1、1高中数学竞赛讲义（十一）圆锥曲线一、基础知识1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0b0)，参数方程为 （ 为参数）。若焦点在 y 轴上，列标准方程为(ab0)。23椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆，a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为
2、，与右焦点对应的准线为 ；定义中的比 e 称为离心率，且 ，由c2+b2=a2知 0b0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若 P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5几个常用结论：1）过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为；2）斜率为 k 的切线方程为 ；3）过焦点 F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为。6双曲线的定义，第一定义：满足|PF 1|-|PF2|=2a(2a0)的点 P 的轨迹；3第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线方程为，参
3、数方程为 （ 为参数）。焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(a, b0),a 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为 离心率 ，由 a2+b2=c2知 e1。两条渐近线方程为 ，双曲线 与 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b，则称为等轴双曲线。9双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线 ，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若
4、P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若 P（x,y）在左支上，则|PF 1|=-ex-a，|PF 2|=-ex+a.42) 过焦点的倾斜角为 的弦长是 。10抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F 坐标为 ，准线方程为 ，标准方程为 y2=2px(p0)，离心率 e=1.11抛物线常用结论：若 P(x0, y0)为抛物线上任一
5、点，1）焦半径|PF|= ；2）过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为 的弦长为 。12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为 O，从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点 P，记|OP|=,xOP=，则由（，）唯一确定点 P 的位置，（，）称为极坐标。13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P，若 01，则点 P的轨迹为双曲线的一支；若 e=1，则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 。二、方法与例题51与定义有关的问题。例 1 已知定点 A（2，1），F 是椭圆 的左焦
6、点，点 P为椭圆上的动点，当 3|PA|+5|PF|取最小值时，求点 P 的坐标。解 见图 11-1，由题设 a=5, b=4, c= =3, .椭圆左准线的方程为 ，又因为 ，所以点 A 在椭圆内部，又点 F 坐标为（-3，0），过 P 作 PQ 垂直于左准线，垂足为 Q。由定义知 ，则 |PF|=|PQ|。所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+ |PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左准线于 M)。所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把 y=1 代入椭圆方程得 ，又 xb0）.F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为 。连结 ，OP
7、，则 。所以|FP|+|PO|= (|FA|+|A |)=a.所以点 P 的轨迹是以 F，O 为两焦点的椭圆（因为 a|FO|=c），将此椭圆按向量 m=( ,0)平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为解法二 相关点法。设点 P(x,y), A(x1, y1)，则，即 x1=2x+c, y1=2y. 又因为点 A 在椭圆上，所以 代入得关于点 P 的方程为7。它表示中心为 ，焦点分别为 F 和 O 的椭圆。例 4 长为 a, b 的线段 AB，CD 分别在 x 轴，y 轴上滑动，且A，B，C，D 四点共圆，求此动圆圆心 P 的轨迹。解 设 P(x, y)为轨迹上任意一点，
