 -4 -12 13 51
11、 2 3 -4 -24 14 9 -13 7r=12 10 0 -3 10 -3/2 -4 -12 13 5 1/2 2 3 -4 -2 2 14 9 -13 7 r=22 10 0 -3 10 -3/2 11 -12 17/2 20 1/2 -3/11 3 -4 -2 2 -6/11 9 -13 7 r=32 10 0 -3 10 -3/2 11 -12 17/2 20 1/2 -3/11 -3/11 -2/11 -17/11 2 -6/11 -9 -13 7 r=42 10 0 -3 10 -3/2 11 -12 17/2 20 1/2 -3/11 -3/11 -2/11 -17/11 2
12、 -6/11 -9 -4 -16 L =1 0 0 0 -3/2 1 0 0 1/2 -3/11 1 0 2 -6/11 -9 1 U =2 10 0 -3 0 11 -12 17/2 0 0 -3/11 -2/11 0 0 0 -4 y =10 20 -17/11 -16 x =1 2 3 4 42 部分选主元的 Doolittle 分解1部分选主元的三角分解法当用分解法解方程组时，从第 步 分解计算公式可r),21(n知： ),1,(1nriulaurkiri ),2,(,1rilrrkiiir 当 时，分解计算将中断；或 ，但 很小时，按上0ru 0ruru式计算 进行计算可能引起舍入误
13、差的累积、扩大。因此，irl可采用与列主元消去法类似方法，先选列主元，再进行分解计算，即将直接三角分解法修改为部分选主元的三角分解法（部分选主元的 Doolittle 分解法与列主元消去法在理论上是等价的） 。设用紧凑格式的 Doolittle 法已完成了第 （ 步分1r)nr解，则增广矩阵 A 的元素如下：),(rb 1,1,1 , 11,111, , nnnrrnn rrrrr nnraallll uuu 第 步分解，为避免用绝对值小的数作除数，首先在 A 的第r列主对角元以下（含主对角元）选主元。具体步骤如下：1对于 进行（部分）选主元的分解计算(实际 r,2从 1 到 n-1 即可，因
14、第 n 步不需要选主元，而在分解计算中，只需在完成循环后，补充 A（n,n+1 ）的计算)（1）计算中间量 作为可能的主元，并存入,1(nriSira ),1,(11 nriaularkriikriirir （2）挑选绝对值最大的 ，即确定行号 ，使满足iSr。iniriSrmax（3）交换两行：当 时，交换 A 的第 行与第 行的对应riri元素，交换后的元素以它在 A 中所处的新位置记，此时处在 A 的第 位置的元素就是主元 交换前的 交),(r ru)(riaS换后的 应该是 中绝对值最大者。ra),1,(nriS（4） 分解计算（以下两步可调换次序，因 已计算）r（ 已)1,(11 n
15、iaulukrrirkiirii ri算出）（ ）时),2,(,1 nriaSulal riirrkiiiri r程序自动不做。按上述方法完成分解，便实现了系数矩阵分解 （只LUPA是 P 没有记录下来） 。于是解 等价于解 ，或bxAbx，即 且 的解 已解出，存放在 AbxLUyxbyUPL,PLy的第 列中，接下来只要解 即可得最终解 。1n2求解计算 )1,2,(/ 1,1,1,1, nraauxyx rniirnrrniir n例：用部分选主元的 Doolittle 法解方程组 142946313x解：r=1中间量1 -1 3 1 2 -4 6 4 4 -9 2 1 134 -9 2
16、 1 2 -4 6 4 1 -1 3 1 分解计算4 -9 2 1 1/2 -4 6 4 1/4 -1 3 1 r=2中间量4 -9 2 1 1/2 1/2 6 4 1/4 5/4 3 1 234 -9 2 1 1/4 5/4 3 1 1/2 1/2 6 4 分解计算4 -9 2 1 1/4 5/4 5/2 3/4 1/2 2/5 6 4 r=3分解计算4 -9 2 1 1/4 5/4 5/2 3/4 1/2 2/5 4 16/5 L =1 0 0 1/4 1 0 1/2 2/5 1 U =4 -9 2 0 5/4 5/2 0 0 4 y =1 3/4 16/5 x =-12/5 -1 4/5
