高考数学综合复习(五) 应用问题.doc-道客多多

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1、优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 高考数学综合复习( 五) 应用问题一、专题简介著名数学家华罗庚曾说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学可见数学在现实生活中的应用之广泛从 93 年开始，为考察考生的分析问题与决问题的能力，在高考数学试题中引入了一定数量的联系生产和生活实际以及相关学科的应用问题高考中的应用性问题是指具有实际背景或具有实际意义的数学问题，以考察学生的数学知识、方法与能力为主，着重考察学生应用数学的意识高考中出现的应用性问题，大体可分为三类：第一类是教科书或其它书籍中已经出现过的，从实际生活中概括

2、出来的应用性问题第二类是与横向学科，如化学、物理、生物等有联系的问题第三类是有实际生活背景，题意新颖的应用问题解数学应用问题从一般步骤是：一要阅读理解，认真审题，分析题意，认清已知条件及要求的结论二要理清各种量（已知与已知、已知与未知）之间的关系，紧紧抓住各种变量之间的关系，分析各种制约条件，将实际问题转化为数学问题三构造模型、通过对各种关系的分析，形成数学框架，转化为函数、方程、不等式、数列等数学问题，再设法去解决二、例题分析优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 1.代数应用题例 1在测量某物理量的过程中，因仪器和观测的误差，使得 n 次测量分别得到a1

3、,a2,an 共 n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从 a1,a2,an 推出的a=_ 分析：本题是与其它学科相关的数学应用问题，要正确理解题意，并能把文字语言转化为符号语言解：依题意，本题即是求使的最小值时，a 的取值，故当时，f(a)最小例 2.中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必纳锐，超过 500 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过 500 元的部分 5%超过 500 元至 2000 元的

4、部分 10%超过 2000 元至 5000 元的部分 15%某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800900 元（B）900 元1200 元（C）12001500 元（D）15002000 元分析：注意分类讨论思想的应用思路一：若收入 1300 元应纳税：5005%=25 元26.78 元此人收入低于 1500 元，排除 D，故选 C 思路 2：设全月应纳税所得额为 x 元当 x87.5 可知，h(t)在区间0，300 上可以取得最大值 100，此时 t=50，即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大例 5 某企业年初有

5、资金 1000 万元，如果该企业经过生产经营每年资金增长率均为50%，但每年年底都要扣除消费基金 x 万元，余下资金投入再生产，为实现经过 5 年资金达到 2000 万元（扣除消费资金后），那么每年扣除消费基金 x 应是多少万元（精确到万元）？解：依题意，第一年年底扣除消费资金后，投入再生产资金为 1000+100050%x=1000第二年投入再生产资金为优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 第五年投入再生产资金为化简得：故 x424（万元）答：每年扣除消费资金为 424 元说明：本题关键是寻求每年投入再生产资金的规律，构造数列模型来解题例在某海滨城市附近海

6、面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向西偏北 45方向移动，)102(cos台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速度不断增大问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解：如图建立坐标系：以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向 .在时刻：t（h）台风中心的坐标为),(yP.20173,0tyx此时台风侵袭的区域是，22)()(tryx其中 t+60，0)(tr若在 t 时，该城市 O 受到台风的侵袭，则有 ,)601()()( 222tyx即 ,)601()2017303 22

7、ttt即，解得 .862t 4t优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 答：12 小时后该城市开始受到台风气侵袭例、有三个新兴城镇，分别位于 A，B，C 三点处，且 AB=AC=a，BC=2b. 今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处，（建立坐标系如图）（）若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小，点 P 应位于何处？（）若希望点 P 到三镇的最远距离为最小，点 P 应位于何处？本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. （）解：由题设可知，记设 P 的坐标为（0，），则 P 至,

9、标为当时,点 P 的坐标为(0,0), 其中bh);2,0(2bah2a优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 解法二:P 至三镇的最远距离为由.|,| ,)(22yhbyhg当当解得|2yhb记于是,y,2*b.|,)(*2yhg当当当的图象如图，因此，当时，函数取得最g()zb,0*时即y (a)*y)(yg小值.当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小,*(y),时h(b)0)(值.答：当时，点 P 的坐标为当，点 P 的坐标为（0，0），其中bh);2,0(bah.2a解法三：因为在ABC 中，AB=AC= 所以ABC 的外心

10、M 在射线 AO 上，其坐标,为，),0(2b且 AM=BM=CM. 当 P 在射线 MA 上，记 P 为 P1；当 P 在射线 MA 的反向延长线上，记 P 为 P2，若（如图 1），则点 M 在线段 AO 上，ah2这时 P 到 A、B、C 三点的最远距离为P1C 和 P2A，且 P1CMC，P2AMA，所以点 P 与外心 M重合时，P 到三镇的最远距离最小.若 (如图 2),则点 M 在线段 AO 外,这时bah2P 到 A、B、C 三点的最远距离为 P1C 或 P2A，且 P1COC，P2AOC，所以点 P 与 BC 边中点 O 重合时，P 到三镇的最远距离最小为 .优质资源共

