1、抛物线及其标准方程教学设计 第 1 页 共 4 页抛物线及其标准方程一、教学目标1知识目标：掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；掌握焦点、焦点位置与方程关系；进一步了解建立坐标系的选择原则 .2. 能力目标：使学生充分认识到“数与形”的联系，体会“数形结合”的思想。二、教学过程（一） 、复习引入 问题 1、 椭圆、双曲线的第二定义如何叙述？其离心率 的取值范围各是什么？e平面内，到一个定点 F 的距离和一条定直线 的距离的比是常数 e 的轨迹，当 0e1l时是椭圆，当 e1 时是双曲线。自然引出问题：那么，当 时，轨迹是什么形状的1曲线呢?（二）.创设情境问题 2、用制作好的教具实验：三角
2、板 ABC 的直角边 BC 边上固定一个钉子，一根绳子连接钉子和平面上一个固定点 F，并且使绳子的长度等于钉子到直角顶点 C 的距离。用笔尖绷紧绳子，并且使三角板 AC 在定直线 l 上滑动，问笔尖随之滑动时，在平面上留下什么图形？如何用方程表示该图形？设计意图：从实际问题出发，激发学生的求知欲， 将问题交给学生，充分 发挥学生的聪明才智，体现学生的主体地位，同时引入本节课的内容 师生活动：(1) 你们如何把这个实际问题抽象成数学问题吗?(2) 学生不一定能正确抽象出来，教师可适当引导：当笔尖滑动时，笔尖到定点 F 的距离等于到定直线 l 的距离，在满足这样条件下，笔尖画出的图形。并抽象数学问
3、题：（三） 、新课讲授：（1）抛物线定义：平面内，到一个定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹l叫做抛物线 奎 屯王 新 敞新 疆 定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线 ，F 到直线 l 的距l离简称焦准距。特别提醒：定点 F 在定直线 l 外。 （并假设 F 在直线 l 上）换种说法：平面内，到一个定点 F 的距离和一条定直线 的距离的比是常数 1 的AFKN M抛物线及其标准方程教学设计 第 2 页 共 4 页轨迹，叫做抛物线。归纳总结：平面内，到一个定点 F 的距离和一条定直线 的距离的比是常数 e 的l轨迹有三种曲线：椭圆、抛物线、双曲线，它们统称为圆锥曲线。思考
4、题：一个动点 满足下列条件 则动点 P 的轨迹),(yxP54-3)1(2yxx是（ ） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线师生活动：教师引导学生将抽象的代数语言翻译成几何语言（2）抛物线的标准方程类比椭圆、双曲线标准方程的推导，抛物线的标准方程又如何推导？方程有什么特点？设计意图：利用类比的思想寻求抛物线标准方程的推导方法（利用定义来推导），并巩固复习建系、列方程的方法步骤（建、 设、限、代、化）。师生活动：利用求曲线方程的方法步骤求抛物线的标准方程。求解过程学生若有困难老师可适当引导，师生共同完成求解过程：如图所示，利用对称性建立直角坐标系系，设|KF|= （ 0）,p那么焦点 F
5、的坐标为 ，准线 的方程为 ，)0,2(pl2px设抛物线上的点 ，则有 奎 屯王 新 敞新 疆,yxM|)2(ypx化简方程得 奎 屯王 新 敞新 疆02p方程 叫做抛物线的标准方程 奎 屯王 新 敞新 疆xy问题 3 椭圆、双曲线的标准方程不止一个，那么抛物线的标准方程呢？还有其它形式？该如何推导？设计意图：通过复习初中最基本的抛物线方程 和 ，让学生观察并总结2xy2出开口方向向左、向上和向下另三种情况及其对应得标准方程师生活动：学生回答上述问题,老师补充，师生共同得出：一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，除上述一种外还有三种不同的情况，所以抛物线的标准方程也相应有另外三种形式： ，
6、， .这四种抛物线的图形、标准方程、pxy2y2pyx2焦点坐标以及准线方程如下表 奎 屯王 新 敞新 疆 xy (1)MKFOD抛物线及其标准方程教学设计 第 3 页 共 4 页图形 xyOFlyl开口方向 X 轴的正方向 X 轴的负方向 Y 轴的正方向 Y 轴的负方向方程 )0(2pxy )0(2pxy )0(2pyx )0(2pyx焦点 ),(),(,准线 2px2px2y2y观察总结：抛物线的标准方程的特点(1)都过原点；(2)对称轴为坐标轴、焦点在对称轴上、准线垂直于对称轴；(3)焦准距为 ，半焦距等于等于一次项系数绝对值的 ，即 奎 屯王 新 敞新 疆 （4）一次项的字母p 412
7、p为对称轴，二次项单独在某一边，且系数为 1.（5）一次项系数正负决定图像开口方向 （四） 、精讲范例例题 （1）已知抛物线标准方程是 ，作图并求它的焦点坐标和准线方程 奎 屯王 新 敞新 疆 xy4-2（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0， ） ，求它的标准方程 奎 屯王 新 敞新 疆 1设计意图：让同学们熟悉抛物线标准方程的形式和特点，进一步理解抛物线标准方程的本质.师生活动：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用 的代数式表示的，所以只要求出 即pp可；（2）抛物线标准方程过原点且对称，因此 结合图像、准线和焦点坐标求出 ，问题即解解析：（1） 则 ，焦点坐标是（-1，0）准线方程是
8、 x1xyp2-（2）焦点在 y 轴正半轴上， ，所以抛物线的标准方程是 2p1y2yOFl抛物线及其标准方程教学设计 第 4 页 共 4 页变式练习：1、已知抛物线的标准方程风别是：（1） ， （2） （ ）6xy2ay0求它们的焦点坐标和准线方程特别提醒：一定先将抛物线化为标准方程！2、求下列抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是 ；)23,0(2)抛物线的准线方程为 ；1y(3)过点 )1,4(设计意图：让学生通过方程形式辨别抛物线的位置，进而求出焦点坐标和准线方程或通过焦点坐 标和准线方程辨别抛物线的开口，写出抛物线方程师生活动：先让学生自己分析解答，然后抽取部分学生检查解答过程，若有问题老师适当补充:解此 题的关键是（ 1）会根据示意图确定属于哪 类标准形式， （2）想办法求出参数的值p（五） 、小结抛物线的定义、标准方程、以及与图像的联系；解抛物线问题时，要做到先“定位” ，后“定量” 圆锥曲线的统一定义。（六） 、作业（1） 教材 练习 2、3、4、5.120P（2）小练习（七） 、强调：（1）先由焦点位置或准线方程确定抛物线标准方程的类型；（2）一定先将抛物线化为标准方程三、兴趣培养：圆锥曲线统一定义的背景和应用（1） 统一定义：用一个平面去切两个共点且对称的圆锥，不同的切法可切出这三个曲线（2）应用：吊桥、电筒
