1、 第六章 定积分应用测试题 A 卷一、填空题（20 分）1、定积分 表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程20axadx是 .2、设一放射性物质的质量为 ，其衰变速度 ，则从时刻 到 此物mtdmqt1t2质分解的质量用定积分表示为 .3、抛物线 与 轴所围成图形的面积 .23yxO4、由极坐标方程 所确定的曲线及 所围扇形的面积为 .,二、选择题（20 分）1、曲线 及 轴所围图形的面积 ，则 ln,l,ln(0)yxaybayA（A） ; （B） ;lnbadbaexd（C） ; （D） .lye lnbe2、曲线 下方与该曲线过原点的切线左方及 轴右方所围成的图形面积 .xyA（A
2、） ; （B） ;10ed 1lleyd（C） ; （D） .1x 0n3、曲线 上 一段弧长 .2ln()y1xs（A） ; （B） ;1220d 120xd（C） ; （D） .1220x1220ln()x4、矩形闸门宽 米，高 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力 .ah F（A） ; （B） ;0had 0ahd（C） ; （D） .122三、解答题1、 （10 分）求曲线 与纵轴所围成图形的面积.3(4)yx2、 （10 分）求由圆 绕 轴旋转而成的环体的体积.225163、 （10 分）试证曲线 的弧长等于椭圆 的周长.sin(0)2xy4、 （10 分）设半径为 1的球正好
3、有一半浸入水中，球的密度为 1，求将球从水中取出需作多少功？5、 （20 分）设直线 与抛物线 所围成yax2yx图形的面积为 ，它们与直线 所围成的图形1S1面积为 .并且 .如图 6.25.2（1） 试确定 的值，使 达到最小，并a12S求出最小值；（2） 求该最小值所对应的平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积. xX2S1A 1yaxY图 6.25第六章 定积分应用测试题 B 卷一、填空题（20 分）1、求曲线 所围图形面积 （上半平面部分） ，则 .22,8xyyAA2、曲线 所围图形面积 .3cos1csrr3、求曲线 从 到 一段弧长 .in,xty0ts4、曲线 所围成的图形绕
4、 轴旋转一周所,2,0axay与 直 线 及 Ox得旋转体的体积 .V二、选择题（20 分）1、曲线 所围图形的面积为 ，则 ,2yxA（A） ; （B） ;2l1()d 2l1()xd（C） ; （D） .22l l()ydy22l l()xd2、摆线 一拱与 轴所围成的图形绕 轴旋转的旋转体体积sin,01coxatxx V（A） ; （B）220satd;201coinat（C） ; （D） .220ssitat 2201cosatd3、星形线 的全长 3cinxayt（A） ; （B） ;2204sec3osintatdt 0224sec3osintatdt（C） ; （D） .20i
5、ttt 02ittt4、半径为 的半球形容器，每秒灌水 ，水深 ，则水面上升速度是 abha（A） ; （B） ;20hdy 220hdyad（C） ; （D） .b ()b三、解答题1、 （13 分）由两条抛物线 所围成的图形.22,yx（1）计算所围成图形的面积 ；A（2）将此图形绕 轴旋转，计算旋转体的体积.2、 （15 分）由曲线 ，直线 及 轴所围图形记作 ，23yxxD（1）求 绕 轴旋转所得旋转体的体积；D（2）求 绕直线 旋转所得旋转体的体积；（3）求以 为底且每个与 轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积.x3、 （12 分）曲线 与 轴在第一象限内所围图形记作 ，试在曲线2
6、4cosrD上求一点 ，使直线 把 分成面积相等的两部分.24cosrMOD4、 （10 分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为 的半椭圆，短轴为其上,ab沿，上沿与水面平行，且位于水下 处，试求观察窗所受的水压力. c5.(10 分) 求曲线 ， ， ， 所围成的平面图形的面积 S，并求xy20y1x3该平面图形绕 y轴旋转一周所得的旋转体的体积。综合测试题 A 卷答案一、填空题1、上半圆 ，直线 和直线 ； 2yaxyax2a2、 ； 3、 ；4、 .1tqd21d二、选择题1、C; 2、A; 3、B； 4、A.三、解答题1、先求交点，令 得 ，故 ，及曲线与纵轴交点为0x26y1
7、28,y.又 ，所以 .0,8,342388(4)5Sxdyd2、因为 而 ，所求环体体积是由半圆 与半2516,yx4 216,x圆 绕 轴旋转生成的旋转体体积之差，即.4222()(516)160Vxxd 3、因为椭圆方程为 ，即 ，则其参数方程为2y2y，cos0inxty由椭圆关于 轴的对称性，所以周长,.222210 04sico41sinsttdtd而曲线 的弧长in()yx.2222004141cossydxdt22041sintd故 .124、将球提出水面的力等于露出水面部分的重量，其数值等于球露出水面部分的体积： 320()(),3h hzd其中 为球心向上移动距离（ ） ，
8、故将球从水中取出所作的功为01.3102213()()2hWd5、解（1）当 时（如图一）a122120aSxxd.331()()3ax令 ，得 ，又210S220,S则 是极小值及最小值.其值为 112.366当 时， ，0a0122120aSxdxada，2()单调减少，故 时， 取得最小值，此时 .S0S13S综合上述，当 时， 为所求最小值，最小值为 .12a26(2) 1144202()()xVxdxd.1553 31202660xx综合测试题 B 卷答案一、填空题1、 ； 2、 ；22(8)xd 22320311(cos)(cos)dd 3、 ；4、 0at2(a二、选择题1、C;
9、 2、B; 3、B； 4、D三、解答题1、 （1） .3121200 xAxd（2）2514100 .V2、 （1） 绕 轴旋转所得旋转体的体积Dy120423d（2） 绕直线 旋转所得旋转体的体积x2204Vy（3）以 为底且与 轴垂直呈等边三角形的的立体的平行截面的面积为D24193sin3Sxxx因此平行截面的面积为 的立体体积.243097235Vxd3、设 为曲线上一点，则截下部分的曲边扇形面积0,Mr0021 014cos2inSrdd的面积 .D24400由条件 ，即得 ，所以 .对应的 ，故1S01sin01204cos236r点 的极坐标为 . M23,4、 建立如图 6.2
10、6 所示的坐标系椭圆方程为 ，则21xyab200abPgcdgcxdx令 ，则 .sinxat 220 1sino43Pttgabc 其中 为水的密度，g 为重力加速度.5.解：所求面积 ，(图 6.27)21S。dxS21)( 32)1(84)31232)()(。3489B yAX图 6.26o3x12y)3,(S图 6.27。21S平面图形 绕 轴旋转一周所得旋转体体积y dyydV)12()(01201， 634(34yy平面图形 绕 轴旋转一周所得旋转体体积2SdyydyV )12(27)1(73030 ， 64396(42故所求旋转体的体积 。4312V解法 2：（薄壳法）dxdxdxfV 32131 )()()(322 324214x 9)36()5481()()463(。