11、创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 答：当时，点 P 的位置在ABC 的外心bah2；当时，点 P 的位置在原点 O.)2,0( 2例、某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过万%6 60量，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设 2002 年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万1b2b3辆，每年新增汽车万辆，则x，301bb94.12对于，有nx.1bn)94.01(2 )94.0.(. 11 nnnxb94.0.1nxx)6.3

12、(0.当，即时，8.13011bbn当，即时，并且数列逐项增加，可以任意靠近.xx06.xnblim94.0)6.3(0li 1n6.x因此，如果要求汽车保有量不超过 60 万辆，即6n),21(则，即（万辆）0.x6.3x综上，每年新增汽车不应超过万辆。.例、某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元。该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过 100 件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低 0.02 元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过 500 件。（I）设一次订购量为 x 件，服装的实际出厂单价为 P 元，写出函数的表达

13、式；fx()优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ （II）当销售商一次订购了 450 件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润实际出厂单价成本）本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。解：（I）当时，01xP60当时，15xx216250.()所以 PfxxN() ()6250（II）设销售商的一次订购量为 x 件时，工厂获得的利润为 L 元，则LxxN() ()401250502当时，5L8因此，当销售商一次订购了 450 件服装时，该厂获利的利润是 5850 元。例、本题共有 2 个小题，第一小题满分 6

14、分，第 2 小题满分 8 分.某市 2003 年共有 1 万辆燃油型公交车。有关部门计划于 2004 年投入 128 辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加 50%，试问：(1) 该市在 2010 年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？31解.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中na,5.,28qa则在 2010 年应该投入的电力型公交车为（辆）。45.286617q(2)记，依据题意，得。于是（辆），即nnaaS21 310nS 0.1)(nS，3657.则有因此。所以，到 201

15、1 年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车,.8总量的。12几何应用题例如右图，设田地喷灌水管 AB 高出地面 1.5 米，在 B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出水流是抛物线状，喷头 B 与水流最高点 C 的连线与水平地面成 45角，若 C 比 B 高出 2 米，在所建的坐标系中，求水流的落地点 D 到点 A 的距离是多少米？分析：本题要构造解析几何模型，其关键是确定抛物线的方程优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 解. 依题可知.BE=CE=2（米）， CF=CE+EF=3.5（米），点 B 的坐标为（0,1.5）抛物线的方程为由于它经过点 B，

16、故 4a=2, . 故抛物线的方程为当 y=0 时，即水流落地点 D 和点 A 的距离为例 7.如右图是抛物线型拱桥，设水面宽 AB=18 米，拱项离水面的距离为 8 米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形 CDEF （1）若矩形的长 CD=9 米，那么矩形的高 DE 不能超过多少米才能使船通过拱桥？（2）求矩形面积 S 的“临界值”M：即当 SM 时，适当调整矩形的长和高，船能通过拱桥；而当 SM 时，无论怎样调整矩形的长和高，船都不能通过拱桥分析：本题确切指明是抛物线型，因此关键是确定抛物线段的方程解：（1）如图，以 O 点为原点，过 O 平行 AB 的直线为 x 轴以线段

17、AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系则 B（9，8）设抛物线方程为 (p0) B 点在抛物线上， 81=2p（8）优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 抛物线的方程为当时，y= 2，|DE|=6，所以当矩形的高 DE 不超过 6 米时，才能使船通过拱桥（2）设则|CD|=2x, 当且仅当即 ,8 取得最大值 32 平方米，矩形面积 S的临界值 M 为。例、如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22 米，要求通行车辆限高 4.5 米，隧道全长 2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。（1）若最大拱高 h 为 6 米，则隧道设计的拱宽 l 是多

18、少？（2）若最大拱高 h 不小于 6 米，则应如何设计拱高 h 和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为。柱体体积为：底面积乘以高。本题结果均精确到lhS40.1 米）（单位：米） h 4.5 l 2 优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 解（1）如图建立直角坐标系，则点 P（11，4.5）椭圆方程为 12byax将与点 P 坐标代入椭圆方程，得，此时6hb 74a3.782al因此隧道的拱宽约为 33.3 米。（2）解一由椭圆方程 12byax得 15.42ba因为，即，且ab5.4.29bhal，2所以 94l

19、hS当 S 取最小值时，有，得215.412ba29ba，此时 .6.32hl，故当拱高约为 6.4 米，拱宽约为 31.1 米时，土方工程量最小解二由椭圆方程，得12byax15.42ba于是 48122b 128)412(48)21(22 aa即，当 S 取最小值时，有9b 22a得，，以下同解一21a例、 2003 年 10 月 15 日 9 时， “神舟”五号载人飞船发射升空，于 9 时 9 分 50 秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆。选取坐F2标系如图所示，椭圆中心在原点。近地点 A 距地面 200km，远地点 B 距地面 350km

