1、第七章 立体几何初步 第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)空间几何体的结构特征. 多面体的结构特征:,平行且相等,全等,公共点,平行于底面,相似,多边,旋转体的结构特征:,任一边,任一直角边,垂直于底边的腰,直径,(2)空间几何体的三视图. 三视图的形成与名称: ()形成:空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在这种投影之下, 与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的_和_是完 全相同的; ()名称:三视图包括_、_、_.,形状,大小,正视图,侧视图,俯视图,三视图的画法: ()在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成_.
2、 ()三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的_方、 _方、_方观察几何体画出的轮廓线.,虚线,正前,正左,正上,(3)空间几何体的直观图. 空间几何体的直观图常用_画法来画,基本步骤是: 画几何体的底面: 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把 它们画成对应的x轴、y轴,两轴相交于点O,且使xOy =_,已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度 _,平行于y轴的线段,长度_.,斜二测,45(或135),不变,减半,画几何体的高: 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的z轴,也 垂直于xOy平面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平
3、 行于z轴且长度_.,不变,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)正棱柱、正棱锥的结构特征: 正棱柱:侧棱_于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是_的 直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是_,侧棱_于底 面,侧面是矩形. 正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心 的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱_的正三棱锥叫正四面体.,垂直,正多边形,正多边形,垂直,均相等,(2)简单组合体的结构特征: 由简单几何体_或_或_一部分而成. (3)三视图的长度特征: 一个几何体的三视图_平齐、_对正、_相等. 3.必用技法 核心总结 看一看 (1)三视图与直观图互相转换的方法. (2)数学思想:转化
4、与化归思想.,拼接,截去,挖去,高,长,宽,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱.( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.( ) (4)用斜二测画法画水平放置的A时,若A的两边分别平行于x轴和y轴,且A=90,则在直观图中,A=45.( ) (5)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( ),【解析】(1)错误.因为侧棱不一定与底面垂直. (2)错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三角形,但不能保证三角形具有公共顶点. (3)错误.因为两个平行截
5、面不能保证与底面平行. (4)错误.A应为45或135. (5)错误.正方体的三视图由于正视的方向不同,其三视图的形状可能不同,圆锥的侧视图与俯视图显然不相同. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修2P10T1改编)如图,长方体ABCD-ABCD 中被截去一部分,其中EHAD.剩下的几何体 是( ) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.简单组合体 【解析】选C.由空间几何体的结构特征知,该剩下部分为五棱柱ABFEA-DCGHD.,(2)(必修2P21T2(4)改编)若某几何体的三视图如图所示,则该几何体为 .【解析】由三视图知该几何体为上
6、面为一圆柱,下面为一四棱柱组合而成的简单组合体. 答案:四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014江西高考)一几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是( )【解析】选B.因为俯视图是几何体在下底面上的投影,所以选B.,(2)(2013四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 ( )A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台,【解题提示】本题考查的是几何体的三视图,在判断时要结合三种视图进行判断. 【解析】选D.根据几何体的三视图中正视图与侧视图一致且为梯形,并且俯视图是两个圆,可知只有选项D适合,故选D.,(3)(2015珠海模拟
7、)利用斜二测画法得到的: 三角形的直观图一定是三角形; 正方形的直观图一定是菱形; 等腰梯形的直观图可以是平行四边形; 菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是 .,【解析】由斜二测画法的规则可知正确;错误,是一般的平行四边形;错误,等腰梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,也错误. 答案:1,考点1 空间几何体的结构特征 【典例1】(1)下列说法正确的是( ) A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点,(2)以
8、下命题: 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; 以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; 一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解题提示】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进行判断. (2)根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断. 【规范解答】(1)选B.A错,如图1;B正确,如图2,其中底面ABCD是矩形,可证明PAB,PCB都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;C错,如图3;D错,由棱台的定义知,其侧棱必相交于同一点.,(2)选B.命题错,因为这条边若是直角三角形的斜边
9、,则得不到圆锥;命题错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题对;命题错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.,【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定. (2)利用反例对结构特征进行辨析,即要说明某个命题是错误的,只要举出一个反例即可.,【变式训练】给出下列命题: 棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; 用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台; 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; 若四棱柱有两个过相对侧棱的截
10、面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 存在每个面都是直角三角形的四面体; 棱台的侧棱延长后交于一点.,其中正确命题的序号是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.错误,因为棱柱的侧面不一定是全等的 平行四边形;错误,必须用平行于底面的平面去截棱 锥,才能得到棱台;正确,根据面面垂直的判定定理判 断;正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;正确,如图所示,正方体AC1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形;正确,由棱台的概念可知.因此,正确命题的序号是.,【加固训练】(2015北京模拟)下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形