17、 2紧凑格式的 Doolittle 法用于解系列方程组 ),21(mjAj bx令 ),(121mBXx则解系列方程组相当于解矩阵方程 ，实现系数矩阵分BAX解 后，解 等价于解 ，或以下两个三LUPAXPLU角形矩阵方程（1） 求矩阵 ；（2） 求矩阵,Y)(1mYy,Y)(mXx2利用（部分选主元）Doolittle 法紧凑格式对增广矩阵施行 Doolittle 分解，可同时求得 ，然后解 m 个上),(BAU,三角形方程组 ),21(jUj yx解为 ),21,(,/1 mjnruyyxmrnkkjjrjjnj 例：用部分选主元 Doolittle 法紧凑格式解矩阵方程 ，BAX其中，
18、，34102A842016B421312xX解：r=1中间量1 -1 2 -1 -8 -16 2 -2 3 -3 -20 -40 1 1 1 0 -2 -4 1 -1 4 3 4 8 122 -2 3 -3 -20 -40 1 -1 2 -1 -8 -16 1 1 1 0 -2 -4 1 -1 4 3 4 8 分解计算2 -2 3 -3 -20 -40 1/2 -1 2 -1 -8 -16 1/2 1 1 0 -2 -4 1/2 -1 4 3 4 8 r=2中间量2 -2 3 -3 -20 -40 1/2 0 2 -1 -8 -16 1/2 2 1 0 -2 -4 1/2 0 4 3 4 8
19、232 -2 3 -3 -20 -40 1/2 2 1 0 -2 -4 1/2 0 2 -1 -8 -16 1/2 0 4 3 4 8 分解计算2 -2 3 -3 -20 -40 1/2 2 -1/2 3/2 8 16 1/2 0 2 -1 -8 -16 1/2 0 4 3 4 8 r=3中间量2 -2 3 -3 -20 -40 1/2 2 -1/2 3/2 8 16 1/2 0 1/2 -1 -8 -16 1/2 0 5/2 3 4 8 342 -2 3 -3 -20 -40 1/2 2 -1/2 3/2 8 16 1/2 0 5/2 3 4 8 1/2 0 1/2 -1 -8 -16 分解
20、计算2 -2 3 -3 -20 -40 1/2 2 -1/2 3/2 8 16 1/2 0 5/2 9/2 14 28 1/2 0 1/5 -1 -8 -16 r=4分解计算2 -2 3 -3 -20 -40 1/2 2 -1/2 3/2 8 16 1/2 0 5/2 9/2 14 28 1/2 0 1/5 -2/5 -4/5 -8/5 L =1 0 0 0 1/2 1 0 0 1/2 0 1 0 1/2 0 1/5 1 U =2 -2 3 -3 0 2 -1/2 3/2 0 0 5/2 9/2 0 0 0 -2/5 y =-20 -40 8 16 14 28 -4/5 -8/5 x =-7
21、-14 3 6 2 4 2 4 43 部分选主元的 Doolittle 法的算法设计矩阵方程 ，其中 ，BAXnijaA)(是 维列向量。),21,)(21 mbBmnij b是未知矩阵。xx一存贮方法用二维数组 存放系数矩阵 A 和右端项 B。紧凑):1,(nA格式分解过程产生的辅助量 及矩阵 的元素覆),(nriSYUL,盖数组 A 相应位置上的元素。最后解 ， 的元素存放X在数组 A 的第 到 列中。m二算法：用部分选主元的 Doolittle 直接三角分解法解矩阵方程。1对于 nr,32,1（1）计算 的第 行元素：Ur ),1,(11 mnriaulaurkkikiriiri 如果 ，则计算停止。0r（2）计算 的第 列元素：L ),2,1(,11 nriaulal rrkiirrkiiiri 2求解计算： YUXBL,对于 mnnj2,1 )1,2,(/ 11 nrauxyx rnkkjjrjriir jj