20、。已知优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 地球半径 R6371km。（I）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；（II）飞船绕地球飞行了十四圈后，于 16 日 5 时 59 分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约，问飞船巡天飞行的平均速度是多少 km/s？6105km（结果精确到 1km/s）（注： km/s 即千米/秒）本小题主要考查椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分 14 分解：（I）设椭圆的方程为由题设条件得xayb21acOAFB|263706572解得所以c645， a24193ba2267561()所以椭圆的方程为 xy2241

21、93491（注：由得椭圆的方程为，也是正确65768. xy2264561.的。）（II）从 15 日 9 时到 16 日 6 时共 21 个小时，合 213600 秒减去开始的 9 分 50 秒，即 96050590（秒），再减去最后多计的 1 分钟，共减去59060650（秒）得飞船巡天飞行的时间是（秒）2136057490平均速度是（千米/秒）所以飞船巡天飞行的平均速度是 8km/s。07458例、A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A1，A 2，A 3，B队队员是 B1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：对阵队员

22、A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率A1 对 B1 3231A2 对 B2 55A3 对 B3现按表中对阵方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分，设 A 队、B 队最后所得总分分别为、（1）求、的概率分布；ByF1O2Ax优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ （2）求 E，E.本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力解：（1）、的可能取值分别为 3，2，1，0.75823)(P758，231)1(2530P根据题意知 + =3，所以 P( =0)=P(=3)= , P(=1)=P( =2)= 7587528P( =

23、2)=P(=1)= , P(=3)=P(=0)= .523（2）；因为 +=3，所以 1017283E .1523E三、巩固练习1.某种细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过 3 小时，这种细菌由 1 个可以繁殖成（）（A）511 个（B）512 个（C）1023 个（D）1024 个 2. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3min 漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，设 H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则 H 与下落时间 t（min）的函数关系的图示只可能是（）优质资源共创辉煌中国校长网教学资源

24、频道 http:/ 3.1992 年底世界人口达到 54.8 亿，若人口的年平均增长率为 x%,2000 年度世界人口数为 y（亿），那么 y 与 x 的函数关系式是_ 4.某商店每月利润稳步增长，去年 12 月份的利润是当年 1 月份利润的 k 倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为( ). （A）（B）（C）（D） 5.造纸厂用若干台效率相同的抽水机从河里往蓄水池灌水，若所有机械同时开动，则需24 小时灌满水池，若一台接一台地开动，每相邻两台启动时间间隔都相同，那么灌满水池时，第一台的工作时间是最后一台的 7 倍，问第一台工作了多少时间？ 6.某化工厂生产某种化工产品，根据市场调查，

25、年产量需不小于 150 吨且不大于 220吨这时，其生产的总成本 y（万元）与年产量 x(吨) 之间的函数可近似的表示为（）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本（）若每吨平均出厂价为 16 万元，求年产量为多少吨时，可获得最大的年利润；并求出最大年利润 7.某地区上年度电价为 0.8 元/kwh，年用电量为 akwh，本年度计划将电价降到 0.55 元/kwh 到 0.75 元/kwh 之间，而用期望电价为 0.4 元/kwh，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（此例系数为 k）该地区电力的成本价为 0.3 元/kwh （）写出本年度

26、电价下调后，电力部分的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式；优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ （）设 k=0.2a,当电价最低定为多少时，可保证电力部分的收益比上年至少增长 20%？（注：收益=实际用电量（实际电价成本价）四、练习解析1.选（B）.提示：细菌繁殖的问题是一个等比数列问题，其首项为 1，公比为 2，经过 3 小时分裂 9 次，因此末项是 a10 2.选（B），提示：圆柱中液面上升速度为一个常量，即相同时间内漏入圆柱中的液体体积相同，则在圆锥漏斗中，相同时间内保持漏出液体体积相同，是 H 的增长越来越快 3. 4.选（B）提示：设一月份为 a，月

27、平均增长率为 m,则 5.解：设有 n 台抽水机，每相邻两台启动时间间隔为 d 小时，最后一台工作时间为 t 小时，依题意，得. t=6 答：第一台工作时间为 42 小时6解：（）每吨平均成本为（万元）则当且仅当即 x=200 时取等号又 150200220，年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低为 10 万元（）设年获得总利润为 Q 万元，则而 Q 在时是增函数， x=220 时，优质资源共创辉煌中国校长网教学资源频道 http:/ 年产量为 220 吨时，可获得最大利润 1280 万元 7.解：() 设下调后的电价为 x 元/kwh，依题意知：用电量增至电力部门的收益为 ()依题意，有整理得解此不等式组得 0.60x0.75 答：当电价最低定为 0.60 元/kwh 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%

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