8、A，B，C，D 的坐标分别为A(x- ,0), B(x+ ,0), C(0, y- ), D(0, y+ ), 记 O 为原点，由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐标表示为 ，即当 a=b 时，轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x；当 ab 时，轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线；当 a0, b0)的右焦点 F 作 B1B2 轴，交双曲线于 B1，B 2两点，B 2与左焦点 F1连线交双曲线于 B 点，连结B1B 交 x 轴于 H 点。求证：H 的横坐标为定值。证明 设点 B，H，F 的坐标分别为(asec,btan), (x 0, 0), (c, 0)，则 F1，B
9、1，B 2的坐标分别为(-c, 0), (c, ), (c, )，因为 F1，H 分别是直线 B2F，BB1 与 x 轴的交点，所以所以 9。由得代入上式得即 （定值）。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。例 7 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在准线上，且 BC/x 轴。证明：直线 AC 经过定点。证明 设 ，则 ，焦点为 ，所以 ， ， ，。由于 ，所以 ?y2- y1=0，即 =0。因为 ，所以 。所以，即 。所以 ，即直线 AC 经过原点。例 8 椭圆 上有两点 A，B，满足 OA OB，O 为原点，求证： 为
10、定值。10证明 设|OA|=r 1,|OB|=r2,且xOA=,xOB= ，则点A，B 的坐标分别为 A(r1cos, r1sin),B(-r 2sin,r 2cos)。由A，B 在椭圆上有即 +得 （定值）。4最值问题。例 9 设 A，B 是椭圆 x2+3y2=1 上的两个动点，且 OA OB（O 为原点），求|AB|的最大值与最小值。解 由题设 a=1，b= ,记|OA|=r 1,|OB|=r2, ，参考例 8可得 =4。设 m=|AB|2= ,因为 ，且 a2b2，所以，所以 br 1a，同理 br 2a.所以 。又函数f(x)=x+ 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当 t=1 即|
11、OA|=|OB|时，|AB|取最小值 1；当 或 时，|AB|取最大值 。11例 10 设一椭圆中心为原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，若圆 C： 1 上点与这椭圆上点的最大距离为 ，试求这个椭圆的方程。解 设 A，B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为，半径 |CA|=1，因为|AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C 共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值 ，所以|BC|最大值为因为 ；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t, ,t，椭圆方程为 ，并设点 B 坐标为B(2tcos,tsin)，则|BC| 2=(2tcos) 2+ =3t2
12、sin2-3tsin+ +4t2=-3(tsin+ )2+3+4t2.若 ，则当 sin=-1 时，|BC| 2取最大值 t2+3t+ ，与题设不符。若 t ,则当 sin= 时，|BC| 2取最大值 3+4t2，由 3+4t2=7得 t=1.所以椭圆方程为 。5直线与二次曲线。12例 11 若抛物线 y=ax2-1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点，试求 a 的取值范围。解 抛物线 y=ax2-1 的顶点为(0,-1)，对称轴为 y 轴，存在关于直线 x+y=0 对称两点的条件是存在一对点 P(x1,y1)， (-y1,-x1)，满足 y1=a 且-x 1=a(-y1)2-1，相减
13、得 x1+y1=a( ),因为 P 不在直线 x+y=0 上，所以 x1+y10,所以 1=a(x1-y1)，即 x1=y1+所以 此方程有不等实根，所以 ，求得 ，即为所求。例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆 相交，（ 1）求 b 的范围；（2）当截得弦长最大时，求 b 的值。解 二方程联立得 17x2+16bx+4(b2-1)=0.由 0，得 0)，则动点的轨迹是_.133椭圆 上有一点 P，它到左准线的距离是 10，它到右焦点的距离是_.4双曲线方程 ，则 k 的取值范围是_.5椭圆 ，焦点为 F1，F 2，椭圆上的点 P 满足F 1PF2=600，则 F 1PF2的面积是_.6直线