11、的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线,【解析】选D.A错误,如图所示,由两个结构相同的三棱 锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不 是三棱锥; B错误,如图,若ABC不是直角三角形或是直角 三角形,但旋转轴不是直角边,所得的几何体都 不是圆锥; C错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.,考点2 空间几何体的三视图 知考情空间几何体三视图的确认与应用是高考考查空间几
12、何体的一个重要考向,常与空间几何体的结构特征、直观图、表面积与体积等知识综合,以选择题、填空题的形式出现.,明角度 命题角度1:根据几何体的结构特征确认其三视图 【典例2】(2015厦门模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,若用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的侧视图为( ),【解题提示】结合原正方体先确定剩余几何体的形状,再确认其侧视图.,【规范解答】选C.设过点A,E,C1的截面与棱DD1相交于点F,且F是棱DD1的中点,该正方体截去上半部分后,剩余几何体如图所示,则它的侧视图应选C.,【易错警示】解答本题有两点易出错: (1)将
13、剩余的几何体搞错,错误认为截面过D1点而误选B或D. (2)将剩余几何体确认正确,但将EC1的投影搞错而误选A.,命题角度2:根据三视图还原直观图(几何体的结构特征) 【典例3】(2014新课标全国卷)如图所示,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( ) (本题源于教材必修2P15T4)A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱,【解题提示】结合三视图进行判断,特别注意垂直关系的转化. 【规范解答】选B.将三视图还原为几何体即可.如图所示,几何体为三棱柱.,悟技法 1.根据几何体确认三视图的技巧 由实物图画三视图或判断选择三视图,按照“正侧一样高,正俯
14、一样长,俯侧一样宽”的特点确认. 2.根据三视图还原几何体的技巧策略 (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉. (2)明确三视图的形成原理,并能结合空间想象将三视图还原为直观图. (3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.,提醒:对于简单组合体的三视图,首先要确定正视、侧视、俯视的方向,其次要注意组合体由哪些几何体组成,弄清它们的组成方式,特别应注意它们的交线的位置,区分好实线和虚线的不同.,通一类 1.(2015天津模拟)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示,则其侧视图为( ),【解析】选C.根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为:所以侧
15、视图为: .,2.(2013湖南高考)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1 的正方形,侧视图是一个面积为 的矩形,则该正方体的正视图的面 积等于( )【解析】选D.由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的,正视图的 面积与侧视图的面积相等,为 .,3.(2015威海模拟)一空间几何体的三视图如图所示, 则此空间几何体的直观图为( )【解析】选A.由正视图与俯视图知,上部的三棱锥的顶点应在棱的中点处.选A.,4.(2015郑州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是
16、( )A. B. C. D. 【解析】选C.由已知得最短路线应有四条,其正视图符合要求的只有.故选C.,考点 空间几何体的直观图 【典例】(1)(2015宜春模拟)已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图ABC的面积为( ),(2)如图所示,四边形ABCD是一水平放置的 平面图形的斜二测画法的直观图,在斜二测直观图 中,四边形ABCD是一直角梯形,AB CD,ADCD,且BC与y轴平行,若AB=6, DC=4,AD=2,则这个平面图形的实际面积为 .,【解题提示】(1)先建立坐标系,然后画出ABC的直观图ABC,求出ABC相关的边,确定其面积. (2)按照斜二测画法,将直角梯形还原
17、为平面图形再求解.,【规范解答】(1)选D.如图所示的实际图形和直观图,由可知,AB=AB=a,OC= 在图中作CDAB于D, 则CD= 所以SABC= ABCD,(2)根据斜二测画法规则可知: 该平面图形是直角梯形,且AB=6,CD=4. 由于CB= AD=2 .所以CB=4 . 故平面图形的实际面积为 (6+4)4 =20 . 答案:20,【互动探究】若本例(1)改为“A1B1C1是边长为a的正三角形,且A1B1C1是ABC的直观图”,则ABC的面积为多少? 【解析】如图,可知在A1D1C1中,由正弦定理 得x= a,所以SABC=,【规律方法】直观图画法的关键与结论 (1)关键:在斜二测
18、画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的 线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.” (2)结论:按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形 的面积的关系:S直观图= S原图形.,【变式训练】如图,正方形OABC的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为 .,【解析】将直观图还原为平面图形,如图.可知还原后的图形中OB=2 ,AB= 于是周长为23+21=8(cm). 答案:8cm,【加固训练】1.如图所示是水平放置三角形的 直观图,D是ABC的BC边中点,AB,BC分别与y 轴、x轴平行,则三条线段AB,AD,AC中( ) A
19、.最长的是AB,最短的是AC B.最长的是AC,最短的是AB C.最长的是AB,最短的是AD D.最长的是AC,最短的是AD 【解析】选B.由条件知,原平面图形中ABBC,从而ABADAC.,2.水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,若 A1C1=2,ABC的面积为2 ,则A1B1的长为 . 【解析】由直观图可知ACBC,BC=2B1C1,AC=2,又因为 ACBC=2 ,所以BC=2 ,则B1C1= BC= , 所以 =22+( )2-22 cos45=2, 解得A1B1= . 答案:,3.如图所示,梯形A1B1C1D1是一个平面图形ABCD 的直观图.若A1D1O1y,A1B1C1D1,
20、A1B1= C1D1 =2,A1D1=O1D1=1. 请画出原来的平面几何图形的形状,并求原图形的面积.,【解析】如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O1D1=1;OC=O1C1=2. 在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上 截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形.由作法可知,原四边形ABCD 是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2,所 以面积为S= 2=5.,自我纠错16 三视图的确认 【典例】(2014湖北高考)在如图所示的空间直角 坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2),(2,
21、2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为, ,的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( ),A.和 B.和 C.和 D.和,【解题过程】,【错解分析】分析上面解题过程你知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程错在将正视图中虚线误认为实线而失误.,【规避策略】 1.准确确定几何体的边界线 在确定边界线时,要先分析几何体由哪些面组成,从而确定边界线,其次要确定哪些边界线投影后与轮廓线重合,哪些边界线投影后与轮廓线不重合,不重合的是我们要在三视图中画出的. 2.熟练掌握三视图的画法 在画三视图时,首先确定几何体的轮廓线,然后再确定面与面之间的边界线,再根据是否可视确定实虚.,【自我矫正】选D.根据正视图、俯视图的投影规则,找出它们各个顶点的坐标即可.由题可知该几何体的正视图是一个直角三角形,三个顶点的坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2),且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线),故正视图是;俯视图在底面的射影是一个斜三角形,三个顶点的坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是.,