14、 l 被双曲线 所截的线段 MN 恰被点 A（3，-1）平分，则 l 的方程为_.7ABC 的三个顶点都在抛物线 y2=32x 上，点 A（2，8），且ABC 的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线 BC 的斜率为_.8已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0，一条准线方程为 5y+4=0，则双曲线方程为_.9已知曲线 y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为 450，那么a=_.10.P 为等轴双曲线 x2-y2=a2上一点， 的取值范围是_.11已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点F1，F 2，设 P 是它们的
15、一个焦点，求F 1PF2和 PF 1F2的面积。1412已知（i）半圆的直径 AB 长为 2r；（ii）半圆外的直线 l与 BA 的延长线垂直，垂足为 T，设|AT|=2a(2a1)的一个顶点 C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形 ABC，这样的三角形最多可作_个.11求椭圆 上任一点的两条焦半径夹角 的正弦的最大值。12设 F，O 分别为椭圆 的左焦点和中心，对于过点 F的椭圆的任意弦 AB，点 O 都在以 AB 为直径的圆内，求椭圆离心率e 的取值范围。13已知双曲线 C1： (a0)，抛物线 C2的顶点在原点O，C 2的焦点是 C1的左焦点 F1。16（1）求证：C 1，C
16、 2总有两个不同的交点。（2）问：是否存在过 C2的焦点 F1的弦 AB，使 AOB 的面积有最大值或最小值？若存在，求直线 AB 的方程与 SAOB 的最值，若不存在，说明理由。五、联赛一试水平训练题1在平面直角坐标系中，若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则 m 的取值范围是_.2设 O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且 PQ 为过 F 的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，OPQ 面积为_.3给定椭圆 ，如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于P，Q 两点，且 OP OQ，则离心率 e 的取值范围是_.4设 F1，F 2分别是双曲线 (ab0)的左、右焦点，
17、P 为双曲线上的动点，过 F1作F 1PF2平分线的垂线，垂足为 M，则 M 的轨迹为_.5ABC 一边的两顶点坐标为 B（0， ）和 C（0， ），另两边斜率的乘积为 ，若点 T 坐标为(t,0)(tR +),则|AT|的最小值为_.6长为 l(l0),P(x,y)为轨迹上任一点，则 。化简为 2k2x2+2y2=m2(1+k2).当 k1 时，表示椭圆；当 k=1 时，表示圆。312由题设 a=10,b=6,c=8，从而 P 到左焦点距离为 10e=10=8,所以 P 到右焦点的距离为 20-8=12。4-25 或-20,设 x1,x2是方程的两根，由韦达定理由，得 y 1+y2=kx1+
18、(1-2k)+kx2+(1-2k)=k(x1+x2)+2(1-2k)= 设 P1P2的中点 P 坐标(x,y)，由中点公式及，得消去 k 得点（2，0）满足此方程，故这就是点 P 的轨迹方程。高考水平测试题1 由椭圆方程得焦点为 ，设双曲线方程，渐近线为 由题设 ，所以 a2=3b2,又 ,c2=a2+b2. 所以 b2=12, a2=36.232. 900。见图 1，由定义得|FA|=|AA 1|,|FB|=|BB1|，有1=BFB 1，2=AFA 1，又1=3，2=4，所以3+4=BFB 1+AFA 1=900。3相切，若 P(x,y)在左支上，设 F1为左焦点，F 2为右焦点，M为 PF
19、1中点，则|MO|= |PF2|= (a-ex)，又|PF 1|=-a-ex，所以两圆半径之和 (-a-ex)+a= (a-ex)=|MO|，所以两圆外切。当 P(x,y)在右支上时，同理得两圆内切。4 与 F1对应的另一条准线为 x=-11，因|MF 1|与 M 到直线 x=-11 距离 d1之比为 e，且 d1=|xm+11|=10.所以 ，所以|MF 1|=5充要。将 y=2x+1 代入椭圆方程得(b 2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0. 若 =(4a 2) 2-4(b2+4a2)a2 (1-b2)=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即 b2+4a2=1；反之，4a 2+b
20、2=1，直线与椭圆有一个公共点。6y=2(x-1)。消去参数得(y-2m) 2=4(x-m)，焦点为 它在直线 y=2(x-1)上。71mm,所以 1m0)，CA 的直线方程为 y=kx+1，代入椭圆方程为(a 2k2+1)x2+2a2kx=0，得 x=0 或 ，于是，|CA|=由题设，同理可得|CB|= ,利用|CA|=|CB|可得(k-1)k2-(a2-1)k+1=0,解得 k=1 或 k2-(a2-1)k+1=0。对于，当 1 时，有两个不等实根，故最多有 3 个。2511解 设焦点为 F1，F 2，椭圆上任一点为 P(x0,y0),F 1PF2=,根据余弦定理得|F1F2|2=|PF1
21、|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cos,又|PF 1|+|PF2|=2a，则 4c2=(2a)2-2|PF1|?|PF2|(1+cos),再将|PF1|=a+ex0，|PF 2|=a-ex0及 a2=b2+c2代入得 4b2=2(a2-e2 )(1+cos).于是有由 0 ，得 ，所以 。因0，所以 cos 为减函数，故 0当 2b2a2即 时，arccos ， sin 为增函数，sin取最大值 ；当 2b2a 2时，arccos,0, ，则 sin 最大值为 1。12解 设 A(x1,y1),B(x2,y2)，若 AB 斜率不为 0，设为 k，直线AB 方程为 y=k(x+c)，
22、代入椭圆方程并化简得(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. 则 x1,x2为方程的两根，由韦达定理得26因为 y1y2=k2(x1+c)(x2+c)，再由，得所以 =x1x2+y1y2= ,O 点在以 AB 为直径的圆内，等价 0，所以方程必有两个不同实根，设为 x1,x2,由韦达定理得 x1x2=-a20，设y1,y2分别为 A，B 的纵坐标，则 y1+y2= ,y1y2=-12a2.所以(y 1-y2)2=48a2(m2+1).所以 SAOB = |y1-y2|?|OF1|= a? a?27，当且仅当 m=0 时，S AOB 的面积取最小值；当 m+时，S
23、AOB +，无最大值。所以存在过 F 的直线 x=使 AOB 面积有最小值 6a2.联赛一试水平训练题1m5.由已知得 ，说明(x,y)到定点（0,-1）与到定直线 x-2y+3=0 的距离比为常数 ，由椭圆定义 5.2. 因为 b=|PQ|=|PF|+|QF|= ,所以 。所以 SOPQ = absin= .3. 。设点 P 坐标为(r 1cos,r 1sin),点 Q 坐标为(-r2sin,r 2cos)，因为 P，Q 在椭圆上，可得 ，RtOPQ 斜边上的高为 |OF|=c. 所以a2b2c 2(a2+b2)，解得 e1 时|AT| min=|t-2|.由题设kAB?kAC=- ,设 A
24、(x,y)，则 (x0)，整理得=1(x0)，所以|AT| 2=(x-t)2+y2=(x-t)2+ (x-2t)2+2-t2.因为|x|2,所以当 t(0,1时取 x=2t,|AT|取最小值 。当 t1 时，取 x=2，|AT|取最小值|t-2|.6. 设点 M(x0,y0) ，直线 AB 倾斜角为 ，并设 A(x0-), B(x0+ ),因为 A，B 在抛物线上，所以由，得 2x 0cos=sin. 所以因为 l21，所以函数 f(x)= .在（0，1在递减，所以 。当 cos=1 即 l 平行于 x 轴时，距离取最小值297 设 ，由 A，M，M 1共线得 y1= ，同理 B，M，M 2共
25、线得 ，设(x,y)是直线M1M2上的点，则 y1y2=y(y1+y2)-2px，将以上三式中消去 y1,y2得y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.当 x=a,y= 时上式恒成立，即定点为8 。由题设 且 a2+2b215，解得 5b 26.所以 a+b (t=b2-41,2) ，而，又t2 可得上式成立。9解 设 A(2cos, ), B(2cos, sin),C(2cos,sin)，这里 ，则过 A，B 的直线为 lAB：，由于直线 AB 过点 F1(-1,0)，代入有 (sin-sin)?(1+2cos)=2 sin(cos-cos)，即2sin(
26、-)=sin-sin=2 ? ,故，即 ? 。30又 lBD: ?(x+2)= ，同理得。l CE: (x-2)=?(x-2).两直线方程联立，得 P 点坐标为 ，消去得点 P(x,y)在椭圆 上（除去点 (-2,0),(2,0)）.10.解 （1）由 消去 y 得 x2+2a2x+2a2m-a2=0,设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，问题（1）转化为方程在 x(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况：10=0，得 ，此时 xp=-a2，当且仅当-a-a 2a 即0a1 时适合；2 0。f(a)?f(-a)0，当且仅当-ama 时适合；30。f(-a)=0 得 m=a，此时 xp=a-2a2，当且仅当-aa-2a 2a 即 0a1时适合。令 f(a)=0 得 m=-a，此时 xp=-a-2a2.由于-a-2a 2-a，从而m-a.综上当 0a1 时， 或-ama ；当 a1 时，-ama.(2)OAP 的面积 因为 0a ,故当-ama 时，0-a 2+,由唯一性得 xp=-a2+.当 m=a 时，x p取最小值。由于
